هنگام در نظر گرفتن ارقام در فضا، اغلب مشکلاتی در تعیین مساحت سطح آنها ایجاد می شود. یکی از این شکل ها مخروط است. در مقاله در نظر بگیرید که سطح جانبی مخروط با پایه گرد و همچنین مخروط بریده چیست.
مخروط با پایه گرد
قبل از بررسی سطح جانبی مخروط، نشان خواهیم داد که چه نوع شکلی است و چگونه می توان آن را با استفاده از روش های هندسی به دست آورد.
یک مثلث قائم الزاویه ABC را بگیرید، جایی که AB و AC پاهای هستند. بیایید این مثلث را روی پایه AC قرار دهیم و آن را به دور پایه AB بچرخانیم. در نتیجه، اضلاع AC و BC دو سطح از شکل زیر را توصیف می‌کنند.
شکل به دست آمده از چرخش را مخروط راست گرد می نامند. گرد است زیرا پایه آن دایره است و راست است زیرا عمودی که از بالای شکل (نقطه B) کشیده شده است، دایره را در مرکز آن قطع می کند. طول این عمود را ارتفاع می گویند. بدیهی است که برابر است با پای AB.ارتفاع معمولا با حرف h نشان داده می شود.
علاوه بر ارتفاع، مخروط در نظر گرفته شده با دو ویژگی خطی دیگر توصیف می شود:
- تولید، یا Generatrix (هیپوتنوز BC);
- شعاع پایه (پای AC).
شعاع با حرف r و مولد تریکس با g نشان داده می شود. سپس، با در نظر گرفتن قضیه فیثاغورث، می‌توانیم برابری مهم برای شکل مورد نظر را بنویسیم:
g2=h2+ r2
سطح مخروطی
مجموع همه ژنراتیکس ها سطح مخروطی یا جانبی یک مخروط را تشکیل می دهند. از نظر ظاهری، تشخیص اینکه به کدام شکل صاف مربوط می شود، دشوار است. دانستن مورد دوم هنگام تعیین مساحت سطح مخروطی مهم است. برای حل این مشکل از روش Sweep استفاده می شود. این شامل موارد زیر است: یک سطح به طور ذهنی در امتداد یک ژنراتیکس دلخواه بریده می شود و سپس روی یک صفحه باز می شود. با این روش به دست آوردن یک جارو، شکل مسطح زیر تشکیل می شود.
همانطور که ممکن است حدس بزنید، دایره با قاعده مطابقت دارد، اما بخش دایره ای یک سطح مخروطی شکل است، مساحتی که ما به آن علاقه داریم. این بخش توسط دو ژنراتیک و یک قوس محدود شده است. طول دومی دقیقاً برابر با محیط (طول) محیط پایه است. این ویژگی ها به طور منحصر به فرد تمام ویژگی های بخش دایره ای را تعیین می کنند. ما محاسبات ریاضی متوسط نخواهیم داد، اما بلافاصله فرمول نهایی را یادداشت می کنیم، با استفاده از آن می توانید مساحت سطح جانبی مخروط را محاسبه کنید. فرمول این است:
Sb=pigr
مساحت سطح مخروطی شکل Sb برابر است با حاصل ضرب دو پارامتر و پی.
مخروط کوتاه شده و سطح آن
اگر یک مخروط معمولی را برداریم و بالای آن را با صفحه موازی قطع کنیم، شکل باقیمانده یک مخروط کوتاه خواهد بود. سطح جانبی آن توسط دو پایه گرد محدود شده است. بیایید شعاع آنها را R و r نشان دهیم. ارتفاع شکل را با h و ژنراتیکس را با g نشان می دهیم. در زیر یک برش کاغذ برای این شکل وجود دارد.
می توان دید که سطح جانبی دیگر یک بخش دایره ای نیست، از نظر مساحت کوچکتر است، زیرا قسمت مرکزی از آن جدا شده است. توسعه به چهار خط محدود می‌شود، دو تای آنها بخش‌های خط مستقیم-مولد هستند، دو تای دیگر کمان‌هایی با طول دایره‌های مربوط به پایه‌های مخروط کوتاه هستند.
سطح جانبی Sbبه شرح زیر محاسبه می شود:
Sb=pig(r + R)
ژنراتیکس، شعاع و ارتفاع با برابری زیر مرتبط هستند:
g2=h2+ (R - r)2
مسئله برابری مساحت های شکل ها
با توجه به مخروط با ارتفاع ۲۰ سانتی متر و شعاع پایه ۸ سانتی متر باید ارتفاع مخروط بریده ای را پیدا کرد که سطح جانبی آن مساحتی برابر با این مخروط داشته باشد. شکل بریده بر روی همان پایه ساخته شده است و شعاع پایه بالایی 3 سانتی متر است.
ابتدا شرط برابری مساحت های مخروط و شکل بریده را می نویسیم. ما داریم:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
حالا بیایید عبارات ژنراتیک هر شکل را بنویسیم:
g1=√(R2+ h12 ؛
g2=√((R-r)2 + h2 2)
g1 و g2 را در فرمول مساحت مساوی و مربع ضلع چپ و راست جایگزین کنید، دریافت می کنیم:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
جایی که عبارت h2:
را دریافت می کنیم
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
این برابری را ساده نمی کنیم، بلکه داده های شناخته شده از شرط را جایگزین می کنیم:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14.85 سانتی متر
بنابراین، برای برابری مساحت سطوح جانبی شکل ها، مخروط کوتاه شده باید دارای پارامترهای: R=8 cm، r=3 cm، h2 باشد.≈ 14، 85 سانتی متر.
