حل معادلات در ریاضیات جایگاه ویژه ای دارد. این فرآیند با ساعت های زیادی مطالعه تئوری انجام می شود که در طی آن دانش آموز یاد می گیرد که چگونه معادلات را حل کند، شکل آنها را تعیین کند و مهارت را به خودکارسازی کامل برساند. با این حال، جستجو برای ریشه ها همیشه منطقی نیست، زیرا ممکن است به سادگی وجود نداشته باشند. روش های خاصی برای ریشه یابی وجود دارد. در این مقاله، عملکردهای اصلی، دامنه آنها و همچنین مواردی که ریشه آنها وجود ندارد را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
کدام معادله ریشه ندارد؟
معادله ای ریشه ندارد اگر چنین آرگومان های واقعی x وجود نداشته باشد که معادله برای آنها یکسان درست باشد. برای افراد غیرمتخصص، این فرمول، مانند اکثر قضایا و فرمول های ریاضی، بسیار مبهم و انتزاعی به نظر می رسد، اما این در تئوری است. در عمل، همه چیز بسیار ساده می شود. به عنوان مثال: معادله 0x=-53 هیچ راه حلی ندارد، زیرا عدد x وجود ندارد که حاصلضرب آن چیزی غیر از صفر باشد.
اکنون به ابتدایی ترین انواع معادلات نگاه می کنیم.
1. معادله خطی
معادله ای خطی نامیده می شود که قسمت های راست و چپ آن به صورت توابع خطی نمایش داده شوند: ax + b=cx + d یا به صورت کلی kx + b=0. که در آن a، b، c، d شناخته می شوند. اعداد، و x یک کمیت مجهول است. کدام معادله ریشه ندارد؟ نمونه هایی از معادلات خطی در تصویر زیر نشان داده شده است.
اساساً معادلات خطی با جابجایی قسمت عددی به یک قسمت و محتویات x به قسمت دیگر حل می شوند. به نظر می رسد معادله ای به شکل mx \u003d n، که در آن m و n اعداد هستند و x یک مجهول است. برای یافتن x کافی است هر دو قسمت را بر m تقسیم کنیم. سپس x=n/m. اصولاً معادلات خطی فقط یک ریشه دارند، اما مواردی وجود دارد که یا بی نهایت ریشه دارد یا اصلاً هیچ ریشه ای وجود ندارد. با m=0 و n=0، معادله به شکل 0x=0 است. مطلقاً هر عددی راه‌حل چنین معادله‌ای خواهد بود.
اما کدام معادله ریشه ندارد؟
وقتی m=0 و n=0 باشد، معادله هیچ ریشه ای از مجموعه اعداد واقعی ندارد. 0x=-1; 0x=200 - این معادلات ریشه ندارند.
2. معادله درجه دوم
معادله درجه دوم معادله ای از شکل ax2 + bx + c=0 برای a=0 است. رایج ترین راه برای حل یک معادله درجه دوم، حل آن است. از طریق ممیز. فرمول برای یافتن ممیز یک معادله درجه دوم: D=b2 - 4ac. سپس دو ریشه x1، 2=(-b ± √D) / 2a.
وجود دارد
وقتی D > 0 معادله دو ریشه دارد، وقتی D=0 - یک ریشه است. اما کدام معادله درجه دوم ریشه ندارد؟ساده ترین راه برای مشاهده تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم، روی نمودار یک تابع است که سهمی است. در > 0 شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، در < 0 شاخه ها به سمت پایین هدایت می شوند. اگر ممیز منفی باشد، چنین معادله درجه دومی در مجموعه اعداد حقیقی ریشه ندارد.
همچنین می توانید به صورت بصری تعداد ریشه ها را بدون محاسبه متمایز تعیین کنید. برای انجام این کار، باید قسمت بالای سهمی را پیدا کنید و مشخص کنید که شاخه ها به کدام سمت هدایت می شوند. می توانید مختصات x یک راس را با استفاده از فرمول تعیین کنید: x0 =-b / 2a. در این مورد، مختصات y راس به سادگی با جایگزین کردن مقدار x0 در معادله اصلی پیدا می شود.
معادله درجه دوم x2 – 8x + 72=0 ریشه ندارد زیرا دارای ممیز منفی D=(–8)2 - 4172=-224. این بدان معنی است که سهمی محور x را لمس نمی کند و تابع هرگز مقدار 0 را نمی گیرد، بنابراین معادله ریشه واقعی ندارد.
3. معادلات مثلثاتی
توابع مثلثاتی روی یک دایره مثلثاتی در نظر گرفته می شوند، اما می توانند در یک سیستم مختصات دکارتی نیز نمایش داده شوند. در این مقاله به دو تابع اصلی مثلثاتی و معادلات آنها می پردازیم: sinx و cosx. از آنجایی که این توابع یک دایره مثلثاتی با شعاع 1، |sinx| را تشکیل می دهند و |cosx| نمی تواند بزرگتر از 1 باشد. پس کدام معادله sinx ریشه ندارد؟ نمودار تابع sinx ارائه شده در تصویر را در نظر بگیریدزیر.
می بینیم که تابع متقارن است و دوره تکرار 2pi دارد. بر این اساس می توان گفت که حداکثر مقدار این تابع می تواند 1 و حداقل مقدار -1 باشد. برای مثال، عبارت cosx=5 ریشه نخواهد داشت، زیرا مدول آن بزرگتر از یک است.
این ساده ترین مثال از معادلات مثلثاتی است. در واقع راه حل آنها می تواند صفحات زیادی را به خود اختصاص دهد که در پایان آنها متوجه می شوید که از فرمول اشتباهی استفاده کرده اید و باید همه چیز را از نو شروع کنید. گاهی اوقات، حتی با یافتن صحیح ریشه ها، می توانید فراموش کنید که محدودیت های ODZ را در نظر بگیرید، به همین دلیل است که یک ریشه یا فاصله اضافی در پاسخ ظاهر می شود و کل پاسخ به یک پاسخ اشتباه تبدیل می شود. بنابراین، تمام محدودیت ها را به شدت دنبال کنید، زیرا همه ریشه ها در محدوده کار قرار نمی گیرند.
4. سیستم معادلات
سیستم معادلات مجموعه ای از معادلات است که با براکت های مجعد یا مربع ترکیب شده اند. مهاربندهای فرفری نشان دهنده اجرای مشترک همه معادلات است. یعنی اگر حداقل یکی از معادلات ریشه نداشته باشد یا با دیگری مغایرت داشته باشد، کل سیستم هیچ راه حلی ندارد. براکت های مربع نشان دهنده کلمه "یا" هستند. این بدان معناست که اگر حداقل یکی از معادلات سیستم دارای جواب باشد، کل سیستم دارای یک جواب است.
پاسخ سیستم با کروشه مجموع همه ریشه های معادلات منفرد است. و سیستم های دارای بریس های فرفری فقط ریشه های مشترک دارند. سیستم های معادلات می توانند توابع کاملاً متنوعی را شامل شوند، بنابراین این پیچیدگی نیستبه شما امکان می دهد فوراً بگویید کدام معادله ریشه ندارد.
تعمیم و نکاتی برای یافتن ریشه های معادله
در کتاب‌های مسئله‌ای و کتاب‌های درسی انواع مختلفی از معادلات وجود دارد: معادله‌هایی که ریشه دارند و آن‌هایی که آنها را ندارند. اول از همه، اگر نمی توانید ریشه ها را پیدا کنید، فکر نکنید که آنها اصلا وجود ندارند. ممکن است جایی اشتباه کرده باشید، سپس راه حل خود را دوباره بررسی کنید.
ما ابتدایی ترین معادلات و انواع آنها را پوشش داده ایم. حالا می توانید بگویید کدام معادله ریشه ندارد. در بیشتر موارد انجام این کار اصلا سخت نیست. برای رسیدن به موفقیت در حل معادلات، فقط توجه و تمرکز لازم است. بیشتر تمرین کنید، این به شما کمک می‌کند مطالب را بسیار بهتر و سریع‌تر مرور کنید.
بنابراین، معادله ریشه ندارد اگر:
- در معادله خطی mx=n مقدار m=0 و n=0;
- در یک معادله درجه دوم اگر ممیز کمتر از صفر باشد؛
- در یک معادله مثلثاتی به شکل cosx=m / sinx=n، اگر |m| > 0, |n| > 0;
- در سیستم معادلات با براکت های فرفری اگر حداقل یک معادله فاقد ریشه باشد، و با کروشه اگر همه معادلات بدون ریشه باشند.
