هنگام مطالعه مطلق هر شکل فضایی، مهم است که بدانید چگونه حجم آن را محاسبه کنید. این مقاله فرمولی برای حجم یک هرم چهار گوش معمولی ارائه می دهد و همچنین نشان می دهد که چگونه باید از این فرمول با استفاده از مثالی از حل مسائل استفاده کرد.
در مورد کدام هرم صحبت می کنیم؟
هر دانش آموز دبیرستانی می داند که هرم چند وجهی است که از مثلث و چند ضلعی تشکیل شده است. دومی پایه شکل است. مثلث ها یک ضلع مشترک با قاعده دارند و در یک نقطه که بالای هرم است قطع می شوند.
هر هرم با طول اضلاع پایه، طول لبه های جانبی و ارتفاع مشخص می شود. دومی یک پاره عمودی است که از بالای شکل به پایه پایین آمده است.
هرم چهار گوش منتظم شکلی است با قاعده مربع که ارتفاع آن این مربع را در مرکز خود قطع می کند. شاید معروف ترین نمونه از این نوع اهرام، سازه های سنگی مصر باستان باشد. در زیر یک عکس استاهرام خئوپس.
شکل مورد مطالعه دارای پنج وجه است که چهار وجه آن مثلث متساوی الساقین یکسان هستند. همچنین با پنج رأس مشخص می شود که چهار تای آن متعلق به قاعده است و هشت لبه (4 لبه پایه و 4 لبه وجه جانبی).
فرمول حجم هرم چهار گوش درست است
حجم شکل مورد نظر بخشی از فضا است که با پنج ضلع محدود شده است. برای محاسبه این حجم، از وابستگی زیر مساحت یک برش به موازات قاعده هرم Sz بر روی مختصات عمودی z استفاده می کنیم:
Sz=So (h - z/h)2
در اینجا So مساحت قاعده مربع است. اگر z=h را به عبارت نوشته شده جایگزین کنیم، برای Sz مقدار صفر می گیریم. این مقدار z مربوط به برشی است که فقط بالای هرم را شامل می شود. اگر z=0 باشد، مقدار ناحیه پایه So را دریافت می کنیم.
اگر تابع Sz(z) را بدانید، به راحتی می توانید حجم یک هرم را پیدا کنید، برای این کار کافی است رقم را به تعداد نامتناهی برش دهید. لایه های موازی با پایه، و سپس انجام عملیات یکپارچه سازی. من از این تکنیک پیروی می کنم، دریافت می کنیم:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
زیرا S0 استمساحت قاعده مربع، سپس، با نشان دادن ضلع مربع با حرف a، فرمول حجم یک هرم چهار گوش منظم را به دست می آوریم:
V=1/3a2h.
حال بیایید از مثال‌هایی از حل مسئله استفاده کنیم تا نشان دهیم این عبارت چگونه باید اعمال شود.
مسئله تعیین حجم هرم از طریق آپوتم و لبه کناری آن
اصل هرم، ارتفاع مثلث جانبی آن است که به سمت قاعده پایین آمده است. از آنجایی که همه مثلث ها در یک هرم منتظم با هم برابر هستند، ابطم آنها نیز یکسان خواهد بود. اجازه دهید طول آن را با نماد hb نشان دهیم. لبه کناری را b نشان دهید.
با دانستن اینکه نقطه هرم 12 سانتی متر و لبه جانبی آن 15 سانتی متر است، حجم یک هرم چهار گوش منتظم را بیابید.
فرمول حجم شکل نوشته شده در پاراگراف قبل شامل دو پارامتر است: طول ضلع a و ارتفاع h. در حال حاضر، ما هیچ یک از آنها را نمی شناسیم، پس بیایید نگاهی به محاسبات آنها بیندازیم.
اگر از قضیه فیثاغورث برای مثلث قائم الزاویه استفاده کنید، طول ضلع یک مربع a آسان است که در آن فرضیه یال b و پاها عبارتند از h b و نیمی از ضلع پایه a/2. ما دریافت می کنیم:
b2=hb2+ a2b
۲+ a۲ /4=>
a=2√(b2- hb۲).
با جایگزینی مقادیر شناخته شده از شرط، مقدار a=18 سانتی متر را دریافت می کنیم.
برای محاسبه ارتفاع h هرم، می توانید دو کار انجام دهید: یک مستطیل در نظر بگیرید.مثلثی با لبه هیپوتنوز-جانبی یا با هیپوتنوز-آپوتم. هر دو روش مساوی هستند و شامل انجام همان تعداد عملیات ریاضی هستند. اجازه دهید به در نظر گرفتن مثلثی بپردازیم، که در آن فرض فرضیه hb است. پاها در آن h و a / 2 خواهد بود. سپس دریافت می کنیم:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7، 937 سانتی متر.
اکنون می توانید از فرمول برای جلد V استفاده کنید:
V=1/3a2h=1/31827، 937=857، 196 سانتی متر 3.
بنابراین، حجم یک هرم چهار گوش معمولی تقریباً 0.86 لیتر است.
حجم هرم خئوپس
حالا بیایید یک مشکل جالب و عملی مهم را حل کنیم: حجم بزرگترین هرم جیزه را پیدا کنید. از ادبیات مشخص شده است که ارتفاع اولیه بنا 146.5 متر و طول پایه آن 230.363 متر است. این اعداد به ما اجازه می دهند تا فرمول را برای محاسبه V اعمال کنیم. دریافت می کنیم:
V=1/3a2h=1/3230، 3632146، 5 ≈ 2591444 متر 3.
مقدار حاصل تقریباً 2.6 میلیون m3 است. این حجم مربوط به حجم مکعبی است که ضلع آن 137.4 متر است.
