اشکال هندسی در فضا موضوع مطالعه استریومتری هستند که دوره آن را دانش آموزان دبیرستانی می گذرانند. این مقاله به چندوجهی کاملی مانند منشور اختصاص دارد. اجازه دهید خصوصیات یک منشور را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم و فرمول هایی را ارائه کنیم که برای توصیف کمی آنها مفید است.
منشور چیست؟
همه تصور می کنند که یک جعبه یا مکعب چگونه است. هر دو شکل منشور هستند. با این حال، کلاس منشورها بسیار متنوع تر است. در هندسه، این شکل به شرح زیر است: منشور هر چند وجهی در فضا است که از دو ضلع چند ضلعی موازی و یکسان و چندین متوازی الاضلاع تشکیل می شود. وجه های موازی یکسان یک شکل را پایه های آن (بالا و پایین) می نامند. متوازی الاضلاع وجه های جانبی شکل هستند که دو طرف پایه را به یکدیگر متصل می کنند.
اگر پایه با یک n-gon نشان داده شود، که در آن n یک عدد صحیح است، آنگاه شکل از 2+n وجه، 2n راس و 3n یال تشکیل خواهد شد. صورت ها و لبه ها اشاره داردیکی از دو نوع: یا متعلق به سطح جانبی هستند یا به پایه ها. در مورد رئوس، همه آنها برابر هستند و به پایه های منشور تعلق دارند.
انواع ارقام کلاس مورد مطالعه
با مطالعه خواص یک منشور، باید انواع احتمالی این شکل را فهرست کنید:
- محدب و مقعر. تفاوت بین آنها در شکل پایه چند ضلعی نهفته است. اگر مقعر باشد، یک شکل سه بعدی نیز خواهد بود و بالعکس.
- مستقیم و مایل. برای یک منشور مستقیم، وجوه جانبی مستطیل یا مربع هستند. در شکل اریب، وجوه جانبی متوازی الاضلاع از نوع عمومی یا لوزی هستند.
- اشتباه و درست. برای اینکه شکل مورد مطالعه صحیح باشد باید مستقیم و دارای پایه صحیح باشد. نمونه‌ای از دومی شکل‌های مسطح مانند مثلث متساوی الاضلاع یا مربع هستند.
نام منشور با در نظر گرفتن طبقه بندی ذکر شده تشکیل شده است. به عنوان مثال، متوازی الاضلاع یا مکعب قائم الزاویه که در بالا ذکر شد، منشور چهار گوش منتظم نامیده می شود. منشورهای منظم، به دلیل تقارن زیاد، برای مطالعه راحت هستند. خواص آنها در قالب فرمول های ریاضی خاص بیان می شود.
منطقه منشور
وقتی چنین خاصیتی از یک منشور را مساحت آن در نظر می گیریم، منظور آنها مساحت کل تمام وجوه آن است. تصور این مقدار ساده‌تر است اگر شکل را باز کنید، یعنی همه چهره‌ها را در یک صفحه گسترش دهید. زیر درشکل نمونه ای از جارو کردن دو منشور را نشان می دهد.
برای یک منشور دلخواه، فرمول مساحت حرکت آن را می توان به صورت زیر نوشت:
S=2So+ bPsr.
بیایید نماد را توضیح دهیم. مقدار So مساحت یک پایه، b طول لبه کناری، Psr محیط برش است که عمود بر متوازی الاضلاع شکل است.
فرمول نوشته شده اغلب برای تعیین نواحی منشورهای مایل استفاده می شود. در مورد یک منشور منظم، عبارت S شکل خاصی به خود می گیرد:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
جمله اول در عبارت نشان دهنده مساحت دو پایه یک منشور منظم است، جمله دوم مساحت مستطیل های جانبی است. در اینجا a طول ضلع یک n-گون معمولی است. توجه داشته باشید که طول لبه کناری b برای یک منشور منظم نیز ارتفاع آن h است، بنابراین در فرمول b را می توان با h جایگزین کرد.
چگونه حجم یک رقم را محاسبه کنیم؟
منشور یک چندوجهی نسبتا ساده با تقارن بالا است. بنابراین، برای تعیین حجم آن، یک فرمول بسیار ساده وجود دارد. به نظر می رسد:
V=Soh.
محاسبه مساحت پایه و ارتفاع هنگام نگاه کردن به یک شکل نامنظم مورب می تواند مشکل باشد. این مشکل با استفاده از تجزیه و تحلیل هندسی متوالی شامل اطلاعات مربوط به زوایای دو وجهی بین متوازی الاضلاع و قاعده حل می شود.
اگر منشور درست است پسفرمول V کاملا مشخص می شود:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
همانطور که می بینید، مساحت S و حجم V برای یک منشور منظم در صورتی که دو پارامتر خطی آن شناخته شده باشند به طور منحصر به فردی تعیین می شوند.
منشور مثلثی منظم
اجازه دهید مقاله را با در نظر گرفتن خواص یک منشور مثلثی منظم به پایان برسانیم. از پنج وجه تشکیل شده است که سه وجه آن مستطیل (مربع) و دو وجه آن مثلث متساوی الاضلاع است. یک منشور دارای شش رأس و نه یال است. برای این منشور، فرمول حجم و مساحت سطح در زیر نوشته شده است:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
علاوه بر این خصوصیات، ارائه فرمولی برای آپوتم قاعده شکل نیز مفید است که ارتفاع ha یک مثلث متساوی الاضلاع است:.
ha=√3/2a.
اضلاع منشور مستطیل های یکسان هستند. طول قطرهای d آنها عبارتند از:
d=√(a2+ h2.
دانش خواص هندسی یک منشور مثلثی نه تنها از نظر نظری بلکه عملی نیز مورد توجه است. واقعیت این است که این شکل که از شیشه نوری ساخته شده است برای مطالعه طیف تابش اجسام استفاده می شود.
با عبور از یک منشور شیشه ای، نور در نتیجه پدیده پراکندگی به تعدادی رنگ جزء تجزیه می شود که شرایطی را برای مطالعه ترکیب طیفی یک شار الکترومغناطیسی ایجاد می کند.
