هنگام مطالعه استریومتری، یکی از موضوعات اصلی "سیلندر" است. مساحت سطح جانبی، اگر فرمول اصلی نباشد، فرمول مهمی در حل مسائل هندسی در نظر گرفته می شود. با این حال، مهم است که تعاریفی را به خاطر بسپارید که به شما کمک می کند در مثال ها و هنگام اثبات قضایای مختلف پیمایش کنید.
مفهوم سیلندر
ابتدا باید چند تعریف را در نظر بگیریم. فقط پس از مطالعه آنها می توان سؤال فرمول مساحت سطح جانبی یک استوانه را در نظر گرفت. بر اساس این ورودی، عبارات دیگر را می توان محاسبه کرد.
- سطح استوانه‌ای به عنوان صفحه‌ای توصیف می‌شود که با یک ژنراتیکس در حال حرکت و موازی با یک جهت معین است و در امتداد یک منحنی موجود می‌لغزد.
- تعریف دومی نیز وجود دارد: یک سطح استوانه ای از مجموعه ای از خطوط موازی تشکیل می شود که یک منحنی معین را قطع می کنند.
- Generative معمولاً ارتفاع سیلندر نامیده می شود. وقتی حول محوری که از مرکز پایه می گذرد حرکت می کند،جسم هندسی تعیین شده به دست می آید.
- زیر محور به معنای خط مستقیمی است که از هر دو پایه شکل می گذرد.
- استوانه یک جسم استریومتریک است که توسط یک سطح جانبی متقاطع و دو صفحه موازی محدود شده است.
انواع این شکل سه بعدی وجود دارد:
- دایره استوانه ای است که راهنمای آن دایره است. اجزای اصلی آن شعاع پایه و ژنراتیکس هستند. دومی برابر با ارتفاع شکل است.
- یک استوانه مستقیم وجود دارد. نام خود را به دلیل عمود بودن ژنراتیکس به پایه های شکل گرفته است.
- نوع سوم یک استوانه اریب است. در کتاب های درسی نیز می توانید نام دیگری برای آن پیدا کنید - "سیلندر دایره ای با پایه اریب". این شکل شعاع پایه، حداقل و حداکثر ارتفاع را مشخص می کند.
- استوانه متساوی الاضلاع به جسمی گفته می شود که ارتفاع و قطر یک صفحه دایره ای برابر دارد.
نماد
به طور سنتی، "اجزای" اصلی یک سیلندر به شرح زیر نامیده می شود:
- شعاع پایه R است (همچنین جایگزین همان مقدار یک شکل استریومتریک می شود).
- Generative – L.
- قد – ارتفاع
- منطقه پایه - Sپایه(به عبارت دیگر، باید پارامتر دایره مشخص شده را پیدا کنید).
- ارتفاع سیلندر اریب - h1، h2 (حداقل و حداکثر).
- مساحت سطح جانبی - Sسمت (اگر آن را گسترش دهید، دریافت می کنیدنوعی مستطیل).
- حجم یک شکل استریومتریک - V.
- مساحت سطح کل – S.
"اجزای" یک شکل استریومتریک
هنگام مطالعه یک استوانه، سطح جانبی نقش مهمی ایفا می کند. این به این دلیل است که این فرمول در چندین فرمول پیچیده دیگر گنجانده شده است. بنابراین، لازم است که در تئوری تسلط کامل داشته باشیم.
اجزای اصلی شکل عبارتند از:
- سطح جانبی. همانطور که می دانید به دلیل حرکت ژنراتیکس در طول یک منحنی مشخص به دست می آید.
- سطح کامل شامل پایه‌های موجود و صفحه جانبی است.
- قطعه یک استوانه معمولاً مستطیلی است که موازی با محور شکل قرار دارد. در غیر این صورت به آن هواپیما می گویند. به نظر می رسد که طول و عرض اجزای پاره وقت سایر ارقام هستند. بنابراین، به طور مشروط، طول های بخش ژنراتور هستند. عرض - آکوردهای موازی یک شکل استریومتریک.
- قطع محوری به معنای محل هواپیما در مرکز بدن است.
- و در نهایت، تعریف نهایی. مماس صفحه‌ای است که از ژنراتیکس استوانه عبور می‌کند و با بخش محوری زاویه قائم دارد. در این صورت یک شرط باید رعایت شود. ژنراتیکس مشخص شده باید در صفحه بخش محوری گنجانده شود.
فرمول های اساسی برای کار با سیلندر
برای پاسخ به این سوال که چگونه می توان مساحت سطح یک استوانه را پیدا کرد، باید "اجزای" اصلی یک شکل استریومتریک و فرمول های یافتن آنها را مطالعه کرد.
این فرمول ها از این جهت متفاوت هستند که ابتدا عبارات استوانه اریب داده می شود و سپس برای استوانه مستقیم.
نمونه‌های ساختارشکنی
وظیفه 1.
دانستن مساحت سطح جانبی سیلندر ضروری است. مورب بخش AC=8 سانتی متر داده شده است (علاوه بر این، محوری است). هنگام تماس با ژنراتیکس، معلوم می شود <ACD=30°
تصمیم. از آنجایی که مقادیر مورب و زاویه مشخص است، در این مورد:
CD=ACcos 30°
نظر دهید. مثلث ACD، در این مثال خاص، یک مثلث قائم الزاویه است. این بدان معنی است که ضریب تقسیم CD و AC=کسینوس زاویه داده شده است. مقدار توابع مثلثاتی را می توان در یک جدول خاص یافت.
به طور مشابه، می توانید مقدار AD را پیدا کنید:
AD=ACsin 30°
اکنون باید نتیجه مورد نظر را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنید: مساحت سطح جانبی استوانه برابر با دو برابر حاصل ضرب "pi"، شعاع شکل و ارتفاع آن است. فرمول دیگری نیز باید استفاده شود: مساحت پایه سیلندر. برابر است با حاصل ضرب "پی" در مربع شعاع. و در نهایت، آخرین فرمول: سطح کل. برابر است با مجموع دو ناحیه قبلی.
وظیفه ۲.
سیلندر داده می شود. حجم آنها=128n cm³. کدام سیلندر کوچکترین استسطح کامل؟
تصمیم. ابتدا باید از فرمول هایی برای یافتن حجم یک شکل و ارتفاع آن استفاده کنید.
از آنجایی که مساحت کل یک استوانه از نظر تئوری مشخص است، فرمول آن باید اعمال شود.
اگر فرمول حاصل را تابعی از مساحت استوانه در نظر بگیریم، حداقل "نشانگر" در نقطه منتهی به دست خواهد آمد. برای بدست آوردن آخرین مقدار، باید از تمایز استفاده کنید.
فرمول ها را می توان در یک جدول ویژه برای یافتن مشتقات مشاهده کرد. در آینده، نتیجه یافت شده برابر با صفر می شود و حل معادله پیدا می شود.
پاسخ: Smin در h=1/32 سانتی متر، R=64 سانتی متر به دست می آید.
مسئله 3.
با توجه به یک شکل استریومتریک - یک استوانه و یک بخش. دومی به گونه ای انجام می شود که به موازات محور بدنه استریومتریک قرار دارد. استوانه دارای پارامترهای زیر است: VK=17 سانتی متر، h=15 سانتی متر، R=5 سانتی متر. لازم است فاصله بین مقطع و محور را پیدا کنید.
تصمیم.
از آنجایی که سطح مقطع یک استوانه VSCM است، یعنی مستطیل، ضلع آن VM=h. WMC باید در نظر گرفته شود. مثلث مستطیل است. بر اساس این عبارت، می‌توانیم این فرض درست را استنباط کنیم که MK=قبل از میلاد.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
از اینجا می توانیم نتیجه بگیریم که MK=BC=8 سانتی متر.
مرحله بعدی کشیدن یک مقطع از پایه شکل است. لازم است صفحه حاصل را در نظر بگیرید.
AD - قطر یک شکل استریومتریک. موازی با بخش ذکر شده در بیانیه مشکل است.
BC یک خط مستقیم است که در صفحه مستطیل موجود قرار دارد.
ABCD یک ذوزنقه است. در یک مورد خاص، متساوی الساقین در نظر گرفته می شود، زیرا یک دایره در اطراف آن توصیف شده است.
اگر ارتفاع ذوزنقه حاصل را بیابید، می توانید پاسخ داده شده در ابتدای مسئله را دریافت کنید. یعنی: پیدا کردن فاصله بین محور و مقطع ترسیم شده.
برای انجام این کار، باید مقادیر AD و OS را پیدا کنید.
پاسخ: برش در فاصله 3 سانتی متری از محور قرار دارد.
مشکلات برای یکپارچه سازی مواد
مثال 1.
سیلندر داده شده است. سطح جانبی در محلول بعدی استفاده می شود. گزینه های دیگر شناخته شده است. مساحت پایه Q است، مساحت بخش محوری M است. باید S را پیدا کرد. به عبارت دیگر، مساحت کل استوانه را پیدا کرد.
مثال 2.
سیلندر داده شده است. سطح جانبی باید در یکی از مراحل حل مشکل پیدا شود. مشخص است که ارتفاع=4 سانتی متر، شعاع=2 سانتی متر است. لازم است مساحت کل یک شکل استریومتریک را پیدا کنید.
