ثانیه، مماس - همه اینها را می‌توان صدها بار در درس‌های هندسه شنید. اما فارغ التحصیلی از مدرسه تمام شد، سال ها می گذرد و این همه دانش فراموش می شود. چه چیزی را باید به خاطر بسپارید؟
جوهر
اصطلاح "مماس بر دایره" احتمالا برای همه آشناست. اما بعید است که همه بتوانند به سرعت تعریف آن را تدوین کنند. در همین حال، مماس خط مستقیمی است که در یک صفحه با دایره ای قرار دارد که فقط در یک نقطه آن را قطع می کند. ممکن است تنوع بسیار زیادی از آنها وجود داشته باشد، اما همه آنها ویژگی های یکسانی دارند که در ادامه به آنها پرداخته خواهد شد. همانطور که ممکن است حدس بزنید، نقطه تماس محل تلاقی دایره و خط است. در هر مورد، یکی است، اما اگر تعداد بیشتری وجود داشته باشد، یک سکانس خواهد بود.
تاریخچه کشف و مطالعه
مفهوم مماس در دوران باستان ظاهر شد. ساخت این خطوط مستقیم، ابتدا به یک دایره، و سپس به بیضی ها، سهمی ها و هذلولی ها با کمک یک خط کش و قطب نما، حتی در مراحل اولیه توسعه هندسه انجام شد. البته تاریخ نام کاشف را حفظ نکرده است، امابدیهی است که حتی در آن زمان، مردم کاملاً از خواص مماس بر دایره آگاه بودند.
در دوران مدرن، علاقه به این پدیده دوباره شعله ور شد - دور جدیدی از مطالعه این مفهوم آغاز شد، همراه با کشف منحنی های جدید. بنابراین، گالیله مفهوم سیکلوئید را معرفی کرد و فرما و دکارت مماس بر آن ساختند. در مورد محافل نیز به نظر می رسد که در این منطقه رازی برای قدیمی ها باقی نمانده است.
خواص
شعاع رسم شده به نقطه تقاطع عمود بر خط خواهد بود. این
است
مهمترین، اما نه تنها خاصیتی که مماس بر دایره دارد. یکی دیگر از ویژگی های مهم شامل دو خط مستقیم است. بنابراین، از طریق یک نقطه در خارج از دایره، دو مماس را می توان رسم کرد، در حالی که پاره های آنها مساوی خواهد بود. قضیه دیگری در مورد این موضوع وجود دارد، اما به ندرت در چارچوب یک دوره مدرسه استاندارد پوشش داده می شود، اگرچه برای حل برخی از مشکلات بسیار راحت است. صداش اینجوریه از یک نقطه در خارج از دایره، یک مماس و یک مقطع به آن کشیده می شود. بخش های AB، AC و AD تشکیل می شوند. A محل تلاقی خطوط، B نقطه تماس، C و D محل تلاقی هستند. در این حالت، تساوی زیر معتبر خواهد بود: طول مماس بر دایره، مربع، برابر با حاصلضرب قطعات AC و AD خواهد بود.
از مطالب فوق یک پیامد مهم وجود دارد. برای هر نقطه از دایره، می توانید یک مماس بسازید، اما فقط یک. اثبات این امر بسیار ساده است: از لحاظ نظری با انداختن یک عمود از شعاع روی آن، متوجه می شویم که شکلمثلث نمی تواند وجود داشته باشد و این بدان معنی است که مماس تنها یک است.
ساختمان
در میان مشکلات دیگر در هندسه، به طور معمول یک دسته خاص وجود دارد، نه
مورد علاقه دانش آموزان و دانشجویان. برای حل وظایف از این دسته فقط به قطب نما و خط کش نیاز دارید. اینها وظایف ساختن هستند. همچنین روش هایی برای ساخت مماس وجود دارد.
بنابراین، یک دایره و یک نقطه خارج از مرزهای آن قرار دارد. و لازم است یک مماس از میان آنها رسم شود. چگونه انجامش بدهیم؟ اول از همه، شما باید یک پاره بین مرکز دایره O و یک نقطه داده شده بکشید. سپس با استفاده از قطب نما آن را به دو نیم تقسیم کنید. برای انجام این کار، باید شعاع را تنظیم کنید - کمی بیش از نیمی از فاصله بین مرکز دایره اصلی و نقطه داده شده. پس از آن، شما باید دو قوس متقاطع بسازید. علاوه بر این، شعاع قطب نما نیازی به تغییر ندارد و مرکز هر قسمت از دایره به ترتیب نقطه اولیه و O خواهد بود. تقاطع کمان ها باید به هم وصل شوند، که بخش را به نصف تقسیم می کند. یک شعاع بر روی قطب نما برابر با این فاصله قرار دهید. بعد، با مرکز در نقطه تقاطع، یک دایره دیگر بکشید. هم نقطه اولیه و هم O روی آن قرار می گیرند در این صورت دو تقاطع دیگر با دایره داده شده در مسئله وجود خواهد داشت. آنها نقاط لمسی برای نقطه اولیه داده شده خواهند بود.
جالب
ساخت مماس بر دایره بود که منجر به تولد
شد
حساب دیفرانسیل. اولین کار در این زمینه بودتوسط ریاضیدان مشهور آلمانی لایبنیتس منتشر شده است. او امکان یافتن ماکزیمم، کمینه و مماس را بدون توجه به مقادیر کسری و غیرمنطقی فراهم کرد. خوب، اکنون برای بسیاری از محاسبات دیگر نیز استفاده می شود.
علاوه بر این، مماس بر دایره با معنای هندسی مماس مرتبط است. نام آن از همین جا می آید. ترجمه شده از لاتین، tangens به معنای "مماس" است. بنابراین، این مفهوم نه تنها با هندسه و حساب دیفرانسیل، بلکه با مثلثات نیز مرتبط است.
دو دایره
همیشه یک مماس تنها بر یک شکل تأثیر نمی گذارد. اگر می توان تعداد زیادی از خطوط مستقیم را به یک دایره رسم کرد، پس چرا برعکس نمی شود؟ می توان. اما کار در این مورد بسیار پیچیده است، زیرا مماس بر دو دایره ممکن است از هیچ نقطه ای عبور نکند، و موقعیت نسبی همه این ارقام می تواند بسیار
باشد.
متفاوت.
انواع و انواع
وقتی صحبت از دو دایره و یک یا چند خط می شود، حتی اگر مشخص شود که اینها مماس هستند، بلافاصله مشخص نمی شود که همه این ارقام نسبت به یکدیگر چگونه قرار دارند. بر این اساس، انواع مختلفی وجود دارد. بنابراین، دایره ها می توانند یک یا دو نقطه مشترک داشته باشند یا اصلاً نداشته باشند. در حالت اول، آنها متقاطع می شوند و در حالت دوم، آنها را لمس می کنند. و در اینجا دو نوع وجود دارد. اگر یک دایره، همانطور که بود، در دایره دوم تعبیه شده باشد، لمس داخلی نامیده می شود، اگر نه، پس خارجی نامیده می شود. متقابل را درک کنندمکان یابی شکل ها نه تنها بر اساس نقشه، بلکه با داشتن اطلاعاتی در مورد مجموع شعاع آنها و فاصله بین مراکز آنها امکان پذیر است. اگر این دو کمیت برابر باشند، دایره ها لمس می شوند. اگر اولی بزرگتر باشد آنها را قطع می کنند و اگر کوچکتر باشد نقاط مشترکی ندارند.
همانطور با خطوط مستقیم. برای هر دو دایره ای که نقاط مشترک ندارند، می توانید
ساخت چهار مماس. دو مورد از آنها بین شکل ها تلاقی می کنند، آنها داخلی نامیده می شوند. چند مورد دیگر خارجی هستند.
اگر در مورد حلقه هایی صحبت می کنیم که یک نقطه مشترک دارند، کار بسیار ساده شده است. واقعیت این است که برای هر ترتیب متقابل در این مورد، آنها فقط یک مماس خواهند داشت. و از نقطه تقاطع آنها عبور خواهد کرد. بنابراین ساخت و ساز از دشواری باعث نمی شود.
اگر شکل ها دو نقطه تقاطع داشته باشند، می توان برای آنها یک خط مستقیم، مماس بر دایره، هم یکی و هم دوم، اما فقط خط بیرونی، ساخت. راه حل این مشکل مشابه چیزی است که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.
حل مشکل
هر دو مماس داخلی و خارجی به دو دایره ساخته نمی شوند، اگرچه این مشکل قابل حل است. واقعیت این است که برای این کار از یک عدد کمکی استفاده می شود، پس خودتان به این روش فکر کنید
کاملاً مشکل ساز است. بنابراین، دو دایره با شعاع ها و مراکز مختلف O1 و O2 داده می شود. برای آنها، شما باید دو جفت مماس بسازید.
اول از همه، نزدیک مرکز بزرگتردایره ها باید به صورت کمکی ساخته شوند. در این حالت باید تفاوت بین شعاع دو شکل اولیه روی قطب نما مشخص شود. مماس بر دایره کمکی از مرکز دایره کوچکتر ساخته می شود. پس از آن، از O1 و O2، عمود بر این خطوط کشیده می شود تا زمانی که با اشکال اصلی تلاقی کنند. همانطور که از ویژگی اصلی مماس نشان می دهد، نقاط مورد نظر در هر دو دایره پیدا می شود. مشکل حل شد، حداقل قسمت اول آن.
برای ساخت مماس های داخلی، باید عملاً حل کنید
کار مشابه. باز هم یک عدد کمکی لازم است، اما این بار شعاع آن برابر با مجموع عددهای اصلی خواهد بود. مماس ها بر روی آن از مرکز یکی از دایره های داده شده ساخته می شوند. ادامه راه حل را می توان از مثال قبلی فهمید.
مماس بر یک دایره یا حتی دو یا چند دایره کار چندان دشواری نیست. البته، ریاضیدانان مدتهاست که چنین مسائلی را به صورت دستی حل نمی کنند و محاسبات را به برنامه های خاص اعتماد می کنند. اما فکر نکنید که اکنون لازم نیست خودتان بتوانید این کار را انجام دهید، زیرا برای تنظیم صحیح یک کار برای رایانه، باید کارهای زیادی انجام دهید و درک کنید. متأسفانه این نگرانی وجود دارد که پس از انتقال نهایی به فرم آزمایشی کنترل دانش، کارهای ساخت و ساز مشکلات روز افزونی را برای دانش آموزان ایجاد کند.
در مورد یافتن مماس های مشترک برای دایره های بیشتر، همیشه امکان پذیر نیست، حتی اگر آنها در یک صفحه قرار بگیرند. اما در برخی موارد می توانید چنین خط مستقیمی را پیدا کنید.
نمونه های زندگی
یک مماس مشترک بر دو دایره اغلب در عمل مشاهده می شود، اگرچه همیشه قابل توجه نیست. نوار نقاله ها، سیستم های بلوک، تسمه های انتقال قرقره، کشش نخ در چرخ خیاطی، و حتی فقط یک زنجیر دوچرخه - همه اینها نمونه هایی از زندگی هستند. بنابراین فکر نکنید که مسائل هندسی فقط در تئوری باقی می مانند: در مهندسی، فیزیک، ساخت و ساز و بسیاری از زمینه های دیگر، آنها کاربردهای عملی پیدا می کنند.
