این اشکال هندسی همه جا ما را احاطه کرده اند. چند ضلعی های محدب می توانند طبیعی مانند لانه زنبوری یا مصنوعی (ساخت بشر) باشند. از این فیگورها در تولید انواع پوشش ها، در نقاشی، معماری، دکوراسیون و … استفاده می شود. چند ضلعی های محدب این خاصیت را دارند که تمام نقاط آنها در یک سمت یک خط مستقیم است که از یک جفت رئوس مجاور این شکل هندسی می گذرد. تعاریف دیگری نیز وجود دارد. یک چند ضلعی محدب نامیده می شود که در یک نیمه صفحه واحد نسبت به هر خط مستقیمی که یکی از اضلاع آن را شامل می شود قرار گیرد.
چند ضلعی های محدب
در دوره هندسه ابتدایی، همیشه فقط چند ضلعی های ساده در نظر گرفته می شوند. برای درک تمام خواص از جملهاشکال هندسی، درک ماهیت آنها ضروری است. برای شروع، باید فهمید که هر خطی بسته نامیده می شود که انتهای آن منطبق است. علاوه بر این، شکل تشکیل شده توسط آن می تواند پیکربندی های مختلفی داشته باشد. چند ضلعی یک خط شکسته بسته ساده است که در آن پیوندهای همسایه در یک خط مستقیم قرار ندارند. پیوندها و رئوس آن به ترتیب اضلاع و رئوس این شکل هندسی هستند. یک چندخط ساده نباید خود تقاطع داشته باشد.
رئوس چند ضلعی در صورتی مجاور نامیده می شوند که نشان دهنده انتهای یکی از ضلع های آن باشند. شکل هندسی که دارای n ام رئوس و در نتیجه n امین تعداد اضلاع باشد، n-gon نامیده می شود. به خود خط شکسته، مرز یا خط این شکل هندسی می گویند. صفحه چند ضلعی یا چندضلعی مسطح به قسمت انتهایی هر صفحه ای که به آن محدود می شود گفته می شود. اضلاع مجاور این شکل هندسی را پاره های یک خط شکسته می گویند که از یک راس سرچشمه می گیرد. اگر از رئوس مختلف چند ضلعی آمده باشند مجاور نخواهند بود.
تعاریف دیگر از چند ضلعی های محدب
در هندسه ابتدایی، چندین تعریف معادل دیگر وجود دارد که نشان می دهد کدام چند ضلعی محدب نامیده می شود. همه این اظهارات به یک اندازه درست است. یک چند ضلعی محدب در نظر گرفته می شود اگر:
• هر قطعه ای که هر دو نقطه را در داخل خود به هم متصل می کند، کاملاً درون آن قرار دارد؛
• داخل آنتمام مورب های آن دروغ می گویند؛
• هر زاویه داخلی از 180 درجه تجاوز نمی کند.
یک چند ضلعی همیشه یک صفحه را به 2 قسمت تقسیم می کند. یکی از آنها محدود است (می توان آن را در یک دایره محصور کرد) و دیگری نامحدود است. اولی ناحیه داخلی و دومی ناحیه بیرونی این شکل هندسی است. این چند ضلعی یک تقاطع (به عبارت دیگر جزء مشترک) چند نیم صفحه است. علاوه بر این، هر قطعه ای که در نقاطی که به چندضلعی تعلق دارند، انتهای آن کاملاً به آن تعلق دارد.
انواع چند ضلعی های محدب
تعریف چند ضلعی محدب نشان نمی دهد که انواع زیادی از آنها وجود دارد. و هر کدام معیارهای خاصی دارند. بنابراین، چند ضلعی های محدب که دارای زاویه داخلی 180 درجه هستند، ضعیف محدب نامیده می شوند. یک شکل هندسی محدب که دارای سه رأس است، یک مثلث، چهار - چهار ضلعی، پنج - یک پنج ضلعی، و غیره نامیده می شود. مثلث محدب است به شکل هندسی از این نوع که در آن همه رئوس روی یک دایره قرار دارند، در یک دایره محاط می گویند. یک چند ضلعی محدب، محدود نامیده می شود که تمام اضلاع آن نزدیک به دایره آن را لمس کنند. دو چند ضلعی فقط در صورتی برابر هستند که بتوان آنها را با برهم نهی بر هم قرار داد. به چند ضلعی صفحه، صفحه چند ضلعی می گویند.(بخشی از هواپیما)، که توسط این شکل هندسی محدود شده است.
چند ضلعی های محدب منظم
چندضلعی های منتظم اشکال هندسی با زاویه و اضلاع مساوی هستند. در داخل آنها یک نقطه 0 وجود دارد که در همان فاصله از هر یک از رئوس آن قرار دارد. به آن مرکز این شکل هندسی می گویند. پاره هایی که مرکز را با رئوس این شکل هندسی وصل می کنند، آپوتم و آنهایی که نقطه صفر را به اضلاع متصل می کنند، شعاع نامیده می شوند.
یک چهار ضلعی منظم مربع است. مثلث متساوی الاضلاع را مثلث متساوی الاضلاع می گویند. برای چنین ارقامی، قانون زیر وجود دارد: هر گوشه از یک چند ضلعی محدب 180 درجه(n-2)/ n،
است.
که در آن n تعداد رئوس این شکل هندسی محدب است.
مساحت هر چند ضلعی منظم با فرمول تعیین می شود:
S=ph،
که در آن p نصف مجموع اضلاع چند ضلعی داده شده و h طول آپوتم است.
ویژگی های چندضلعی های محدب
چند ضلعی های محدب ویژگی های خاصی دارند. بنابراین، بخشی که هر 2 نقطه از چنین شکل هندسی را به هم متصل می کند، لزوماً در آن قرار دارد. اثبات:
فرض کنید که P یک چند ضلعی محدب داده شده است. ما 2 نقطه دلخواه را می گیریم، به عنوان مثال، A، B که متعلق به P است. با توجه به تعریف موجود از یک چند ضلعی محدب، این نقاط در همان سمت خط قرار دارند که شامل هر ضلعی از P است.بنابراین، AB نیز این ویژگی را دارد و در P موجود است. یک چند ضلعی محدب همیشه می‌تواند با مطلقاً تمام قطرهای رسم شده از یکی از رئوس آن به چندین مثلث تقسیم شود.
زوایای اشکال هندسی محدب
گوشه های یک چند ضلعی محدب گوشه هایی هستند که از اضلاع آن تشکیل شده اند. گوشه های داخلی در ناحیه داخلی یک شکل هندسی مشخص قرار دارند. زاویه ای که توسط اضلاع آن که در یک راس همگرا هستند تشکیل می شود، زاویه یک چندضلعی محدب نامیده می شود. زوایای مجاور زوایای داخلی یک شکل هندسی معین را خارجی می نامند. هر گوشه از چند ضلعی محدب واقع در داخل آن عبارت است از:
180° - x،
که در آن x مقدار زاویه بیرونی است. این فرمول ساده برای هر شکل هندسی از این نوع کار می کند.
به طور کلی، برای گوشه های خارجی قانون زیر وجود دارد: هر زاویه از یک چند ضلعی محدب برابر است با اختلاف بین 180 درجه و مقدار زاویه داخلی. می تواند مقادیری از -180 درجه تا 180 درجه داشته باشد. بنابراین، وقتی زاویه داخلی 120 درجه باشد، زاویه بیرونی 60 درجه خواهد بود.
مجموع زوایای چندضلعی های محدب
مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی محدب با فرمول:
تنظیم می شود
180°(n-2)،
که در آن n تعداد رئوس n-گون است.
مجموع زوایای یک چند ضلعی محدب به راحتی قابل محاسبه است. چنین شکل هندسی را در نظر بگیرید. برای تعیین مجموع زوایای داخل یک چندضلعی محدب، لازم استیکی از رئوس آن را به رئوس دیگر وصل کنید. در نتیجه این عمل مثلث های (n-2) به دست می آید. می دانیم که مجموع زوایای هر مثلثی همیشه 180 درجه است. از آنجایی که تعداد آنها در هر چندضلعی (n-2) است، مجموع زوایای داخلی چنین شکلی 180 درجه x (n-2) است.
مجموع زوایای یک چند ضلعی محدب، یعنی هر دو زاویه خارجی داخلی و مجاور، برای یک شکل هندسی محدب معین، همیشه برابر با 180 درجه خواهد بود. بر این اساس، می توانید مجموع تمام زوایای آن را تعیین کنید:
180 x n.
مجموع زوایای داخلی 180 درجه(n-2) است. بر این اساس، مجموع تمام گوشه های خارجی این شکل با فرمول تنظیم می شود:
180°n-180°-(n-2)=360°.
مجموع زوایای بیرونی هر چند ضلعی محدب همیشه 360 درجه خواهد بود (صرف نظر از تعداد اضلاع).
زاویه بیرونی یک چند ضلعی محدب عموماً با تفاوت بین 180 درجه و مقدار زاویه داخلی نشان داده می شود.
سایر خصوصیات یک چندضلعی محدب
علاوه بر ویژگی های اساسی این اشکال هندسی، آنها ویژگی های دیگری نیز دارند که هنگام دستکاری آنها به وجود می آیند. بنابراین، هر یک از چند ضلعی ها را می توان به چندین n-ضلعی محدب تقسیم کرد. برای این کار باید هر یک از اضلاع آن را ادامه داد و این شکل هندسی را در امتداد این خطوط مستقیم برش داد. همچنین می توان هر چند ضلعی را به چند قسمت محدب تقسیم کرد به گونه ای که رئوس هر یک از قطعات با تمام رئوس آن منطبق باشد. از چنین شکل هندسی، مثلث ها را می توان به سادگی با رسم همه ایجاد کردمورب از یک راس بنابراین، هر چند ضلعی را می توان در نهایت به تعداد معینی مثلث تقسیم کرد، که در حل مسائل مختلف مرتبط با چنین اشکال هندسی بسیار مفید است.
محیط چند ضلعی محدب
قطعات یک خط شکسته، که اضلاع یک چند ضلعی نامیده می شوند، اغلب با حروف زیر نشان داده می شوند: ab، bc، cd، de، ea. اینها اضلاع یک شکل هندسی با رئوس a، b، c، d، e هستند. مجموع طول تمام ضلع های این چند ضلعی محدب را محیط آن می نامند.
محیط چندضلعی
چند ضلعی های محدب را می توان محاطی و محدود کرد. دایره‌ای که تمام اضلاع این شکل هندسی را لمس می‌کند در آن حک شده نامیده می‌شود. چنین چند ضلعی محدود نامیده می شود. مرکز دایره ای که در یک چند ضلعی محاط شده است، نقطه تلاقی نیمسازهای همه زوایای یک شکل هندسی معین است. مساحت چنین چندضلعی برابر است با:
S=pr،
که r شعاع دایره محاطی و p نیمه محیط چند ضلعی داده شده است.
دایره ای که رئوس یک چند ضلعی را در بر می گیرد، دور آن محصور می گویند. علاوه بر این، این شکل هندسی محدب، محاطی نامیده می شود. مرکز دایره که پیرامون چنین چندضلعی محصور شده است، نقطه تقاطع به اصطلاح عمود بر هم ضلع ها است.
قطرهای اشکال هندسی محدب
مورب های یک چند ضلعی محدب قطعاتی هستند کهراس های غیر مجاور را به هم متصل کنید. هر کدام از آنها در داخل این شکل هندسی قرار دارند. تعداد قطرهای چنین n-گونی با فرمول تنظیم می شود:
N=n (n - 3)/ 2.
تعداد قطرهای یک چند ضلعی محدب نقش مهمی در هندسه ابتدایی دارد. تعداد مثلث هایی (K) که می توان هر چند ضلعی محدب را به آنها تقسیم کرد با فرمول زیر محاسبه می شود:
K=n – 2.
تعداد قطرهای یک چند ضلعی محدب همیشه به تعداد رئوس آن بستگی دارد.
تجزیه چندضلعی محدب
در برخی موارد، برای حل مسائل هندسی، لازم است یک چند ضلعی محدب را به چندین مثلث با قطرهای غیر متقاطع تقسیم کنیم. این مشکل را می توان با استخراج یک فرمول خاص حل کرد.
تعریف مسئله: بیایید یک پارتیشن مناسب از یک n-ضلعی محدب را به چندین مثلث با قطرهایی که فقط در رأس این شکل هندسی قطع می کنند، فراخوانی کنیم.
راه حل: فرض کنید Р1، Р2، Р3 …، Pn رئوس این n-گون هستند. عدد Xn تعداد پارتیشن های آن است. اجازه دهید قطر به دست آمده از شکل هندسی Pi Pn را با دقت در نظر بگیریم. در هر یک از پارتیشن های معمولی P1 Pn متعلق به یک مثلث خاص P1 Pi Pn است که دارای 1<i<n است. بر این اساس و با فرض اینکه i=2, 3, 4…, n-1 باشد، گروه های (n-2) از این پارتیشن ها را دریافت می کنیم که شامل تمام موارد خاص ممکن است.
بگذارید i=2 یک گروه از پارتیشن‌های منظم باشد که همیشه دارای قطر Р2 Pn است. تعداد پارتیشن هایی که وارد آن می شوند با تعداد پارتیشن ها یکسان است(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. به عبارت دیگر، برابر است با Xn-1.
اگر i=3 باشد، این گروه دیگر از پارتیشن‌ها همیشه حاوی قطرهای Р3 Р1 و Р3 Pn هستند. در این صورت، تعداد پارتیشن‌های معمولی که در این گروه قرار دارند، با تعداد پارتیشن‌های (n-2)-gon P3 P4 مطابقت دارد. به عبارت دیگر، برابر با Xn-2 خواهد بود.
بگذارید i=4 باشد، سپس در بین مثلث‌ها یک پارتیشن منظم مطمئناً حاوی یک مثلث P1 P4 Pn است که چهار گوش P1 P2 P3 P4، (n-3)-gon P4 P5 … Pn به آن متصل می‌شود.. تعداد پارتیشن‌های منظم چنین چهارضلعی X4 و تعداد پارتیشن‌های یک (n-3)-gon Xn-3 است. با توجه به موارد فوق می توان گفت که تعداد کل پارتیشن های صحیح موجود در این گروه Xn-3 X4 است. گروه‌های دیگر با i=4، 5، 6، 7… شامل Xn-4 X5، Xn-5 X6، Xn-6 X7 … پارتیشن‌های معمولی خواهند بود.
بگذارید i=n-2 باشد، سپس تعداد تقسیم‌های صحیح در این گروه با تعداد تقسیم‌های گروهی که i=2 است (به عبارت دیگر برابر با Xn-1) خواهد بود.
از آنجایی که X1=X2=0، X3=1، X4=2…، پس تعداد تمام پارتیشن های یک چند ضلعی محدب برابر است با:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
مثال:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
تعداد پارتیشن های صحیح که یک مورب را در داخل قطع می کنند
هنگام بررسی موارد خاص، می توان به آن رسیداین فرض که تعداد قطرهای n-گونهای محدب برابر است با حاصلضرب تمام بخش‌های این شکل با (n-3).
اثبات این فرض: تصور کنید که P1n=Xn(n-3)، سپس هر n-gon را می توان به مثلث های (n-2) تقسیم کرد. علاوه بر این، یک چهارضلعی (n-3) می تواند از آنها تشکیل شود. در کنار این، هر چهار ضلعی یک قطر خواهد داشت. از آنجایی که در این شکل هندسی محدب می توان دو قطر رسم کرد، این بدان معناست که قطرهای اضافی (n-3) را می توان در هر چهارضلعی (n-3) رسم کرد. بر این اساس، می‌توان نتیجه گرفت که در هر پارتیشن منظم می‌توان قطرهای (n-3) را که شرایط این مسئله را برآورده می‌کنند رسم کرد.
مساحت چندضلعی های محدب
اغلب هنگام حل مسائل مختلف هندسه ابتدایی، تعیین مساحت یک چندضلعی محدب ضروری می شود. فرض کنید که (Xi. Yi)، i=1، 2، 3… n دنباله مختصات همه رئوس همسایه یک چند ضلعی است که خود تقاطع ندارد. در این حالت مساحت آن با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1))،
where (X1، Y1)=(Xn +1، Yn + 1).
