هنگام مطالعه خواص شکل ها در فضای سه بعدی در چارچوب استریومتری، اغلب باید مسائلی را برای تعیین حجم و مساحت حل کرد. در این مقاله نحوه محاسبه حجم و سطح جانبی هرم کوتاه با استفاده از فرمول های شناخته شده را نشان خواهیم داد.
هرم در هندسه
در هندسه، هرم معمولی شکلی در فضا است که بر روی مقداری n-گون مسطح ساخته شده است. تمام رئوس آن به یک نقطه واقع در خارج از صفحه چندضلعی متصل است. برای مثال، در اینجا عکسی وجود دارد که یک هرم پنج ضلعی را نشان می دهد.
این شکل از صورت ها، رئوس و لبه ها تشکیل شده است. وجه پنج ضلعی قاعده نامیده می شود. وجه های مثلثی باقی مانده سطح جانبی را تشکیل می دهند. نقطه تلاقی همه مثلث ها رأس اصلی هرم است. اگر یک عمود از آن به پایه پایین بیاید، دو گزینه برای موقعیت نقطه تقاطع ممکن است:
- در مرکز هندسی، سپس هرم یک خط مستقیم نامیده می شود؛
- نه درمرکز هندسی، سپس شکل مایل خواهد بود.
بعلاوه ما فقط ارقام مستقیم با پایه n-ضلعی منظم را در نظر خواهیم گرفت.
این شکل چیست - یک هرم کوتاه؟
برای تعیین حجم یک هرم کوتاه، لازم است به وضوح بفهمیم که کدام شکل به طور خاص مورد بحث است. بیایید این موضوع را روشن کنیم.
فرض کنید صفحه برشی را که موازی قاعده یک هرم معمولی است برداریم و قسمتی از سطح کناری را با آن قطع کنیم. اگر این عمل با هرم پنج ضلعی نشان داده شده در بالا انجام شود، مانند شکل زیر به دست خواهید آورد.
از عکس می توان فهمید که این هرم قبلاً دو پایه دارد و قسمت بالایی شبیه به پایین است اما اندازه آن کوچکتر است. سطح جانبی دیگر با مثلث ها نشان داده نمی شود، بلکه توسط ذوزنقه ها نشان داده می شود. آنها متساوی الساقین هستند و تعداد آنها با تعداد اضلاع قاعده مطابقت دارد. شکل بریده مانند یک هرم منظم، راس اصلی ندارد و ارتفاع آن با فاصله بین پایه های موازی تعیین می شود.
در حالت کلی، اگر شکل مورد نظر از پایه های n-ضلعی تشکیل شده باشد، دارای n+2 وجه یا ضلع، 2n راس و 3n یال است. یعنی هرم بریده یک چندوجهی است.
فرمول حجم یک هرم کوتاه
به یاد بیاورید که حجم هرم معمولی 1/3 حاصلضرب ارتفاع و مساحت پایه آن است. این فرمول برای یک هرم کوتاه مناسب نیست، زیرا دارای دو پایه است. و حجم آنهمیشه برای رقم معمولی که از آن مشتق شده است از همان مقدار کمتر خواهد بود.
بدون پرداختن به جزئیات ریاضی برای به دست آوردن عبارت، فرمول نهایی را برای حجم یک هرم کوتاه ارائه می کنیم. به صورت زیر نوشته شده است:
V=1/3h(S1+ S2+ √(S1 S2))
در اینجا S1 و S2 به ترتیب مساحت پایه های پایین و بالایی هستند، h ارتفاع شکل است.. عبارت نوشته شده نه تنها برای یک هرم کوتاه منظم مستقیم، بلکه برای هر شکلی از این کلاس معتبر است. علاوه بر این، صرف نظر از نوع چند ضلعی های پایه. تنها شرطی که استفاده از عبارت V را محدود می کند، نیاز به موازی بودن پایه های هرم با یکدیگر است.
با مطالعه خواص این فرمول می توان چندین نتیجه مهم گرفت. بنابراین، اگر مساحت قاعده بالایی صفر باشد، به فرمول V یک هرم معمولی می رسیم. اگر مساحت پایه ها با یکدیگر برابر باشد، فرمول حجم منشور را بدست می آوریم.
چگونه مساحت سطح جانبی را تعیین کنیم؟
شناخت ویژگی های هرم ناقص نه تنها به توانایی محاسبه حجم آن نیاز دارد، بلکه به دانستن چگونگی تعیین مساحت سطح جانبی نیز نیاز دارد.
هرم ناقص از دو نوع وجه تشکیل شده است:
- ذوزنقه های متساوی الساقین;
- پایه های چند ضلعی.
اگر یک چندضلعی منتظم در پایه ها وجود داشته باشد، محاسبه مساحت آن نشان دهنده بزرگی نیست.مشکلات برای این کار فقط باید طول ضلع a و عدد n آن را بدانید.
در مورد یک سطح جانبی، محاسبه مساحت آن شامل تعیین این مقدار برای هر یک از n ذوزنقه است. اگر n-gon صحیح باشد، فرمول سطح جانبی به صورتمی شود.
Sb=hbn(a1+a2)/2
در اینجا hb ارتفاع ذوزنقه است که به آن آپوتم شکل می گویند. مقادیر a1 و a2طول اضلاع پایه های n-ضلعی منظم هستند.
برای هر هرم کوتاه n-ضلعی منظم، آپوتما hb را می توان به طور منحصر به فرد از طریق پارامترهای a1 و a تعریف کرد. 2و ارتفاع h شکل.
کار محاسبه حجم و مساحت یک شکل
هرم منقطع مثلثی منظم را در نظر می گیریم. مشخص است که ارتفاع آن h 10 سانتی متر و طول اضلاع پایه ها 5 سانتی متر و 3 سانتی متر است.حجم هرم ناقص و مساحت سطح جانبی آن چقدر است؟
ابتدا مقدار V را محاسبه می کنیم. برای این کار، مساحت مثلث های متساوی الاضلاع را که در قاعده های شکل قرار دارند، پیدا کنید. ما داریم:
S1=√3/4a12=√3/4 52=10.825cm2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3.897 سانتی متر2
داده ها را با فرمول V جایگزین کنید، حجم مورد نظر را به دست می آوریم:
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70.72 سانتی متر3
برای تعیین سطح جانبی باید بدانیدطول آپوتم hb. با در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه متناظر در داخل هرم، می توانیم برابری آن را بنویسیم:
hb=√((√3/6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10.017 سانتی متر
مقدار آپوتم و اضلاع پایه های مثلثی با عبارت Sbجایگزین می شود و به جواب می پردازیم:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm2
بنابراین، ما به تمام سؤالات مسئله پاسخ دادیم: V ≈ 70.72 سانتی متر3، Sb ≈ 120.2 سانتی متر2.
