این مقاله تابع موج و معنای فیزیکی آن را شرح می دهد. کاربرد این مفهوم در چارچوب معادله شرودینگر نیز در نظر گرفته شده است.
علم در آستانه کشف فیزیک کوانتومی است
در پایان قرن نوزدهم، جوانانی که می خواستند زندگی خود را با علم پیوند دهند، از فیزیکدان شدن دلسرد شدند. این عقیده وجود داشت که همه پدیده ها قبلاً کشف شده اند و دیگر نمی توان پیشرفت های بزرگی در این زمینه داشت. اکنون، با وجود کامل بودن دانش بشری به ظاهر، هیچ کس جرات نمی کند این گونه صحبت کند. زیرا اغلب این اتفاق می افتد: یک پدیده یا اثر به صورت تئوریک پیش بینی می شود، اما مردم قدرت فنی و تکنولوژیکی کافی برای اثبات یا رد آن را ندارند. به عنوان مثال، انیشتین بیش از صد سال پیش امواج گرانشی را پیش‌بینی کرد، اما اثبات وجود آنها تنها یک سال پیش ممکن شد. این موضوع در مورد دنیای ذرات زیراتمی نیز صدق می کند (یعنی مفهومی مانند تابع موج در مورد آنها صدق می کند): تا زمانی که دانشمندان متوجه پیچیده بودن ساختار اتم نشدند، نیازی به مطالعه رفتار چنین اجسام کوچکی نداشتند.
طیف و عکاسی
فشار بهتوسعه فیزیک کوانتومی توسعه تکنیک های عکاسی بود. تا آغاز قرن بیستم، گرفتن تصاویر دست و پا گیر، وقت گیر و پرهزینه بود: وزن دوربین ده ها کیلوگرم بود و مدل ها باید نیم ساعت در یک موقعیت بایستند. علاوه بر این، کوچکترین اشتباه در کار با صفحات شیشه ای شکننده که با یک امولسیون حساس به نور پوشانده شده بودند، منجر به از دست دادن غیرقابل برگشت اطلاعات شد. اما به تدریج دستگاه ها سبک تر شدند، سرعت شاتر - کمتر و کمتر، و دریافت چاپ - بیشتر و کامل تر شدند. و در نهایت بدست آوردن طیفی از مواد مختلف ممکن شد. پرسش‌ها و ناسازگاری‌هایی که در اولین نظریه‌ها درباره ماهیت طیف‌ها به وجود آمد، علم کاملاً جدیدی را پدید آورد. تابع موج یک ذره و معادله شرودینگر آن مبنایی برای توصیف ریاضی رفتار ریزجهان شد.
دوگانگی موج-ذره
پس از تعیین ساختار اتم، این سوال مطرح شد: چرا الکترون روی هسته نمی افتد؟ به هر حال، طبق معادلات ماکسول، هر ذره باردار متحرک تشعشع می کند، بنابراین انرژی خود را از دست می دهد. اگر این مورد برای الکترون های هسته بود، جهان آنطور که ما می دانیم زیاد دوام نمی آورد. به یاد داشته باشید که هدف ما تابع موج و معنای آماری آن است.
یک حدس مبتکرانه دانشمندان به کمک آمد: ذرات بنیادی هم امواج هستند و هم ذرات (جسم). خواص آنها هم جرم با تکانه و هم طول موج با فرکانس است. علاوه بر این، به دلیل وجود دو خاصیت ناسازگار قبلی، ذرات بنیادی ویژگی های جدیدی به دست آورده اند.
یکی از آنها تصور چرخشی سخت است. در جهانذرات کوچکتر، کوارک ها، آنقدر از این خواص وجود دارد که نام های کاملاً باورنکردنی به آنها داده می شود: طعم، رنگ. اگر خواننده در کتابی درباره مکانیک کوانتومی با آنها روبرو شد، بگذارید به خاطر داشته باشد: آنها اصلاً آن چیزی نیستند که در نگاه اول به نظر می رسند. با این حال، چگونه می توان رفتار چنین سیستمی را توصیف کرد، که در آن همه عناصر دارای مجموعه ای از ویژگی های عجیب هستند؟ پاسخ در بخش بعدی است.
معادله شرودینگر
وضعیتی را بیابید که در آن یک ذره بنیادی (و به شکل تعمیم یافته، یک سیستم کوانتومی) در آن قرار دارد، معادله اروین شرودینگر را اجازه می دهد:
i ħ[(d/dt) Ψ]=ψ.
تعینات در این نسبت به شرح زیر است:
- ħ=h/2 π، که h ثابت پلانک است.
- Ĥ - همیلتونین، اپراتور انرژی کل سیستم.
- Ψ تابع موج است.
با تغییر مختصاتی که این تابع در آن حل می شود و شرایط متناسب با نوع ذره و میدانی که در آن قرار دارد، می توان قانون رفتار سیستم مورد نظر را به دست آورد.
مفاهیم فیزیک کوانتوم
اجازه دهید خواننده فریب ظاهراً سادگی اصطلاحات استفاده شده را نخورد. کلمات و عباراتی مانند "اپراتور"، "انرژی کل"، "سلول واحد" اصطلاحات فیزیکی هستند. ارزش آنها باید جداگانه روشن شود و بهتر است از کتاب های درسی استفاده کنید. در ادامه به توضیح و شکل تابع موج می پردازیم، اما این مقاله ماهیت مروری دارد. برای درک عمیق تر این مفهوم، مطالعه دستگاه ریاضی در سطح معینی ضروری است.
تابع موج
بیان ریاضی اودارای فرم
|ψ(t)>=ʃ Ψ(x، t)|x> dx.
تابع موج یک الکترون یا هر ذره بنیادی دیگر همیشه با حرف یونانی Ψ توصیف می شود، بنابراین گاهی اوقات به آن تابع psi نیز می گویند.
ابتدا باید بدانید که تابع به همه مختصات و زمان بستگی دارد. بنابراین Ψ(x، t) در واقع Ψ(x1، x2… x ، t) است. یک نکته مهم، زیرا حل معادله شرودینگر به مختصات بستگی دارد.
در مرحله بعد، لازم به توضیح است که |x> به معنای بردار پایه سیستم مختصات انتخاب شده است. یعنی بسته به اینکه دقیقاً چه چیزی باید به دست آید، تکانه یا احتمال |x> به شکل | x1، x2، …، x >. بدیهی است که n به حداقل مبنای بردار سیستم انتخابی نیز بستگی دارد. یعنی در فضای معمولی سه بعدی n=3. برای خواننده بی تجربه، اجازه دهید توضیح دهیم که همه این نمادها در نزدیکی نشانگر x فقط یک هوی و هوس نیستند، بلکه یک عملیات ریاضی خاص هستند. درک آن بدون پیچیده ترین محاسبات ریاضی ممکن نخواهد بود، بنابراین ما صمیمانه امیدواریم که علاقه مندان به معنای آن برای خود پی ببرند.
در پایان لازم به توضیح است که Ψ(x, t)=.
جوهر فیزیکی تابع موج
علیرغم ارزش اولیه این کمیت، خود پدیده یا مفهومی را مبنای خود ندارد. معنای فیزیکی تابع موج، مجذور مدول کل آن است. فرمول به این صورت است:
|Ψ (x1، x2، …، x ، t)| 2=ω, که در آن ω مقدار چگالی احتمال است. در مورد طیف های گسسته (به جای طیف های پیوسته)، این مقدار به سادگی به یک احتمال تبدیل می شود.
نتیجه معنای فیزیکی تابع موج
چنین معنای فیزیکی پیامدهای گسترده ای برای کل جهان کوانتومی دارد. همانطور که از مقدار ω مشخص می شود، همه حالات ذرات بنیادی یک رنگ احتمالی به دست می آورند. واضح ترین مثال توزیع فضایی ابرهای الکترونی در مدارهای اطراف هسته اتم است.
بیایید دو نوع هیبریداسیون الکترون ها در اتم ها با ساده ترین اشکال ابرها را در نظر بگیریم: s و p. ابرهای نوع اول کروی شکل هستند. اما اگر خواننده از کتاب‌های درسی فیزیک به خاطر بیاورد، این ابرهای الکترونی همیشه به‌عنوان نوعی خوشه تار از نقاط به تصویر کشیده می‌شوند و نه به‌عنوان یک کره صاف. این بدان معناست که در فاصله معینی از هسته، ناحیه ای با بیشترین احتمال مواجهه با الکترون s وجود دارد. با این حال، کمی نزدیکتر و کمی دورتر این احتمال صفر نیست، فقط کمتر است. در این مورد، برای الکترون‌های p، شکل ابر الکترونی به صورت یک دمبل تا حدی تار نشان داده می‌شود. یعنی سطح نسبتاً پیچیده ای وجود دارد که احتمال یافتن الکترون در آن بالاترین است. اما حتی نزدیک به این "دمبل"، چه بیشتر و چه نزدیکتر به هسته، چنین احتمالی برابر با صفر نیست.
نرمال‌سازی تابع موج
دومی نیاز به عادی سازی تابع موج را نشان می دهد. منظور از نرمال سازی، چنین "تناسب" برخی از پارامترها است که در آن درست استمقداری نسبت اگر مختصات فضایی را در نظر بگیریم، احتمال یافتن یک ذره (مثلاً یک الکترون) در جهان موجود باید برابر با 1 باشد. فرمول به این صورت است:
ʃV Ψ Ψ dV=1.
بنابراین، قانون بقای انرژی برآورده می شود: اگر به دنبال الکترون خاصی هستیم، باید کاملاً در یک فضای معین باشد. در غیر این صورت، حل معادله شرودینگر به سادگی معنا ندارد. و فرقی نمی کند که این ذره درون یک ستاره باشد یا در یک فضای خالی کیهانی غول پیکر، باید جایی باشد.
کمی بالاتر اشاره کردیم که متغیرهایی که تابع به آنها بستگی دارد نیز می توانند مختصات غیر مکانی باشند. در این حالت، نرمال سازی روی تمام پارامترهایی که تابع به آنها بستگی دارد انجام می شود.
سفر فوری: حقه یا واقعیت؟
در مکانیک کوانتومی، جداسازی ریاضیات از معنای فیزیکی بسیار دشوار است. به عنوان مثال، کوانتوم توسط پلانک برای سهولت بیان ریاضی یکی از معادلات معرفی شد. اکنون اصل گسستگی بسیاری از کمیت ها و مفاهیم (انرژی، تکانه زاویه ای، میدان) زیربنای رویکرد مدرن به مطالعه دنیای خرد است. Ψ نیز این پارادوکس را دارد. با توجه به یکی از راه حل های معادله شرودینگر، ممکن است حالت کوانتومی سیستم در حین اندازه گیری فوراً تغییر کند. این پدیده معمولاً به عنوان کاهش یا فروپاشی تابع موج شناخته می شود. اگر این در واقعیت امکان پذیر باشد، سیستم های کوانتومی می توانند با سرعت بی نهایت حرکت کنند. اما محدودیت سرعت برای اجرام واقعی جهان ماتغییرناپذیر: هیچ چیز نمی تواند سریعتر از نور حرکت کند. این پدیده هرگز ثبت نشده است، اما هنوز امکان رد آن از نظر نظری وجود ندارد. با گذشت زمان، شاید این تناقض حل شود: یا بشریت ابزاری خواهد داشت که چنین پدیده ای را اصلاح می کند، یا یک ترفند ریاضی وجود خواهد داشت که ناسازگاری این فرض را ثابت می کند. گزینه سومی وجود دارد: مردم چنین پدیده ای را ایجاد می کنند، اما در همان زمان منظومه شمسی به یک سیاهچاله مصنوعی سقوط می کند.
تابع موجی یک سیستم چندذره ای (اتم هیدروژن)
همانطور که در سراسر مقاله بیان کردیم، تابع psi یک ذره بنیادی را توصیف می کند. اما با بررسی دقیق تر، اتم هیدروژن مانند سیستمی از تنها دو ذره (یک الکترون منفی و یک پروتون مثبت) به نظر می رسد. توابع موجی اتم هیدروژن را می توان به صورت دو ذره ای یا توسط یک عملگر نوع ماتریس چگالی توصیف کرد. این ماتریس ها دقیقاً بسط تابع psi نیستند. بلکه مطابقت بین احتمال یافتن ذره در یک حالت و حالت دیگر را نشان می دهند. مهم است که به یاد داشته باشید که مشکل فقط برای دو بدن به طور همزمان حل می شود. ماتریس های چگالی برای جفت ذرات قابل اعمال هستند، اما برای سیستم های پیچیده تر، به عنوان مثال، زمانی که سه یا چند جسم با هم تعامل دارند، امکان پذیر نیست. در این واقعیت، شباهت باورنکردنی را می توان بین "خشن ترین" مکانیک و فیزیک کوانتومی بسیار "خوب" ردیابی کرد. بنابراین، نباید فکر کرد که از آنجایی که مکانیک کوانتومی وجود دارد، نمی توان ایده های جدیدی در فیزیک معمولی ایجاد کرد. چیزهای جالب پشت هر کدام پنهان استبا چرخاندن دستکاری های ریاضی.
