در هندسه از دو مشخصه مهم برای مطالعه شکل ها استفاده می شود: طول اضلاع و زوایای بین آنها. در مورد شکل های فضایی، زوایای دو وجهی نیز به این ویژگی ها اضافه می شود. بیایید در نظر بگیریم که چیست و همچنین روش تعیین این زوایا را با استفاده از مثال یک هرم شرح دهیم.
مفهوم زاویه دو وجهی
همه می‌دانند که دو خط متقاطع با راس در نقطه تقاطع خود یک زاویه تشکیل می‌دهند. این زاویه را می توان با نقاله اندازه گیری کرد و یا از توابع مثلثاتی برای محاسبه آن استفاده کرد. به زاویه ای که از دو زاویه قائمه تشکیل می شود خطی می گویند.
حالا تصور کنید که در فضای سه بعدی دو صفحه وجود دارد که در یک خط مستقیم یکدیگر را قطع می کنند. آنها در تصویر نشان داده شده اند.
زاویه دو وجهی زاویه بین دو صفحه متقاطع است. درست مانند خطی، در درجه یا رادیان اندازه گیری می شود. اگر در هر نقطه از خطی که صفحات در امتداد آن تلاقی می کنند، دو عمود برگردانید،در این صفحات قرار می گیرند، سپس زاویه بین آنها دو وجهی مورد نظر خواهد بود. ساده ترین راه برای تعیین این زاویه استفاده از معادلات کلی صفحات است.
معادله صفحات و فرمول زاویه بین آنها
معادله هر صفحه در فضا به صورت کلی به صورت زیر نوشته می شود:
A × x + B × y + C × z + D=0.
در اینجا x، y، z مختصات نقاط متعلق به صفحه هستند، ضرایب A، B، C، D برخی از اعداد شناخته شده هستند. راحتی این برابری برای محاسبه زوایای دو وجهی این است که به صراحت مختصات بردار جهت صفحه را شامل می شود. آن را با n نشان می دهیم. سپس:
n¯=(A; B; C).
بردار n¯ عمود بر صفحه است. زاویه بین دو صفحه برابر است با زاویه بین بردارهای جهت آنها n1¯ و n2¯. از ریاضیات مشخص است که زاویه تشکیل شده توسط دو بردار به طور منحصر به فردی از حاصل ضرب اسکالر آنها تعیین می شود. این به شما امکان می دهد فرمولی برای محاسبه زاویه دو وجهی بین دو صفحه بنویسید:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
اگر مختصات بردارها را جایگزین کنیم، فرمول به صراحت نوشته می شود:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
علامت مدول در شمارشگر فقط برای تعریف یک زاویه حاد استفاده می شود، زیرا یک زاویه دو وجهی همیشه کمتر یا مساوی ۹۰ است o.
هرم و گوشه های آن
هرم شکلی است که از یک n ضلعی و n مثلث تشکیل شده است. در اینجا n یک عدد صحیح برابر با تعداد اضلاع چند ضلعی است که قاعده هرم است. این شکل فضایی یک چندوجهی یا چندوجهی است، زیرا از وجوه (اضلاع) مسطح تشکیل شده است.
زوایای دو وجهی هرم-چند وجهی می تواند دو نوع باشد:
- بین پایه و ضلع (مثلث)؛
- بین دو طرف.
اگر هرم منظم در نظر گرفته شود، تعیین زوایای نامگذاری شده برای آن آسان است. برای انجام این کار، با استفاده از مختصات سه نقطه شناخته شده، باید یک معادله از صفحات بسازید و سپس از فرمول ارائه شده در پاراگراف بالا برای زاویه φ استفاده کنید.
در زیر مثالی ارائه می دهیم که در آن نحوه یافتن زوایای دو وجهی در قاعده یک هرم منظم چهار گوش را نشان می دهیم.
یک هرم منظم چهار گوش و یک زاویه در قاعده آن
فرض کنید که یک هرم منظم با قاعده مربع داده شده است. طول ضلع مربع a، ارتفاع شکل h است. زاویه بین قاعده هرم و ضلع آن را پیدا کنید.
بیایید مبدا دستگاه مختصات را در مرکز مربع قرار دهیم. سپس مختصات نقاطA، B، C، D نشان داده شده در تصویر عبارتند از:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
هواپیماهای ACB و ADB را در نظر بگیرید. بدیهی است که بردار جهت n1¯ برای صفحه ACB خواهد بود:
1¯=(0; 0; 1).
برای تعیین بردار جهت n2¯ صفحه ADB، به صورت زیر عمل کنید: دو بردار دلخواه را پیدا کنید که به آن تعلق دارند، به عنوان مثال، AD¯ و AB¯، سپس کار بردار آنها را محاسبه کنید. نتیجه آن مختصات n2¯ را نشان می دهد. ما داریم:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
از آنجایی که ضرب و تقسیم بردار بر یک عدد جهت آن را تغییر نمی دهد، n2¯ حاصل را تبدیل می کنیم، با تقسیم مختصات آن بر -a، به دست می آید:
2¯=(h; 0; a/2).
ما راهنماهای برداری n1¯ و n2¯ را برای پایه ACB و صفحات جانبی ADB تعریف کرده ایم. باقی مانده است که از فرمول برای زاویه φ استفاده کنیم:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=آرکوس (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
عبارت به دست آمده را تبدیل کنید و آن را به این شکل بازنویسی کنید:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
فرمول زاویه دو وجهی در قاعده یک هرم چهار گوش منتظم را به دست آورده ایم. با دانستن ارتفاع شکل و طول ضلع آن، می توانید زاویه φ را محاسبه کنید. برای مثال، برای هرم خئوپس که ضلع قاعده آن 230.4 متر و ارتفاع اولیه آن 146.5 متر است، زاویه φ 51.8o خواهد بود.
همچنین می توان زاویه دو وجهی هرم منظم چهار گوش را با استفاده از روش هندسی تعیین کرد. برای این کار کافی است یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید که از ارتفاع h، نصف طول قاعده a/2 و آپوتم یک مثلث متساوی الساقین تشکیل شده است.
