نابرابری های جبری یا سیستم های آنها با ضرایب گویا که جواب آنها در اعداد انتگرال یا صحیح جستجو می شود. به عنوان یک قاعده، تعداد مجهولات در معادلات دیوفانتین بیشتر است. بنابراین، آنها همچنین به عنوان نابرابری نامعین شناخته می شوند. در ریاضیات مدرن، مفهوم فوق برای معادلات جبری به کار می رود که راه حل آنها در اعداد صحیح جبری برخی از بسط میدان متغیرهای منطقی Q، میدان متغیرهای p-adic و غیره جستجو می شود.
منشأ این نابرابری ها
مطالعه معادلات دیوفانتین در مرز بین نظریه اعداد و هندسه جبری است. یافتن راه حل در متغیرهای عدد صحیح یکی از قدیمی ترین مسائل ریاضی است. قبلاً در آغاز هزاره دوم قبل از میلاد. بابلی های باستان موفق به حل سیستم معادلات با دو مجهول می شدند. این شاخه از ریاضیات در یونان باستان بیشترین رونق را داشت. حساب دیوفانتوس (حدود قرن سوم پس از میلاد) یک منبع مهم و اصلی است که انواع و سیستم های مختلف معادلات را در بر می گیرد.
در این کتاب، دیوفانتوس تعدادی روش برای مطالعه نابرابری های دوم و سوم پیش بینی کرده است.درجاتی که به طور کامل در قرن 19 توسعه یافتند. ایجاد نظریه اعداد گویا توسط این محقق یونان باستان منجر به تجزیه و تحلیل راه حل های منطقی سیستم های نامعین شد که به طور سیستماتیک در کتاب او دنبال شده است. اگرچه کار او حاوی راه‌حل‌هایی برای معادلات دیوفانتینی خاص است، اما دلیلی وجود دارد که باور کنیم او با چندین روش کلی نیز آشنا بوده است.
مطالعه این نابرابری ها معمولاً با مشکلات جدی همراه است. با توجه به این واقعیت که آنها حاوی چند جمله ای با ضرایب صحیح F (x, y1, …, y) هستند. بر این اساس، نتیجه گیری شد که هیچ الگوریتم واحدی وجود ندارد که بتوان برای هر x معینی از معادله F (x، y1، ….، yاستفاده کرد.). وضعیت برای y1، …، y قابل حل است. نمونه هایی از این چند جمله ای ها را می توان نوشت.
ساده ترین نابرابری
ax + by=1، که در آن a و b اعداد نسبتاً صحیح و اول هستند، تعداد زیادی اجرا دارد (اگر x0، y0 نتیجه تشکیل می شود، سپس جفت متغیر x=x0 + b و y=y0 -an، که در آن n دلخواه است، نیز به عنوان یک نابرابری در نظر گرفته می شود. مثال دیگری از معادلات دیوفانتین x2 + y2 =z2 است. جواب های انتگرال مثبت این نابرابری، طول ضلع های کوچک x، y و مثلث قائم الزاویه و همچنین فرضیه z با ابعاد ضلع صحیح است. این اعداد به اعداد فیثاغورثی معروف هستند. همه سه قلوها با توجه به اول نشان داده شده استمتغیرهای بالا با x=m2 – n2، y=2mn، z=m2 داده می شود+ n2، که در آن m و n اعداد صحیح و اول هستند (m>n>0).
دیوفانتوس در حساب خود به دنبال راه حل های منطقی (نه لزوماً انتگرال) انواع خاصی از نابرابری های خود می گردد. یک نظریه کلی برای حل معادلات دیوفانتین درجه اول توسط سی جی بسکت در قرن هفدهم ارائه شد. دانشمندان دیگر در آغاز قرن نوزدهم عمدتاً نابرابری‌های مشابهی مانند ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0 را مطالعه کردند. که در آن a، b، c، d، e و f کلی، ناهمگن، با دو مجهول درجه دوم هستند. لاگرانژ در مطالعه خود از کسرهای ادامه دار استفاده کرد. گاوس برای اشکال درجه دوم یک نظریه کلی ایجاد کرد که زیربنای برخی از انواع راه حل ها است.
در مطالعه این نابرابری های درجه دوم، پیشرفت قابل توجهی تنها در قرن بیستم حاصل شد. A. Thue دریافت که معادله دیوفانتین a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c، جایی که n≧3، a0، … ، a ، c اعداد صحیح هستند و a0tn + …+ a نمی تواند بی نهایت جواب عدد صحیح داشته باشد. با این حال، روش Thue به درستی توسعه نیافته بود. A. Baker قضایای مؤثری را ایجاد کرد که برآوردهایی را در مورد عملکرد برخی از معادلات از این نوع ارائه می دهد. BN Delaunay روش دیگری برای بررسی پیشنهاد کرد که برای طبقه محدودتری از این نابرابری ها قابل استفاده است. به طور خاص، فرم ax3 + y3 =1 به این روش کاملاً قابل حل است.
معادلات دیوفانتین: روش های حل
نظریه دیوفانتوس جهات زیادی دارد. بنابراین، یک مسئله شناخته شده در این سیستم این فرضیه است که هیچ راه حل غیرمعمولی برای معادلات دیوفانتین وجود ندارد xn + y =z n اگر n ≧ 3 (سوال فرمت). مطالعه تحقق اعداد صحیح نابرابری تعمیم طبیعی مسئله سه قلوهای فیثاغورثی است. اویلر یک راه حل مثبت برای مسئله فرما برای n=4 به دست آورد. به موجب این نتیجه، اگر n یک عدد اول فرد باشد، به اثبات عدد صحیح گمشده و غیرصفر معادله اشاره دارد.
مطالعه در مورد تصمیم تکمیل نشده است. مشکلات اجرای آن به این واقعیت مربوط می شود که فاکتورسازی ساده در حلقه اعداد صحیح جبری منحصر به فرد نیست. تئوری مقسوم علیه‌ها در این سیستم برای بسیاری از کلاس‌های نماهای اول n تأیید صحت قضیه فرما را ممکن می‌سازد. بنابراین معادله دیوفانتین خطی با دو مجهول با روش ها و روش های موجود برآورده می شود.
انواع و انواع وظایف توصیف شده
حساب حلقه های اعداد صحیح جبری در بسیاری دیگر از مسائل و راه حل های معادلات دیوفانتین نیز استفاده می شود. برای مثال، چنین روش‌هایی هنگام برآوردن نابرابری‌های شکل N(a1 x1 +…+ a x)=m، که در آن N(a) هنجار a است، و x1، …، xn متغیرهای منطقی انتگرال یافت می شوند. این کلاس شامل معادله پل x2–dy2=1 است.
مقادیر a1، …، a که ظاهر می شوند، این معادلات به دو نوع تقسیم می شوند. نوع اول - به اصطلاح فرم های کامل - شامل معادلاتی است که در بین a m اعداد مستقل خطی در میدان متغیرهای گویا Q وجود دارد که m=[Q(a1، …, a:Q]، که در آن درجه ای از شارح های جبری Q (a1, …, a ) بیش از Q وجود دارد. گونه های ناقص آنهایی هستند که در که حداکثر تعداد a i کمتر از m.
فرم های کامل ساده تر هستند، مطالعه آنها کامل است و همه راه حل ها قابل توضیح است. نوع دوم، گونه ناقص، پیچیده تر است و توسعه چنین نظریه ای هنوز کامل نشده است. چنین معادلاتی با استفاده از تقریب های دیوفانتین مورد مطالعه قرار می گیرند، که شامل نابرابری F(x,y)=C است، که در آن F (x,y) یک چند جمله ای غیر قابل تقلیل و همگن با درجه n≧3 است. بنابراین، می‌توانیم فرض کنیم که yi→∞. بر این اساس، اگر yi به اندازه کافی بزرگ باشد، نابرابری با قضیه Thue، Siegel و Roth در تضاد خواهد بود، که از آن نتیجه می شود که F(x, y)=C، جایی که F برابر است. شکلی از درجه سوم یا بالاتر، تقلیل ناپذیر نمی تواند بی نهایت جواب داشته باشد.
چگونه معادله دیوفانتین را حل کنیم؟
این مثال یک طبقه نسبتاً باریک در بین همه است. برای مثال، با وجود سادگی، x3 + y3 + z3=N، و x2 +y 2 +z2 +u2 =N در این کلاس گنجانده نشده اند. مطالعه راه‌حل‌ها شاخه‌ای از معادلات دیوفانتین است که با دقت مطالعه شده‌است، که اساس آن نمایش با اشکال درجه دوم اعداد است. لاگرانژیک قضیه ایجاد کرد که می گوید تحقق برای تمام N طبیعی وجود دارد. هر عدد طبیعی را می توان به صورت مجموع سه مربع نشان داد (قضیه گاوس)، اما نباید به شکل 4a باشد. (8K- 1)، که در آن a و k نماهای عدد صحیح غیر منفی هستند.
راه‌حل‌های منطقی یا انتگرالی برای یک سیستم معادله دیوفانتین از نوع F (x1، …، x )=a، جایی که F (x 1, …, x ) یک فرم درجه دوم با ضرایب صحیح است. بنابراین، طبق قضیه مینکوفسکی هاس، نابرابری ∑aijxixj=b ijو b گویا است، یک راه حل انتگرالی در اعداد حقیقی و p-adic برای هر عدد اول p دارد، تنها در صورتی که در این ساختار قابل حل باشد.
به دلیل مشکلات ذاتی، مطالعه اعداد با اشکال دلخواه درجه سه به بالا به میزان کمتری مورد مطالعه قرار گرفته است. روش اصلی اجرای روش مجموع مثلثاتی است. در این حالت تعداد جواب های معادله به صراحت بر حسب انتگرال فوریه نوشته می شود. پس از آن از روش محیطی برای بیان تعداد تحقق نابرابری همخوانی های مربوطه استفاده می شود. روش جمع‌های مثلثاتی به ویژگی‌های جبری نابرابری‌ها بستگی دارد. تعداد زیادی روش ابتدایی برای حل معادلات دیوفانتین خطی وجود دارد.
آنالیز دیوفانتین
گروه ریاضی که موضوع آن بررسی حل های انتگرالی و منطقی سیستم های معادلات جبر با روش های هندسه است، از همانکره ها در نیمه دوم قرن نوزدهم، ظهور این نظریه اعداد منجر به مطالعه معادلات دیوفانتین از یک میدان دلخواه با ضرایب شد و راه حل هایی در آن یا در حلقه های آن در نظر گرفته شد. سیستم توابع جبری به موازات اعداد توسعه یافته است. تشابه اساسی بین این دو که توسط دی. هیلبرت و به ویژه ال. کرونکر مورد تأکید قرار گرفت، منجر به ساخت یکنواخت مفاهیم حسابی مختلف شد که معمولاً جهانی نامیده می شوند.
این امر به ویژه در صورتی قابل توجه است که توابع جبری مورد مطالعه بر روی یک میدان محدود از ثابت ها یک متغیر باشند. مفاهیمی مانند تئوری میدان کلاس، مقسوم‌کننده، و شاخه‌بندی و نتایج، نمونه خوبی از موارد فوق هستند. این دیدگاه فقط بعداً در سیستم نابرابری های دیوفانتین پذیرفته شد و تحقیقات سیستماتیک نه تنها با ضرایب عددی، بلکه با ضرایبی که توابع هستند نیز تنها در دهه 1950 آغاز شد. یکی از عوامل تعیین کننده در این رویکرد، توسعه هندسه جبری بود. مطالعه همزمان حوزه‌های اعداد و توابع، که به‌عنوان دو جنبه به یک اندازه مهم از یک موضوع به وجود می‌آیند، نه تنها نتایج ظریف و قانع‌کننده‌ای به‌دست آورد، بلکه منجر به غنی‌سازی متقابل دو مبحث شد.
در هندسه جبری، مفهوم تنوع با مجموعه‌ای غیر متغیر از نابرابری‌ها در یک میدان معین K جایگزین می‌شود و جواب‌های آنها با نقاط گویا با مقادیر K یا در بسط محدود آن جایگزین می‌شوند. بر این اساس می توان گفت که مسئله اساسی هندسه دیوفانتین مطالعه نقاط گویا استاز یک مجموعه جبری X(K)، در حالی که X اعداد خاصی در فیلد K هستند. اجرای عدد صحیح در معادلات دیوفانتین خطی معنای هندسی دارد.
مطالعات نابرابری و گزینه های اجرایی
هنگام مطالعه نقاط گویا (یا انتگرال) روی انواع جبری، اولین مشکل ایجاد می شود که وجود آنهاست. دهمین مسئله هیلبرت به عنوان مسئله یافتن یک روش کلی برای حل این مسئله فرموله شده است. در فرآیند ایجاد یک تعریف دقیق از الگوریتم و پس از اینکه ثابت شد که چنین اجراهایی برای تعداد زیادی از مسائل وجود ندارد، مسئله یک نتیجه منفی آشکار به دست آورد و جالب ترین سوال، تعریف کلاس های معادلات دیوفانتین است. که سیستم فوق برای آن وجود دارد. طبیعی ترین رویکرد، از دیدگاه جبری، به اصطلاح اصل هاس است: میدان اولیه K همراه با تکمیل آن Kv بر روی تمام تخمین های ممکن مطالعه می شود. از آنجایی که X(K)=X(Kv) شرط لازم برای وجود است، و نقطه K این را در نظر می گیرد که مجموعه X(Kv) برای همه نسخه ها خالی نیست.
اهمیت در این واقعیت است که دو مشکل را در کنار هم قرار می دهد. مورد دوم بسیار ساده تر است، با یک الگوریتم شناخته شده قابل حل است. در مورد خاصی که تنوع X تصویری است، لم هانسل و تعمیم‌های آن کاهش بیشتر را ممکن می‌سازد: مشکل را می‌توان به مطالعه نقاط عقلانی در یک میدان محدود تقلیل داد. سپس تصمیم می‌گیرد که مفهومی را یا از طریق تحقیقات مداوم یا روش‌های مؤثرتر بسازد.
آخرینیک نکته مهم این است که مجموعه های X(Kv) برای همه به جز یک عدد محدود از v خالی نیستند، بنابراین تعداد شرایط همیشه محدود است و می توان آنها را به طور موثر آزمایش کرد. با این حال، اصل هاس برای منحنی های درجه اعمال نمی شود. برای مثال، 3x3 + 4y3=5 دارای امتیاز در تمام فیلدهای عدد p-adic است و در سیستم اعداد واقعی، اما هیچ نقطه گویا ندارد.
این روش به عنوان نقطه شروعی برای ساخت مفهومی بود که طبقات فضاهای همگن اصلی گونه های آبلی را برای انجام "انحراف" از اصل هاس توصیف می کرد. از نظر ساختار خاصی توصیف می شود که می تواند با هر منیفولد مرتبط باشد (گروه Tate-Shafarevich). مشکل اصلی این نظریه در این واقعیت نهفته است که روش های محاسبه گروه ها دشوار است. این مفهوم به سایر کلاس‌های انواع جبری نیز تعمیم داده شده است.
جستجوی الگوریتمی برای رفع نابرابری
یکی دیگر از ایده های اکتشافی مورد استفاده در مطالعه معادلات دیوفانتین این است که اگر تعداد متغیرهای درگیر در مجموعه ای از نابرابری ها زیاد باشد، سیستم معمولاً یک راه حل دارد. با این حال، اثبات این امر برای هر مورد خاص بسیار دشوار است. رویکرد کلی به مسائل از این نوع از تئوری اعداد تحلیلی استفاده می کند و بر اساس برآوردهای حاصل از مجموع مثلثاتی است. این روش در اصل برای انواع خاصی از معادلات استفاده می شد.
اما بعداً با کمک آن ثابت شد که اگر شکل یک درجه فرد F باشد، در dو n متغیر و با ضرایب گویا، پس n در مقایسه با d به اندازه کافی بزرگ است، بنابراین ابرسطح تصویری F=0 یک نقطه گویا دارد.طبق حدس آرتین، این نتیجه درست است حتی اگر n > d2. این فقط برای فرم های درجه دوم ثابت شده است. مشکلات مشابهی را می توان برای سایر زمینه ها نیز مطرح کرد. مشکل اصلی هندسه دیوفانتین ساختار مجموعه نقاط صحیح یا گویا و بررسی آنهاست و اولین سوالی که باید روشن شود این است که آیا این مجموعه متناهی است یا خیر؟ در این مشکل، اگر درجه سیستم بسیار بزرگتر از تعداد متغیرها باشد، معمولاً وضعیت دارای تعداد محدودی از اجراها است. این فرض اساسی است.
نابرابری در خطوط و منحنی ها
گروه X(K) را می توان به صورت مجموع مستقیم ساختار آزاد رتبه r و گروه محدود مرتبه n نشان داد. از دهه 1930، این سؤال که آیا این اعداد در مجموعه تمام منحنی‌های بیضوی بر روی یک میدان مشخص K محدود می‌شوند، مورد مطالعه قرار گرفته است. مرز پیچش n در دهه هفتاد نشان داده شد. منحنی هایی با رتبه بالای دلخواه در حالت عملکردی وجود دارد. در مورد عددی، هنوز پاسخی برای این سوال وجود ندارد.
در نهایت، حدس موردل بیان می کند که تعداد نقاط انتگرال برای منحنی از جنس g>1 محدود است. در مورد عملکردی، این مفهوم توسط Yu. I. Manin در سال 1963 نشان داده شد. ابزار اصلی برای اثبات قضایای تناهی در هندسه دیوفانتین ارتفاع است. از انواع جبری، ابعاد بالاتر از یک آبلی استمنیفولدها، که مشابه های چند بعدی منحنی های بیضوی هستند، به طور کامل مورد مطالعه قرار گرفته اند.
A. ویل قضیه محدود بودن تعداد مولدهای گروهی از نقاط عقلی را به انواع آبلی از هر بعد تعمیم داد (مفهوم موردل-ویل) و آن را بسط داد. در دهه 1960، حدس برچ و سوینرتون-دایر ظاهر شد که این و گروه و توابع زتا منیفولد را بهبود بخشید. شواهد عددی این فرضیه را تایید می کند.
مسئله حل شدن
مسئله یافتن الگوریتمی که بتوان از آن برای تعیین اینکه آیا معادله دیوفانتین راه حلی دارد یا خیر استفاده کرد. یکی از ویژگی های اساسی مسئله مطرح شده، جستجوی یک روش جهانی است که برای هر نابرابری مناسب باشد. چنین روشی همچنین امکان حل سیستم‌های فوق را می‌دهد، زیرا معادل P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 یا p21+ ⋯ + P2K=0 است. n12+⋯+pK2=0. مشکل یافتن چنین راهی جهانی برای یافتن راه حل برای نابرابری های خطی در اعداد صحیح توسط D مطرح شد. گیلبرت.
در اوایل دهه 1950، اولین مطالعات با هدف اثبات عدم وجود الگوریتمی برای حل معادلات دیوفانتین ظاهر شد. در این زمان، حدس دیویس ظاهر شد، که می گفت هر مجموعه قابل شمارش نیز متعلق به دانشمند یونانی است. زیرا نمونه هایی از مجموعه های غیرقابل تصمیم گیری الگوریتمی شناخته شده اند، اما به صورت بازگشتی قابل شمارش هستند. نتیجه این است که حدس دیویس درست است و مشکل حل شدنی بودن این معادلاتاجرای منفی دارد.
بعد از آن، برای حدس دیویس، باید ثابت کرد که روشی برای تبدیل نابرابری وجود دارد که (یا نداشت) در همان زمان راه‌حل دارد. نشان داده شد که چنین تغییری در معادله دیوفانتین در صورتی امکان پذیر است که دو ویژگی فوق را داشته باشد: 1) در هر راه حلی از این نوع v ≦ uu; 2) برای هر k، یک اجرا با رشد نمایی وجود دارد.
نمونه ای از معادله دیوفانتین خطی این کلاس، اثبات را تکمیل کرد. مسئله وجود الگوریتمی برای حل‌پذیری و تشخیص این نابرابری‌ها در اعداد گویا همچنان یک سوال مهم و باز تلقی می‌شود که به اندازه کافی مطالعه نشده است.
