حجم مشخصه هر شکلی است که در هر سه بعد فضا دارای ابعاد غیر صفر است. در این مقاله از دیدگاه استریومتری (هندسه اشکال فضایی) منشوری را در نظر می گیریم و نحوه یافتن حجم منشورهای مختلف را نشان می دهیم.
منشور چیست؟
استریومتری پاسخ دقیقی برای این سوال دارد. منشور در آن به عنوان شکلی شناخته می شود که توسط دو وجه چند ضلعی یکسان و چندین متوازی الاضلاع تشکیل شده است. تصویر زیر چهار منشور مختلف را نشان می دهد.
هر یک از آنها را می توان به صورت زیر به دست آورد: شما باید یک چند ضلعی (مثلث، چهار ضلعی و غیره) و یک قطعه با طول معین بگیرید. سپس هر رأس چند ضلعی باید با استفاده از قطعات موازی به صفحه دیگری منتقل شود. در صفحه جدید، که موازی با صفحه اصلی خواهد بود، یک چند ضلعی جدید به دست می‌آید، مشابه آن چیزی که در ابتدا انتخاب شده بود.
منشورها می توانند انواع مختلفی داشته باشند. بنابراین، آنها می توانند مستقیم، مایل و صحیح باشند. اگر لبه جانبی منشور (بخش،اتصال رئوس پایه ها) عمود بر پایه های شکل، سپس دومی یک خط مستقیم است. بر این اساس، اگر این شرط برآورده نشد، در این صورت صحبت از منشور مایل است. یک شکل منظم یک منشور راست با قاعده متساوی الاضلاع و متساوی الاضلاع است.
در ادامه مقاله نحوه محاسبه حجم هر یک از این نوع منشورها را نشان خواهیم داد.
حجم منشورهای منظم
بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم. فرمول حجم یک منشور منظم با پایه n ضلعی را می دهیم. فرمول حجمی V برای هر شکل از کلاس مورد نظر به شرح زیر است:
V=Soh.
یعنی برای تعیین حجم کافی است مساحت یکی از پایه های So را محاسبه کرده و در ارتفاع h شکل ضرب کنیم.
در مورد منشور منظم، طول ضلع قاعده آن را با حرف a و ارتفاع را که برابر با طول لبه کناری است با حرف h نشان می دهیم. اگر پایه n-gon صحیح باشد، ساده ترین راه برای محاسبه مساحت آن استفاده از فرمول جهانی زیر است:
S=n/4a2ctg(pi/n).
با جایگزینی مقدار تعداد ضلع n و طول یک ضلع a به تساوی، می توانید مساحت پایه n ضلعی را محاسبه کنید. توجه داشته باشید که تابع کتانژانت در اینجا برای زاویه pi/n محاسبه می شود که با رادیان بیان می شود.
با توجه به تساوی نوشته شده برای S، فرمول نهایی حجم یک منشور منظم را به دست می آوریم:
V=n/4a2hctg(pi/n).
برای هر مورد خاص، می توانید فرمول های مربوط به V را بنویسید، اما همه آنهابه طور منحصر به فرد از عبارت کلی نوشتاری پیروی کنید. به عنوان مثال، برای یک منشور چهار گوش منتظم، که در حالت کلی یک متوازی الاضلاع مستطیلی است، به دست می آوریم:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
اگر در این عبارت h=a را بگیریم، فرمول حجم مکعب را به دست می آوریم.
حجم منشورهای مستقیم
ما فوراً توجه می کنیم که برای ارقام مستقیم هیچ فرمول کلی برای محاسبه حجم وجود ندارد که در بالا برای منشورهای معمولی ارائه شد. هنگام یافتن مقدار مورد نظر، باید از عبارت اصلی استفاده شود:
V=Soh.
در اینجا h طول لبه کناری است، مانند مورد قبلی. در مورد ناحیه پایه So، می تواند مقادیر مختلفی به خود بگیرد. کار محاسبه منشور مستقیم حجم به یافتن مساحت قاعده آن کاهش می یابد.
محاسبه مقدار So باید بر اساس ویژگی های خود پایه انجام شود. به عنوان مثال، اگر یک مثلث باشد، مساحت را می توان به این صورت محاسبه کرد:
So3=1/2aha.
در اینجا ha نقطه دوم مثلث است، یعنی ارتفاع آن به قاعده a کاهش یافته است.
اگر قاعده چهار ضلعی است، می تواند ذوزنقه، متوازی الاضلاع، مستطیل یا یک نوع کاملاً دلخواه باشد. برای همه این موارد باید از فرمول پلان سنجی مناسب برای تعیین مساحت استفاده کنید. به عنوان مثال، برای یک ذوزنقه، این فرمول به نظر می رسد:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
جایی که ha ارتفاع ذوزنقه است، a۱ و a۲ طول هستند اضلاع موازی آن.
برای تعیین مساحت چند ضلعی های مرتبه بالاتر، باید آنها را به اشکال ساده (مثلث، چهارگوش) تقسیم کنید و مجموع مساحت های دومی را محاسبه کنید.
حجم منشور کج
این سخت ترین مورد برای محاسبه حجم یک منشور است. فرمول کلی برای چنین ارقامی نیز اعمال می شود:
V=Soh.
با این حال، به پیچیدگی یافتن مساحت پایه که یک نوع دلخواه از چند ضلعی را نشان می دهد، مشکل تعیین ارتفاع شکل اضافه می شود. همیشه از طول لبه جانبی در یک منشور مایل کمتر است.
ساده ترین راه برای یافتن این ارتفاع این است که زاویه ای از شکل (مسطح یا دو وجهی) را بشناسید. اگر چنین زاویه ای داده شود، باید از آن برای ساختن مثلث قائم الزاویه در داخل منشور استفاده کرد که دارای ارتفاع h به عنوان یکی از اضلاع باشد و با استفاده از توابع مثلثاتی و قضیه فیثاغورث، مقدار h را پیدا کرد.
مسئله حجم هندسی
منشور منظم با قاعده مثلثی با ارتفاع 14 سانتی متر و طول ضلع 5 سانتی متر در نظر گرفته شده است. حجم منشور مثلثی چقدر است؟
از آنجایی که ما در مورد رقم صحیح صحبت می کنیم، حق داریم از فرمول شناخته شده استفاده کنیم. ما داریم:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 سانتی متر3.
یک منشور مثلثی شکل نسبتاً متقارنی است که اغلب ساختارهای معماری مختلفی به شکل آن ساخته می شود. این منشور شیشه ای در اپتیک استفاده می شود.
