توابع مثلثاتی معکوس به طور سنتی برای دانش آموزان مشکل ایجاد می کند. توانایی محاسبه مماس قوس یک عدد ممکن است در کارهای USE در planimetry و stereometry مورد نیاز باشد. برای حل موفقیت آمیز یک معادله و یک مسئله با یک پارامتر، باید ویژگی های تابع مماس قوس را درک کنید.
تعریف
مماس قوس عدد x عددی است که مماس آن x است. این تعریف ریاضی است.
تابع قطبی به صورت y=arctg x نوشته می شود.
به طور کلی: y=Carctg (kx + a).
محاسبه
برای درک نحوه عملکرد تابع مثلثاتی معکوس یک مماس، ابتدا باید به یاد داشته باشید که مقدار مماس یک عدد چگونه تعیین می شود. بیایید نگاه دقیق‌تری بیندازیم.
مماس x نسبت سینوس x به کسینوس x است. اگر حداقل یکی از این دو کمیت شناخته شده باشد، مدول دوم را می توان از هویت مثلثاتی اصلی بدست آورد:
sin2 x + cos2 x=1.
مسلماً برای باز کردن قفل ماژول یک ارزیابی لازم است.
اگرخود عدد مشخص است و ویژگی های مثلثاتی آن مشخص نیست، پس در بیشتر موارد لازم است تا با مراجعه به جدول برادیس، مماس عدد را تقریباً تخمین بزنیم.
استثناها به اصطلاح مقادیر استاندارد هستند.
آنها در جدول زیر ارائه شده اند:
علاوه بر موارد فوق، هر مقداری که از داده ها با اضافه کردن تعدادی از شکل ½πk (k - هر عدد صحیح، π=3، 14) به دست می آید را می توان استاندارد در نظر گرفت.
دقیقاً همین امر برای مماس قوس نیز صادق است: اغلب مقدار تقریبی را می توان از جدول مشاهده کرد، اما فقط چند مقدار به طور قطع شناخته شده است:
در عمل، هنگام حل مسائل ریاضی مدرسه، مرسوم است که به صورت یک عبارت حاوی مماس قوس، و نه تخمین تقریبی آن، پاسخ داده شود. به عنوان مثال، arctg 6، arctg (-¼).
ترسیم نمودار
از آنجایی که مماس می تواند هر مقداری را بگیرد، دامنه تابع متقاطع کل خط اعداد است. بیایید با جزئیات بیشتر توضیح دهیم.
همان مماس با بی نهایت آرگومان مطابقت دارد. به عنوان مثال، نه تنها مماس صفر برابر با صفر است، بلکه مماس هر عددی از شکل π k است که k یک عدد صحیح است. بنابراین، ریاضیدانان موافقت کردند که مقادیر مماس قوس را از فاصله -½ π تا ½ π انتخاب کنند. باید اینطور فهمید. محدوده تابع قطبی بازه (-½ π؛ ½ π) است. انتهای شکاف شامل نمی شود، زیرا مماس -½p و ½p وجود ندارد.
در بازه مشخص شده، مماس پیوسته استافزایش. این بدان معنی است که تابع معکوس مماس قوس نیز به طور مداوم در کل خط اعداد افزایش می یابد، اما از بالا و پایین محدود می شود. در نتیجه، دو مجانب افقی دارد: y=-½ π و y=½ π.
در این حالت، tg 0=0، سایر نقاط تقاطع با محور آبسیسا، به جز (0;0)، نمودار نمی تواند به دلیل افزایش داشته باشد.
همانطور که از برابری تابع مماس به دست می آید، مماس قوس دارای خاصیت مشابهی است.
برای ساختن یک نمودار، چندین نقطه از بین مقادیر استاندارد بگیرید:
مشتق تابع y=arctg x در هر نقطه با فرمول:
محاسبه می شود
توجه داشته باشید که مشتق آن همه جا مثبت است. این با نتیجه گیری قبلی در مورد افزایش مداوم تابع مطابقت دارد.
مشتق دوم متقاطع در نقطه 0 ناپدید می شود، برای مقادیر مثبت آرگومان منفی است و بالعکس.
این بدان معناست که نمودار تابع مماس قوس دارای یک نقطه عطف در صفر است و در بازه محدب رو به پایین است (-∞; 0] و محدب رو به بالا در بازه [0; +∞)..
