منشور چندوجهی یا چندوجهی است که در دوره مدرسه هندسه جامد مطالعه می شود. یکی از خواص مهم این چند وجهی حجم آن است. بیایید در مقاله در نظر بگیریم که چگونه می توان این مقدار را محاسبه کرد و همچنین فرمول هایی را برای حجم منشورها - چهار ضلعی و شش ضلعی منظم ارائه می دهیم.
منشور در استریومتری
این شکل به عنوان یک چند وجهی درک می شود که از دو چند ضلعی یکسان در صفحات موازی و از چندین متوازی الاضلاع تشکیل شده است. برای انواع خاصی از منشورها، متوازی الاضلاع می توانند چهارضلعی یا مربع مستطیل شکل را نشان دهند. در زیر نمونه ای از منشور به اصطلاح پنج ضلعی آورده شده است.
برای ساختن شکلی مانند شکل بالا، باید یک پنج ضلعی بگیرید و انتقال موازی آن را به فاصله معینی در فضا انجام دهید. با اتصال اضلاع دو پنج ضلعی با استفاده از متوازی الاضلاع، منشور مورد نظر را به دست می آوریم.
هر منشور از صورت، رئوس و لبه ها تشکیل شده است. رئوس منشوربر خلاف هرم مساوی هستند که هر کدام به یکی از دو پایه اشاره دارد. صورت ها و لبه ها دو نوع هستند: آنهایی که متعلق به پایه ها هستند و آنهایی که متعلق به طرفین هستند.
منشورها انواع مختلفی دارند (صحیح، مایل، محدب، مستقیم، مقعر). اجازه دهید در ادامه مقاله در نظر بگیریم که حجم یک منشور با در نظر گرفتن شکل شکل با چه فرمولی محاسبه می‌شود.
بیان کلی برای تعیین حجم منشور
صرف نظر از اینکه شکل مورد مطالعه متعلق به چه نوع است، راست یا مایل، منظم یا نامنظم، یک عبارت جهانی وجود دارد که به شما امکان می دهد حجم آن را تعیین کنید. حجم یک شکل فضایی، مساحت فضایی است که بین چهره های آن محصور شده است. فرمول کلی حجم یک منشور این است:
V=So × ساعت.
در اینجا So مساحت پایه را نشان می دهد. باید به خاطر داشت که ما در مورد یک پایه صحبت می کنیم و نه در مورد دو. مقدار h ارتفاع است. ارتفاع شکل مورد مطالعه به عنوان فاصله بین پایه های یکسان آن درک می شود. اگر این فاصله با طول دنده های جانبی منطبق باشد، آنگاه از یک منشور مستقیم صحبت می شود. در یک شکل مستقیم، همه اضلاع مستطیل هستند.
بنابراین، اگر منشوری مایل باشد و چندضلعی قاعده نامنظم داشته باشد، محاسبه حجم آن پیچیده‌تر می‌شود. اگر شکل مستقیم باشد، محاسبه حجم فقط برای تعیین مساحت پایه So کاهش می یابد.
تعیین حجم یک شکل منظم
منظم هر منشوری است که مستقیم و دارای قاعده چند ضلعی با اضلاع و زوایای برابر یکدیگر باشد. برای مثال، چنین چندضلعی های منتظم یک مربع و یک مثلث متساوی الاضلاع هستند. در عین حال، لوزی یک شکل منظم نیست، زیرا همه زوایای آن برابر نیستند.
فرمول حجم یک منشور منظم بدون ابهام از عبارت کلی V که در پاراگراف قبلی مقاله نوشته شده بود، پیروی می کند. قبل از شروع به نوشتن فرمول مربوطه، لازم است مساحت پایه صحیح را تعیین کنید. بدون پرداختن به جزئیات ریاضی، فرمول تعیین مساحت مشخص شده را ارائه می کنیم. برای هر n-gon معمولی جهانی است و به شکل زیر است:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
همانطور که از عبارت می بینید، ناحیه Sn تابعی از دو پارامتر است. یک عدد صحیح n می تواند مقادیری از 3 تا بی نهایت بگیرد. مقدار a طول ضلع n-گون است.
برای محاسبه حجم یک شکل، فقط باید مساحت S را در ارتفاع h یا در طول لبه کناری b ضرب کرد (h=b). در نتیجه به فرمول کاری زیر می رسیم:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × ساعت.
توجه داشته باشید که برای تعیین حجم یک منشور از نوع دلخواه، باید چندین مقدار (طول اضلاع پایه، ارتفاع، زوایای دو وجهی شکل) را بدانید، اما مقدار V را محاسبه کنید. یک منشور منظم، ما باید فقط دو پارامتر خطی را بدانیم، به عنوان مثال، a و h.
حجم یک منشور منظم چهار گوش
منشور چهار گوش را موازی شکل می نامند. اگر تمام صورت های آن مساوی و مربع باشند، چنین شکلی یک مکعب خواهد بود. هر دانش آموزی می داند که حجم یک متوازی الاضلاع یا مکعب مستطیل با ضرب سه ضلع مختلف آن (طول، ارتفاع و عرض) تعیین می شود. این واقعیت از عبارت حجم کلی نوشته شده برای یک شکل منظم به دست می آید:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × ساعت.
در اینجا کتانژانت 45 درجه برابر با 1 است. توجه داشته باشید که برابری ارتفاع h و طول ضلع قاعده a به طور خودکار به فرمول حجم یک مکعب منجر می شود.
حجم منشور منتظم شش ضلعی
حالا نظریه فوق را برای تعیین حجم یک شکل با قاعده شش ضلعی اعمال کنید. برای انجام این کار، فقط باید مقدار n=6 را در فرمول جایگزین کنید:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × ساعت
عبارت نوشته شده را می توان به طور مستقل و بدون استفاده از فرمول جهانی برای S به دست آورد. برای این کار باید شش ضلعی منظم را به شش مثلث متساوی الاضلاع تقسیم کنید. ضلع هر یک از آنها برابر با a خواهد بود. مساحت یک مثلث برابر است با:
S3=√3/4 × a2.
با ضرب این مقدار در تعداد مثلث (6) و در ارتفاع، فرمول بالا را برای حجم بدست می آوریم.
