قابلیت تعیین حجم اشکال فضایی برای حل مسائل هندسی و عملی مهم است. یکی از این چهره ها منشور است. ما در مقاله بررسی خواهیم کرد که چیست و نحوه محاسبه حجم یک منشور مایل را نشان خواهیم داد.
منظور از منشور در هندسه چیست؟
این یک چندوجهی منظم (چند وجهی) است که توسط دو پایه یکسان واقع در صفحات موازی و چندین متوازی الاضلاع که پایه های مشخص شده را به هم متصل می کنند، تشکیل می شود.
پایه های منشور می توانند چند ضلعی دلخواه مانند مثلث، چهار ضلعی، هفت ضلعی و غیره باشند. علاوه بر این، تعداد گوشه ها (اضلاع) چند ضلعی نام شکل را تعیین می کند.
هر منشوری با پایه n-gon (n تعداد اضلاع است) از n+2 وجه، 2 × n راس و 3 × n یال تشکیل شده است. از اعداد داده شده می توان دریافت که تعداد عناصر منشور با قضیه اویلر مطابقت دارد:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
تصویر زیر نشان می دهد که منشورهای مثلثی و چهار گوش ساخته شده از شیشه چگونه هستند.
انواع شکل. منشور کج
قبلاً در بالا گفته شد که نام یک منشور با تعداد اضلاع چند ضلعی در قاعده تعیین می شود. با این حال، ویژگی های دیگری در ساختار آن وجود دارد که ویژگی های شکل را تعیین می کند. بنابراین، اگر تمام متوازی الاضلاع که سطح جانبی منشور را تشکیل می دهند با مستطیل یا مربع نشان داده شوند، به چنین شکلی خط مستقیم می گویند. برای یک منشور مستقیم، فاصله بین پایه ها برابر است با طول لبه کناری هر مستطیل.
اگر برخی یا همه اضلاع متوازی الاضلاع باشند، پس ما در مورد منشور مایل صحبت می کنیم. ارتفاع آن در حال حاضر کمتر از طول دنده کناری خواهد بود.
معیار دیگری که بر اساس آن شکل های مورد نظر طبقه بندی می شوند، طول اضلاع و زوایای چندضلعی در قاعده است. اگر با هم برابر باشند، چند ضلعی صحیح خواهد بود. به شکل مستقیمی که در قاعده های آن یک چندضلعی منتظم وجود دارد، منظم می گویند. هنگام تعیین سطح و حجم کار با آن راحت است. منشور متمایل در این زمینه مشکلاتی را به همراه دارد.
شکل زیر دو منشور با پایه مربع را نشان می دهد. زاویه 90 درجه تفاوت اساسی بین منشور مستقیم و مایل را نشان می دهد.
فرمول تعیین حجم یک شکل
قسمتی از فضا که با وجوه یک منشور محدود شده است، حجم آن نامیده می شود. برای ارقام در نظر گرفته شده از هر نوع، این مقدار را می توان با فرمول زیر تعیین کرد:
V=h × So
در اینجا، نماد h نشان دهنده ارتفاع منشور است،که اندازه گیری فاصله بین دو پایه است. نماد So- یک مربع پایه.
منطقه پایه به راحتی پیدا می شود. با توجه به منظم بودن یا نبودن چند ضلعی و با دانستن تعداد اضلاع آن، باید فرمول مناسب را اعمال کنید و So را دریافت کنید. به عنوان مثال، برای یک n-گون معمولی با طول ضلع a، مساحت این خواهد بود:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
حالا به ارتفاع h برویم. برای یک منشور مستقیم، تعیین ارتفاع کار دشواری نیست، اما برای یک منشور مورب، این کار آسانی نیست. می توان آن را با روش های هندسی مختلف، از شرایط اولیه خاص، حل کرد. با این حال، یک راه جهانی برای تعیین ارتفاع یک شکل وجود دارد. اجازه دهید آن را به طور خلاصه شرح دهیم.
ایده این است که فاصله یک نقطه در فضا تا یک صفحه را پیدا کنیم. فرض کنید که هواپیما با معادله به دست می آید:
A × x+ B × y + C × z + D=0
سپس هواپیما در یک فاصله خواهد بود:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
اگر محورهای مختصات طوری چیده شوند که نقطه (0; 0; 0) در صفحه قاعده پایینی منشور باشد، می توان معادله صفحه پایه را به صورت زیر نوشت:
z=0
به این معنی است که فرمول ارتفاع نوشته خواهد شدبنابراین:
h=z1
برای تعیین ارتفاع شکل کافی است مختصات z هر نقطه از قاعده بالایی را پیدا کنید.
نمونه ای از حل مسئله
شکل زیر یک منشور چهار گوش را نشان می دهد. قاعده منشور مایل مربعی است که ضلع آن 10 سانتی متر است و اگر بدانیم طول لبه جانبی 15 سانتی متر است و زاویه حاد متوازی الاضلاع جلویی 70 درجه است، باید حجم آن را محاسبه کرد.
از آنجایی که ارتفاع h شکل نیز ارتفاع متوازی الاضلاع است، از فرمول هایی برای تعیین مساحت آن برای یافتن h استفاده می کنیم. اضلاع متوازی الاضلاع را به صورت زیر نشان می دهیم:
a=10cm;
b=15cm
سپس می توانید فرمول های زیر را برای آن بنویسید تا مساحت S را تعیین کنیدp:
Sp=a × b × گناه (α);
Sp=a × h
از کجا به دست می آوریم:
h=b × گناه (α)
در اینجا α یک زاویه تند متوازی الاضلاع است. از آنجایی که قاعده مربع است، فرمول حجم یک منشور مایل به این شکل است:
V=a2 × b × گناه (α)
داده های شرط را به فرمول جایگزین می کنیم و پاسخ را می گیریم: V ≈ 1410 cm3.
