همه بدنهایی که ما را احاطه کرده اند در حرکت دائمی هستند. حرکت اجسام در فضا در تمام سطوح مشاهده می شود، که با حرکت ذرات بنیادی در اتم های ماده شروع می شود و با حرکت شتابان کهکشان ها در کیهان پایان می یابد. در هر صورت، روند حرکت با شتاب اتفاق می افتد. در این مقاله مفهوم شتاب مماسی را به تفصیل در نظر خواهیم گرفت و فرمولی ارائه می دهیم که با آن می توان آن را محاسبه کرد.
کمیت های سینماتیک
قبل از صحبت در مورد شتاب مماسی، بیایید در نظر بگیریم که چه کمیت ها مرسوم است که حرکت مکانیکی خودسرانه اجسام در فضا را مشخص کنیم.
اول اینکه این مسیر L است. مسافت را بر حسب متر، سانتی متر، کیلومتر و … نشان می دهد، بدن برای مدت معینی طی کرده است.
دومین ویژگی مهم در سینماتیک سرعت بدن است. برخلاف مسیر، یک کمیت برداری است و در طول مسیر هدایت می شودحرکات بدن سرعت، میزان تغییر مختصات مکانی را در زمان تعیین می کند. فرمول محاسبه آن این است:
v¯=dL/dt
سرعت مشتق زمانی مسیر است.
در نهایت، سومین ویژگی مهم حرکت اجسام، شتاب است. طبق تعریف در فیزیک، شتاب کمیتی است که تغییر سرعت را با زمان تعیین می کند. فرمول آن را می توان به صورت زیر نوشت:
a¯=dv¯/dt
شتاب نیز مانند سرعت یک کمیت برداری است، اما بر خلاف آن، در جهت تغییر سرعت هدایت می شود. جهت شتاب نیز با بردار نیروی حاصله بر جسم منطبق است.
مسیر و شتاب
بسیاری از مسائل در فیزیک در چارچوب حرکت مستقیم در نظر گرفته می شود. در این مورد، به عنوان یک قاعده، آنها در مورد شتاب مماسی نقطه صحبت نمی کنند، بلکه با شتاب خطی کار می کنند. با این حال، اگر حرکت بدن خطی نباشد، شتاب کامل آن را می توان به دو جزء تجزیه کرد:
- مماس;
- طبیعی.
در مورد حرکت خطی، مولفه نرمال صفر است، بنابراین در مورد انبساط برداری شتاب صحبت نمی کنیم.
بنابراین، مسیر حرکت تا حد زیادی ماهیت و اجزای شتاب کامل را تعیین می کند. مسیر حرکت به عنوان یک خط خیالی در فضا درک می شود که بدن در امتداد آن حرکت می کند. هریک مسیر منحنی منجر به ظهور مولفه‌های شتاب غیرصفری می‌شود که در بالا ذکر شد.
تعیین شتاب مماسی
شتاب مماسی یا همان طور که به آن شتاب مماسی نیز گفته می شود جزء شتاب کامل است که به صورت مماس بر مسیر حرکت هدایت می شود. از آنجایی که سرعت نیز در امتداد مسیر هدایت می شود، بردار شتاب مماسی با بردار سرعت منطبق است.
مفهوم شتاب به عنوان معیاری برای تغییر سرعت در بالا ارائه شد. از آنجایی که سرعت یک بردار است، می توان آن را به صورت مدول یا جهت تغییر داد. شتاب مماسی فقط تغییر در مدول سرعت را تعیین می کند.
توجه داشته باشید که در مورد حرکت مستقیم، بردار سرعت جهت خود را تغییر نمی دهد، بنابراین مطابق با تعریف فوق، شتاب مماسی و شتاب خطی یک مقدار هستند.
دریافت معادله شتاب مماسی
فرض کنید بدن در امتداد برخی از مسیرهای منحنی حرکت می کند. سپس سرعت آن v¯ در نقطه انتخاب شده را می توان به صورت زیر نشان داد:
v¯=vut¯
در اینجا v مدول بردار v¯ است، ut¯ بردار واحد سرعت است که به صورت مماس بر مسیر هدایت می شود.
با استفاده از تعریف ریاضی شتاب، دریافت می کنیم:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
هنگام یافتن مشتق، از ویژگی حاصلضرب دو تابع در اینجا استفاده شده است. می بینیم که شتاب کل a¯ در نقطه در نظر گرفته شده با مجموع دو جمله مطابقت دارد. آنها به ترتیب شتاب مماس و عادی نقطه هستند.
بیایید چند کلمه در مورد شتاب معمولی بگوییم. وظیفه تغییر بردار سرعت یعنی تغییر جهت حرکت جسم در امتداد منحنی را بر عهده دارد. اگر به صراحت مقدار جمله دوم را محاسبه کنیم، فرمول شتاب عادی را بدست می آوریم:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
شتاب نرمال در امتداد نرمال بازیابی شده به نقطه داده شده منحنی هدایت می شود. در مورد حرکت دایره ای، شتاب عادی مرکزگرا است.
معادله شتاب مماسی at¯ برابر است با:
at¯=dv/dtut¯
این عبارت می گوید که شتاب مماسی مربوط به تغییر جهت نیست، بلکه با تغییر مدول سرعت v¯ در یک لحظه از زمان مطابقت دارد. از آنجایی که شتاب مماسی به صورت مماس بر نقطه در نظر گرفته شده مسیر هدایت می شود، همیشه بر مولفه عادی عمود است.
شتاب مماسی و مدول شتاب کل
تمام اطلاعات بالا ارائه شد که به شما امکان می دهد کل شتاب را از طریق مماس و نرمال محاسبه کنید. در واقع، از آنجایی که هر دو جزء بر هم عمود هستند، بردارهای آنها پایه های یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند.که هیپوتانوز آن بردار شتاب کل است. این واقعیت به ما امکان می دهد فرمول ماژول شتاب کل را به شکل زیر بنویسیم:
a=√(a2 + at۲)
زاویه θ بین شتاب کامل و شتاب مماسی را می توان به صورت زیر تعریف کرد:
θ=arccos(at/a)
هر چه شتاب مماسی بیشتر باشد، جهت شتاب مماسی و شتاب کامل نزدیکتر است.
رابطه بین شتاب مماسی و زاویه ای
یک مسیر منحنی معمولی که در آن اجسام در فناوری و طبیعت حرکت می کنند یک دایره است. در واقع، حرکت چرخ دنده ها، تیغه ها و سیارات حول محور خود یا اطراف چراغ های آنها دقیقاً در یک دایره اتفاق می افتد. حرکت مربوط به این مسیر را چرخش می نامند.
سینماتیک چرخش با همان مقادیر سینماتیک حرکت در امتداد یک خط مستقیم مشخص می شود، با این حال، آنها یک شخصیت زاویه ای دارند. بنابراین، برای توصیف چرخش، از زاویه مرکزی چرخش θ، سرعت زاویه ای ω و شتاب α استفاده می شود. فرمول های زیر برای این مقادیر معتبر هستند:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
فرض کنید بدن در زمان t یک دور حول محور چرخش انجام داده است، سپس برای سرعت زاویه ای می توانیم بنویسیم:
ω=2pi/t
سرعت خطی در این حالت برابر خواهد بود با:
v=2pir/t
جایی که r شعاع مسیر است. دو عبارت آخر به ما اجازه نوشتن را می دهدفرمول اتصال دو سرعت:
v=ωr
حالا مشتق زمانی سمت چپ و راست معادله را محاسبه می کنیم، به دست می آوریم:
dv/dt=rdω/dt
سمت راست تساوی حاصل ضرب شتاب زاویه ای و شعاع دایره است. سمت چپ معادله تغییر در مدول سرعت است، یعنی شتاب مماسی.
بنابراین، شتاب مماسی و یک مقدار زاویه ای مشابه با برابری مرتبط هستند:
at=αr
اگر فرض کنیم که دیسک در حال چرخش است، با افزایش فاصله از این نقطه تا محور چرخش r، شتاب مماسی یک نقطه در مقدار ثابت α به صورت خطی افزایش می یابد.
بعد، دو مسئله را با استفاده از فرمول های بالا حل می کنیم.
تعیین شتاب مماسی از تابع سرعت شناخته شده
مشخص است که سرعت جسمی که در امتداد یک مسیر منحنی مشخص حرکت می کند با تابع زمان زیر توصیف می شود:
v=2t2+ 3t + 5
لازم است فرمول شتاب مماسی را تعیین کرده و مقدار آن را در زمان t=5 ثانیه بیابید.
ابتدا، اجازه دهید فرمول ماژول شتاب مماسی را بنویسیم:
at=dv/dt
یعنی برای محاسبه تابع at(t)، باید مشتق سرعت را با توجه به زمان تعیین کنید. ما داریم:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
با تعویض زمان t=5 ثانیه در عبارت حاصل، به پاسخ می رسیم: at=23 m/s2.
توجه داشته باشید که نمودار سرعت در برابر زمان در این مسئله یک سهمی است، در حالی که نمودار شتاب مماسی یک خط مستقیم است.
کار شتاب مماسی
مشخص است که نقطه مادی از لحظه صفر زمان شروع به چرخش با شتاب یکنواخت کرد. 10 ثانیه پس از شروع چرخش، شتاب مرکز آن برابر 20 متر بر ثانیه شد2. شتاب مماسی یک نقطه را بعد از 10 ثانیه در صورتی که شعاع چرخش 1 متر دانسته شود، لازم است.
ابتدا، فرمول شتاب مرکزگرا یا عادی را بنویسید ac:
ac=v2/r
با استفاده از فرمول رابطه بین سرعت خطی و زاویه ای، دریافت می کنیم:
ac=ω2r
در حرکت با شتاب یکنواخت، سرعت و شتاب زاویه ای با فرمول مرتبط هستند:
ω=αt
با جایگزینی ω در معادله ac، دریافت می کنیم:
ac=α2t2r
شتاب خطی از طریق شتاب مماسی به صورت زیر بیان می شود:
α=at/r
آخرین تساوی را با تساوی ماقبل آخر جایگزین کنید، دریافت می کنیم:
ac=at2/r۲ t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
آخرین فرمول، با در نظر گرفتن داده‌های وضعیت مسئله، به پاسخ منتهی می‌شود: at=۰، ۴۴۷m/s2.
