در دبیرستان، پس از مطالعه ویژگی‌های شکل‌ها در صفحه، به بررسی اجسام هندسی فضایی مانند منشورها، کره‌ها، اهرام، استوانه‌ها و مخروط‌ها می‌پردازند. در این مقاله کامل‌ترین توصیف یک منشور مثلثی مستقیم را ارائه می‌کنیم.
منشور مثلثی چیست؟
مقاله را با تعریف شکل آغاز می کنیم که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد. منشور از نقطه نظر هندسه شکلی در فضا است که توسط دو n-گونهای یکسان واقع در صفحات موازی تشکیل شده است که زوایای یکسان آنها توسط قطعات خط مستقیم به هم متصل شده اند. این بخش ها را دنده های جانبی می نامند. آنها همراه با اضلاع پایه، یک سطح جانبی را تشکیل می دهند که به طور کلی با متوازی الاضلاع نشان داده می شود.
دو n-gon پایه های شکل هستند. اگر لبه های جانبی عمود بر آنها باشند، آنها از یک منشور مستقیم صحبت می کنند. بر این اساس، اگر تعداد ضلع های n چند ضلعی در قاعده ها سه باشد، به چنین شکلی منشور مثلثی می گویند.
منشور مستقیم مثلثی در شکل بالا نشان داده شده است. به این شکل منظم نیز می گویند، زیرا پایه های آن مثلث متساوی الاضلاع هستند. طول لبه کناری شکل که با حرف h در شکل مشخص شده است را ارتفاع آن می نامند.
شکل نشان می دهد که منشوری با قاعده مثلثی از پنج وجه تشکیل شده است که دو وجه آن مثلث متساوی الاضلاع و سه وجه آن مستطیل یکسان هستند. علاوه بر وجوه، منشور دارای شش رأس در پایه و نه لبه است. تعداد عناصر در نظر گرفته شده توسط قضیه اویلر به یکدیگر مرتبط است:
تعداد یال=تعداد رئوس + تعداد اضلاع - 2.
مساحت منشور مثلثی قائم الزاویه
در بالا متوجه شدیم که شکل مورد نظر از پنج وجه از دو نوع (دو مثلث، سه مستطیل) تشکیل شده است. همه این چهره ها سطح کامل منشور را تشکیل می دهند. مساحت کل آنها مساحت شکل است. در زیر یک منشور مثلثی باز شده است که می توان ابتدا دو پایه را از شکل جدا کرد و سپس در امتداد یک لبه برش داد و سطح جانبی را باز کرد.
بیایید فرمول هایی را برای تعیین سطح این جارو ارائه دهیم. بیایید با پایه های یک منشور مثلثی راست شروع کنیم. از آنجایی که آنها مثلث ها را نشان می دهند، ناحیه S3 هر یک از آنها را می توان به صورت زیر یافت:
S3=1/2aha.
در اینجا a ضلع مثلث است، ha ارتفاع کاهش یافته از راس مثلث به این ضلع است.
اگر مثلث متساوی الاضلاع (منظم) باشد، فرمول S3 فقط به یک پارامتر a بستگی دارد. به نظر می رسد:
S3=√3/4a2.
این عبارت را می توان با در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه تشکیل شده توسط بخش های a، a/2، ha به دست آورد.
مساحت پایه های So برای یک رقم معمولی دو برابر مقدار S3: است
So=2S3=√3/2a2.
در مورد مساحت سطح جانبی Sb، محاسبه آن دشوار نیست. برای انجام این کار کافی است مساحت مستطیل تشکیل شده توسط اضلاع a و h را در سه ضرب کنید. فرمول مربوطه این است:
Sb=3ah.
بنابراین، مساحت یک منشور منظم با قاعده مثلثی با فرمول زیر پیدا می شود:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
اگر منشور مستقیم اما نامنظم است، برای محاسبه مساحت آن، باید مساحت مستطیل هایی که با یکدیگر مساوی نیستند را جداگانه اضافه کنید.
تعیین حجم یک شکل
حجم یک منشور به عنوان فضای محدود شده توسط اضلاع (چهره ها) درک می شود. محاسبه حجم یک منشور مثلثی قائم الزاویه بسیار ساده تر از محاسبه سطح آن است. برای انجام این کار کافی است مساحت پایه و ارتفاع شکل را بدانید. از آنجایی که ارتفاع h یک شکل مستقیم، طول لبه جانبی آن است و نحوه محاسبه مساحت پایه، در قسمت قبل آورده ایم.نقطه، سپس باقی می ماند که این دو مقدار را در یکدیگر ضرب کنیم تا حجم مورد نظر به دست آید. فرمول آن می شود:
V=S3h.
توجه داشته باشید که حاصل ضرب مساحت یک قاعده و ارتفاع نه تنها حجم یک منشور مستقیم، بلکه یک شکل مایل و یک استوانه را نیز به دست می دهد.
حل مشکل
منشورهای مثلثی شیشه ای در اپتیک برای مطالعه طیف تابش الکترومغناطیسی به دلیل پدیده پراکندگی استفاده می شوند. مشخص است که منشور شیشه ای معمولی دارای طول ضلع پایه 10 سانتی متر و طول لبه آن 15 سانتی متر است. مساحت وجه های شیشه ای آن چقدر است و چه حجمی دارد؟
برای تعیین مساحت، از فرمول نوشته شده در مقاله استفاده می کنیم. ما داریم:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536.6cm2.
برای تعیین حجم V، از فرمول بالا نیز استفاده می کنیم:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649.5 سانتی متر3.
علی رغم اینکه لبه های منشور 10 سانتی متر و طول 15 سانتی متر است، حجم شکل فقط 0.65 لیتر است (مکعب با ضلع 10 سانتی متر حجم آن 1 لیتر است).
