مساحت سطح جانبی یک هرم چهار گوش منظم: فرمول ها و نمونه هایی از مسائل

فهرست مطالب:

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

مسائل هندسی معمولی در صفحه و فضای سه بعدی، مسائل تعیین سطح اشکال مختلف است. در این مقاله فرمول مساحت سطح جانبی یک هرم چهار گوش منتظم را ارائه می کنیم.

هرم چیست؟

بیایید یک تعریف هندسی دقیق از هرم ارائه دهیم. فرض کنید چند ضلعی با n ضلع و n گوشه وجود دارد. یک نقطه دلخواه در فضا را انتخاب می کنیم که در صفحه n-ضلعی مشخص شده نباشد و آن را به هر رأس چند ضلعی متصل می کنیم. شکلی بدست می آوریم که مقداری حجم دارد که به آن هرم n-gonal می گویند. برای مثال، بیایید در شکل زیر نشان دهیم که یک هرم پنج ضلعی چگونه است.

دو عنصر مهم هر هرم پایه (n-gon) و بالای آن است. این عناصر توسط n مثلث به یکدیگر متصل می شوند که به طور کلی با یکدیگر برابر نیستند. عمود بر افتاده ازاز بالا به پایین ارتفاع شکل نامیده می شود. اگر پایه را در مرکز هندسی قطع کند (منطبق بر مرکز جرم چند ضلعی) ، چنین هرمی را خط مستقیم می نامند. اگر علاوه بر این شرط، قاعده یک چندضلعی منتظم باشد، کل هرم منظم نامیده می شود. شکل زیر نشان می دهد که هرم های منظم با پایه های مثلثی، چهار گوش، پنج ضلعی و شش ضلعی چگونه به نظر می رسند.

سطح هرم

قبل از پرداختن به مساحت سطح جانبی هرم چهار گوش منتظم، باید به مفهوم خود سطح بپردازیم.

همانطور که در بالا ذکر شد و در شکل ها نشان داده شده است، هر هرمی از مجموعه ای از چهره ها یا اضلاع تشکیل می شود. یک ضلع قاعده و n ضلع مثلث است. سطح کل شکل مجموع مساحت هر یک از اضلاع آن است.

مطالعه سطح با مثال باز شدن شکل راحت است. اسکن یک هرم چهار گوش معمولی در شکل های زیر نشان داده شده است.

می بینیم که سطح آن برابر است با مجموع چهار مساحت مثلث های متساوی الساقین یکسان و مساحت یک مربع.

مساحت کل همه مثلث هایی که اضلاع شکل را تشکیل می دهند، مساحت سطح کناری نامیده می شود. در مرحله بعد، نحوه محاسبه آن را برای یک هرم چهار گوش معمولی نشان خواهیم داد.

مساحت سطح جانبی یک هرم منظم چهار گوش

برای محاسبه مساحت جانبیسطح شکل مشخص شده، دوباره به اسکن بالا می رویم. فرض کنید ضلع قاعده مربع را می دانیم. بیایید آن را با نماد a نشان دهیم. مشاهده می شود که هر یک از چهار مثلث یکسان دارای پایه ای به طول a هستند. برای محاسبه مساحت کل آنها، باید این مقدار را برای یک مثلث بدانید. از درس هندسه معلوم است که مساحت مثلث S_{t برابر است با حاصلضرب قاعده و ارتفاع که باید به نصف تقسیم شود. یعنی:}

S_t=1/2h_ba.

جایی که h_b ارتفاع یک مثلث متساوی الساقین است که به قاعده a کشیده شده است. برای یک هرم، این ارتفاع نقطه عطف است. اکنون باید عبارت حاصل را در 4 ضرب کنیم تا مساحت S_{b سطح جانبی هرم مورد نظر را بدست آوریم:}

S_b=4S_t=2h_ba.

این فرمول شامل دو پارامتر است: آپوتم و سمت پایه. اگر دومی در اکثر شرایط مسائل شناخته شود، آنگاه اولی باید با دانستن مقادیر دیگر محاسبه شود. در اینجا فرمول های محاسبه آپوتما h_{b برای دو مورد آمده است:}

وقتی طول دنده کناری مشخص شد؛
زمانی که ارتفاع هرم مشخص است.

اگر طول یال جانبی (ضلع مثلث متساوی الساقین) را با علامت L نشان دهیم، آپوتم h_{b با فرمول: تعیین می شود.}

h_b=√(L² - a^2/4).

این عبارت نتیجه اعمال قضیه فیثاغورث برای مثلث سطح جانبی است.

در صورت شناخته شدنارتفاع h هرم، سپس آپوتم h_{b را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:}

h_b=√(h² + a^2/4).

دریافت این عبارت نیز دشوار نیست اگر در داخل هرم یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیریم که توسط پاهای h و a/2 و هیپوتانوس h_{b تشکیل شده است.}

بیایید نحوه اعمال این فرمول ها را با حل دو مسئله جالب نشان دهیم.

مشکل با سطح شناخته شده

مشخص است که سطح جانبی هرم چهار گوش منتظم 108 سانتی متر است². اگر ارتفاع هرم 7 سانتی متر باشد، باید مقدار طول آپوتم آن h_{b محاسبه شود.}

بیایید فرمول مساحت S_{b سطح جانبی را در طول ارتفاع بنویسیم. ما داریم:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

در اینجا ما فقط فرمول آپوتم مربوطه را با عبارت S_{b جایگزین کردیم. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:}

S_b²=4a²h² + a^4.

برای یافتن مقدار a، بیایید تغییری در متغیرها ایجاد کنیم:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

اکنون مقادیر شناخته شده را جایگزین می کنیم و معادله درجه دوم را حل می کنیم:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

ما فقط ریشه مثبت این معادله را نوشتیم. سپس اضلاع قاعده هرم خواهد بود:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 سانتی متر.

برای بدست آوردن طول آپوتما،فقط از فرمول استفاده کنید:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 را ببینید}

سطح جانبی هرم خئوپس

مقدار سطح جانبی بزرگترین هرم مصر را تعیین کنید. مشخص است که در پایه آن مربعی به طول ضلع 230.363 متر قرار دارد. ارتفاع سازه در ابتدا 146.5 متر بود. این اعداد را با فرمول مربوط به S_{b جایگزین کنید، دریافت می کنیم:}