منشور یکی از چهره های شناخته شده ای است که در درس هندسه جامد در مدارس متوسطه مورد مطالعه قرار گرفته است. برای اینکه بتوانید ویژگی های مختلف را برای شکل های این کلاس محاسبه کنید، باید بدانید که چه نوع منشوری وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به این موضوع بیندازیم.
منشور در استریومتری
قبل از هر چیز اجازه دهید کلاس شکل های ذکر شده را تعریف کنیم. منشور هر چند وجهی متشکل از دو قاعده چند ضلعی موازی است که توسط متوازی الاضلاع به هم مرتبط هستند.
می توانید این شکل را به روش زیر بدست آورید: یک چند ضلعی دلخواه را در صفحه انتخاب کنید، و سپس آن را به طول هر بردار که به صفحه اصلی چندضلعی تعلق ندارد منتقل کنید. در طول چنین حرکت موازی، اضلاع چند ضلعی وجوه جانبی منشور آینده را توصیف می کنند و موقعیت نهایی چند ضلعی به پایه دوم شکل تبدیل می شود. به روش توصیف شده، می توان یک نوع دلخواه از منشور را به دست آورد. شکل زیر یک منشور مثلثی را نشان می دهد.
انواع منشورها چیست؟
این در مورد طبقه بندی اشکال استکلاس مورد نظر در حالت کلی، این طبقه بندی با در نظر گرفتن ویژگی های پایه چند ضلعی و اضلاع شکل انجام می شود. معمولاً سه نوع منشور زیر متمایز می شوند:
- مستقیم و مایل (مورب).
- درست و غلط.
- محدب و مقعر.
یک منشور از هر یک از انواع طبقه‌بندی نام‌گذاری شده می‌تواند پایه چهارگوش، پنج ضلعی، …، n-ضلعی داشته باشد. در مورد انواع منشور مثلثی فقط می توان آن را با توجه به دو نکته اول ذکر شده طبقه بندی کرد. یک منشور مثلثی همیشه محدب است.
در زیر، نگاه دقیق‌تری به هر یک از این دسته‌بندی‌ها خواهیم داشت و فرمول‌های مفیدی برای محاسبه ویژگی‌های هندسی یک منشور (مساحت سطح، حجم) ارائه می‌کنیم.
اشکال مستقیم و مایل
می توان در یک نگاه منشور مستقیم را از مورب تشخیص داد. در اینجا شکل مربوطه است.
در اینجا دو منشور نشان داده شده است (شش ضلعی در سمت چپ و پنج ضلعی در سمت راست). همه با اطمینان خواهند گفت که شش ضلعی مستقیم است و پنج ضلعی مایل است. چه ویژگی هندسی این منشورها را متمایز می کند؟ البته نوع صورت کناری.
یک منشور مستقیم، صرف نظر از پایه آن، همه وجوه مستطیل هستند. آنها می توانند با یکدیگر برابر باشند یا می توانند متفاوت باشند، تنها نکته مهم این است که مستطیل هستند و زوایای دو وجهی آنها با پایه ها 90o است.
در مورد شکل اریب باید گفت که تمام یا برخی از وجوه کناری آنمتوازی الاضلاع که زوایای دووجهی غیرمستقیم را با قاعده تشکیل می دهند.
برای همه انواع منشورهای مستقیم، ارتفاع طول لبه کناری است، برای شکل های مورب، ارتفاع همیشه کمتر از لبه های کناری آنها است. دانستن ارتفاع یک منشور هنگام محاسبه سطح و حجم آن مهم است. به عنوان مثال، فرمول حجم این است:
V=Soh
جایی که h ارتفاع است، So مساحت یک پایه است.
منشور درست و نادرست
هر منشوری اگر مستقیم نباشد یا قاعده آن درست نباشد اشتباه است. مسئله منشورهای مستقیم و مایل در بالا مورد بحث قرار گرفت. در اینجا ما معنای عبارت "پایه چند ضلعی منظم" را در نظر می گیریم.
یک چند ضلعی منتظم است اگر همه اضلاع آن برابر باشند (طول آنها را با حرف a نشان می دهیم)، و همه زوایای آن نیز برابر باشند. نمونه هایی از چند ضلعی های منتظم عبارتند از یک مثلث متساوی الاضلاع، یک مربع، یک شش ضلعی با شش گوشه 120o و غیره. مساحت هر n-gon معمولی با استفاده از این فرمول محاسبه می شود:
S=n/4a2ctg(pi/n)
در زیر یک نمایش شماتیک از منشورهای منظم با پایه های مثلثی، مربعی، …، هشت ضلعی است.
با استفاده از فرمول بالا برای V، می توانیم عبارت مربوطه را برای اشکال منظم بنویسیم:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
در مورد مساحت کل، برای منشورهای منظم از مساحت دو تشکیل می شود.پایه های یکسان و n مستطیل یکسان با اضلاع h و a. این حقایق به ما اجازه می‌دهد تا فرمولی برای مساحت سطح هر منشور منظم بنویسیم:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
در اینجا اولین عبارت مربوط به مساحت دو پایه است، عبارت دوم فقط مساحت سطح جانبی را تعیین می کند.
از همه انواع منشورهای منظم، فقط منشورهای چهار گوش نام خاص خود را دارند. بنابراین، یک منشور چهار گوش منتظم، که در آن a≠h، متوازی الاضلاع مستطیلی نامیده می شود. اگر این رقم دارای a=h باشد، آنها در مورد یک مکعب صحبت می کنند.
اشکال مقعر
تا کنون، ما فقط انواع محدب از منشورها را در نظر گرفته‌ایم. توجه اصلی به آنها در مطالعه کلاس چهره های مورد بررسی است. با این حال، منشورهای مقعر نیز وجود دارد. آنها با پایه های محدب تفاوت دارند زیرا پایه های آنها چند ضلعی مقعر هستند که از یک چهارضلعی شروع می شوند.
شکل دو منشور مقعر را نشان می دهد که به عنوان مثال از کاغذ ساخته شده اند. سمت چپ به شکل ستاره پنج پر یک منشور ده ضلعی است، سمت راست به شکل ستاره شش پر منشور مستقیم مقعر دوازده ضلعی نامیده می شود.
