یکی از شاخه‌های ریاضی که دانش‌آموزان با بزرگترین مشکلات کنار می‌آیند، مثلثات است. جای تعجب نیست: برای تسلط آزادانه بر این حوزه دانش، به تفکر فضایی، توانایی یافتن سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها، کتانژانت ها با استفاده از فرمول ها، ساده سازی عبارات و توانایی استفاده از عدد پی در محاسبات نیاز دارید. علاوه بر این، باید بتوانید هنگام اثبات قضایا مثلثات را به کار ببرید، و این به حافظه ریاضی توسعه یافته یا توانایی استنباط زنجیره های پیچیده منطقی نیاز دارد.
منشا مثلثات
مقدمه این علم باید با تعریف سینوس، کسینوس و مماس زاویه شروع شود، اما ابتدا باید بفهمید که مثلثات به طور کلی چه کار می کند.
از نظر تاریخی، مثلث های قائم الزاویه موضوع اصلی تحقیق در این بخش از علوم ریاضی بوده اند. وجود زاویه 90 درجه امکان انجام عملیات های مختلفی را فراهم می کند که امکان دو را فراهم می کنداضلاع و یک گوشه یا دو گوشه و یک طرف برای تعیین مقادیر تمام پارامترهای شکل مورد نظر. در گذشته، مردم متوجه این الگو شدند و شروع به استفاده فعال از آن در ساخت ساختمان‌ها، ناوبری، نجوم و حتی هنر کردند.
شروع
در ابتدا، مردم در مورد رابطه زوایا و اضلاع منحصراً بر اساس مثال قائم الزاویه صحبت می کردند. سپس فرمول های خاصی کشف شد که امکان گسترش مرزهای استفاده در زندگی روزمره این بخش از ریاضیات را فراهم کرد.
مطالعه مثلثات در مدرسه امروز با مثلث های قائم الزاویه آغاز می شود و پس از آن دانش به دست آمده توسط دانش آموزان در فیزیک و حل معادلات مثلثاتی انتزاعی استفاده می شود که کار با آن از دبیرستان شروع می شود.
مثلثات کروی
بعداً، هنگامی که علم به سطح بعدی توسعه رسید، فرمولهای با سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در هندسه کروی مورد استفاده قرار گرفتند، جایی که قوانین دیگر اعمال می شود، و مجموع زوایای یک مثلث همیشه بیشتر است. بیش از 180 درجه این بخش در مدرسه مطالعه نمی شود، اما لازم است از وجود آن اطلاع داشته باشیم، حداقل به این دلیل که سطح زمین و سطح هر سیاره دیگری محدب است، به این معنی که هر علامت گذاری روی سطح "قوسی شکل خواهد بود. "در فضای سه بعدی.
یک کره و یک نخ بگیرید. نخ را به هر دو نقطه از کره زمین وصل کنید تا محکم شود. توجه کنید - شکل قوس پیدا کرده است. به این گونه فرم ها می پردازدهندسه کروی مورد استفاده در ژئودزی، نجوم و سایر زمینه های نظری و کاربردی.
مثلث قائم الزاویه
پس از آشنایی اندکی با روش های استفاده از مثلثات، اجازه دهید به مثلثات پایه برگردیم تا بیشتر بفهمیم سینوس، کسینوس، مماس چیست، چه محاسباتی را می توان با کمک آنها انجام داد و از چه فرمول هایی استفاده کرد.
اول از همه، باید مفاهیم مربوط به مثلث قائم الزاویه را درک کنید. ابتدا، هیپوتنوز ضلع مقابل زاویه 90 درجه است. او طولانی ترین است. به یاد داریم که بر اساس قضیه فیثاغورث، مقدار عددی آن برابر است با ریشه مجموع مربع های دو ضلع دیگر.
برای مثال، اگر دو ضلع به ترتیب 3 و 4 سانتی متر باشند، طول هیپوتانوس 5 سانتی متر خواهد بود. به هر حال، مصریان باستان حدود چهار و نیم هزار سال پیش از این موضوع مطلع بودند.
دو ضلع باقی مانده که یک زاویه قائمه تشکیل می دهند، پا نامیده می شوند. علاوه بر این، باید به یاد داشته باشیم که مجموع زوایای یک مثلث در یک سیستم مختصات مستطیلی 180 درجه است.
تعریف
در نهایت، با داشتن درک کامل از پایه هندسی، می توانیم به تعریف سینوس، کسینوس و مماس زاویه بپردازیم.
سینوس یک زاویه نسبت پای مقابل (یعنی ضلع مقابل زاویه مورد نظر) به هیپوتانوس است. کسینوس یک زاویه نسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.
یادتان باشد که نه سینوس و نه کسینوس نمی توانند بزرگتر از یک باشند! چرا؟زیرا هیپوتانوس به طور پیش فرض طولانی ترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه است. مهم نیست که پا چقدر بلند باشد، از هیپوتنوز کوتاهتر خواهد بود، به این معنی که نسبت آنها همیشه کمتر از یک خواهد بود. بنابراین، اگر در پاسخ مسئله سینوس یا کسینوس با مقدار بیشتر از 1 دریافت کردید، به دنبال خطا در محاسبات یا استدلال بگردید. این پاسخ به وضوح اشتباه است.
در نهایت، مماس یک زاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است. همین نتیجه تقسیم سینوس بر کسینوس را نشان می دهد. نگاه کنید: طبق فرمول، طول ضلع را بر هیپوتانوز تقسیم می کنیم، پس از آن بر طول ضلع دوم تقسیم می کنیم و در هیپوتانوز ضرب می کنیم. بنابراین، ما همان نسبت را در تعریف مماس به دست می آوریم.
Cotangent، به ترتیب، نسبت ضلع مجاور گوشه به طرف مقابل است. با تقسیم واحد بر مماس به همان نتیجه می رسیم.
بنابراین، ما تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت را در نظر گرفتیم و می‌توانیم به فرمول‌ها بپردازیم.
فرمول های ساده
در مثلثات نمی توان بدون فرمول کار کرد - چگونه می توان سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت را بدون آنها پیدا کرد؟ اما این دقیقاً همان چیزی است که هنگام حل مشکلات مورد نیاز است.
اولین فرمولی که هنگام شروع مطالعه مثلثات باید بدانید می گوید که مجموع مجذورهای سینوس و کسینوس یک زاویه برابر با یک است. این فرمول نتیجه مستقیم قضیه فیثاغورث است، اما اگر بخواهید ارزش زاویه را بدانید، نه ضلع، در زمان صرفه جویی می کند.
بسیاری از دانش آموزان نمی توانند فرمول دوم را به خاطر بسپارند، همچنین بسیارمحبوب در حل مسائل مدرسه: مجموع یک و مجذور مماس یک زاویه برابر است با تقسیم بر مجذور کسینوس زاویه. نگاه دقیق‌تری بیندازید: به هر حال، این همان عبارتی است که در فرمول اول وجود داشت، فقط هر دو طرف هویت با مربع کسینوس تقسیم شدند. به نظر می رسد که یک عملیات ساده ریاضی فرمول مثلثاتی را کاملاً غیرقابل تشخیص می کند. به یاد داشته باشید: با دانستن اینکه سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت چیست، قوانین تبدیل و چند فرمول اساسی، می‌توانید در هر زمان به طور مستقل فرمولهای پیچیده‌تر مورد نیاز را بر روی یک تکه کاغذ استخراج کنید.
فرمولهای زاویه دوتایی و اضافه کردن آرگومان‌ها
دو فرمول دیگر برای یادگیری به مقادیر سینوس و کسینوس برای مجموع و اختلاف زاویه ها مربوط می شود. در شکل زیر نشان داده شده اند. لطفا توجه داشته باشید که در حالت اول سینوس و کسینوس هر دو ضرب می شوند و در حالت دوم حاصلضرب زوجی سینوس و کسینوس اضافه می شود.
همچنین فرمول هایی وجود دارد که با آرگومان های دو زاویه ای مرتبط هستند. آنها کاملاً از موارد قبلی مشتق شده اند - به عنوان یک تمرین، سعی کنید خودتان آنها را بدست آورید و زاویه آلفا را برابر با زاویه بتا بگیرید.
در پایان، توجه داشته باشید که فرمول های دو زاویه را می توان برای کاهش درجه سینوس، کسینوس، آلفای مماس تبدیل کرد.
قضیه
دو قضیه اصلی در مثلثات پایه، قضیه سینوس و قضیه کسینوس هستند. با کمک این قضایا می توانید به راحتی بفهمید که چگونه سینوس، کسینوس و مماس و از این رو مساحت شکل و قدر را پیدا کنید.هر طرف، و غیره.
قضیه سینوس بیان می کند که در نتیجه تقسیم طول هر یک از اضلاع یک مثلث بر مقدار زاویه مقابل، عدد مشابهی به دست می آید. علاوه بر این، این عدد برابر با دو شعاع دایره محصور شده خواهد بود، یعنی دایره ای که تمام نقاط مثلث داده شده را در بر می گیرد.
قضیه کسینوس قضیه فیثاغورث را تعمیم می دهد و آن را بر هر مثلثی نمایش می دهد. معلوم می شود که از مجموع مربع های دو ضلع، حاصل ضرب آنها را در کسینوس دوگانه زاویه مجاور آنها کم کنید - مقدار حاصل برابر با مربع ضلع سوم خواهد بود. بنابراین، قضیه فیثاغورث یک مورد خاص از قضیه کسینوس است.
اشتباهات ناشی از بی توجهی
حتی با دانستن اینکه سینوس، کسینوس و مماس چیست، به راحتی می توان به دلیل غیبت یا اشتباه در ساده ترین محاسبات اشتباه کرد. برای جلوگیری از چنین اشتباهاتی، بیایید نگاهی به محبوب ترین آنها بیاندازیم.
اول از همه، کسرهای معمولی را قبل از گرفتن نتیجه نهایی به اعشار تبدیل نکنید - می توانید پاسخ را به عنوان کسری مشترک بگذارید، مگر اینکه در شرط غیر از این باشد. چنین تحولی را نمی توان اشتباه نامید، اما باید به خاطر داشت که در هر مرحله از کار، ممکن است ریشه های جدیدی ظاهر شود که طبق ایده نویسنده باید کاهش یابد. در این صورت وقت خود را برای عملیات ریاضی غیر ضروری تلف خواهید کرد. این به ویژه برای مقادیری مانند ریشه سه یا دو صادق است، زیرا آنها در وظایف در هر مرحله رخ می دهند. در مورد گرد کردن هم همینطور.اعداد "زشت".
بعد، توجه داشته باشید که قضیه کسینوس برای هر مثلثی صدق می کند، اما قضیه فیثاغورث نیست! اگر به اشتباه فراموش کنید که دو برابر حاصل ضرب اضلاع در کسینوس زاویه بین آنها را کم کنید، نه تنها نتیجه کاملاً اشتباهی خواهید گرفت، بلکه یک سوء تفاهم کامل از موضوع را نیز نشان خواهید داد. این بدتر از یک اشتباه بی دقت است.
سوم، مقادیر زوایای 30 و 60 درجه برای سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها، کوتانژانت ها را اشتباه نگیرید. این مقادیر را به خاطر بسپارید، زیرا سینوس 30 درجه برابر است با کسینوس 60 و بالعکس. مخلوط کردن آنها آسان است و به ناچار نتیجه اشتباهی خواهید گرفت.
برنامه
بسیاری از دانش آموزان عجله ای برای شروع مطالعه مثلثات ندارند، زیرا معنای کاربردی آن را درک نمی کنند. سینوس، کسینوس، مماس برای یک مهندس یا ستاره شناس چیست؟ اینها مفاهیمی هستند که به لطف آنها می توانید فاصله ستاره های دور را محاسبه کنید، سقوط یک شهاب سنگ را پیش بینی کنید، یک کاوشگر تحقیقاتی را به سیاره دیگری بفرستید. بدون آنها، ساختن یک ساختمان، طراحی یک ماشین، محاسبه بار روی سطح یا مسیر حرکت یک شی غیرممکن است. و اینها تنها بارزترین نمونه ها هستند! به هر حال، مثلثات به یک شکل در همه جا استفاده می شود، از موسیقی گرفته تا پزشکی.
در نتیجه
پس، می دانید سینوس، کسینوس، مماس چیست. شما می توانید از آنها در محاسبات استفاده کنید و مشکلات مدرسه را با موفقیت حل کنید.
کل نکتهمثلثات به این واقعیت کاهش می یابد که با توجه به پارامترهای شناخته شده مثلث، محاسبه مجهولات ضروری است. در مجموع شش پارامتر وجود دارد: طول سه ضلع و قدر سه زاویه. کل تفاوت در وظایف در این واقعیت نهفته است که داده های ورودی متفاوتی داده می شود.
چگونه سینوس، کسینوس، مماس را بر اساس طول شناخته شده پاها یا هیپوتانوس پیدا کنید، اکنون می دانید. از آنجایی که این عبارات چیزی بیش از یک نسبت نیستند و یک نسبت یک کسری است، هدف اصلی مسئله مثلثاتی یافتن ریشه های یک معادله معمولی یا یک سیستم معادلات است. و در اینجا ریاضیات معمول مدرسه به شما کمک می کند.
