برای یافتن توابع توزیع متغیرهای تصادفی و متغیرهای آنها، مطالعه تمام ویژگی‌های این حوزه دانش ضروری است. چندین روش مختلف برای یافتن مقادیر مورد نظر وجود دارد، از جمله تغییر یک متغیر و ایجاد یک لحظه. توزیع مفهومی مبتنی بر عناصری مانند پراکندگی، تغییرات است. با این حال، آنها فقط درجه دامنه پراکندگی را مشخص می کنند.
مهمتر توابع متغیرهای تصادفی آنهایی هستند که مرتبط و مستقل هستند و به طور مساوی توزیع می شوند. به عنوان مثال، اگر X1 وزن یک فرد به طور تصادفی از یک جمعیت مرد باشد، X2 وزن فرد دیگری باشد، …، و Xn وزن یک نفر دیگر از جمعیت مرد باشد، باید بدانیم که عملکرد تصادفی چگونه است. X توزیع شده است. در این مورد، قضیه کلاسیک به نام قضیه حد مرکزی اعمال می شود. این به شما امکان می دهد نشان دهید که برای n بزرگ تابع از توزیع های استاندارد پیروی می کند.
توابع یک متغیر تصادفی
قضیه حد مرکزی برای تقریب مقادیر گسسته تحت بررسی مانند دو جمله ای و پواسون است.توابع توزیع متغیرهای تصادفی، اول از همه، بر روی مقادیر ساده یک متغیر در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، اگر X یک متغیر تصادفی پیوسته است که توزیع احتمال خاص خود را دارد. در این مورد، نحوه یافتن تابع چگالی Y را با استفاده از دو رویکرد مختلف، یعنی روش تابع توزیع و تغییر در متغیر، بررسی می‌کنیم. ابتدا فقط مقادیر یک به یک در نظر گرفته می شود. سپس باید تکنیک تغییر متغیر را تغییر دهید تا احتمال آن را بیابید. در نهایت، ما باید بیاموزیم که چگونه تابع توزیع تجمعی معکوس می‌تواند به مدل‌سازی اعداد تصادفی که از الگوهای ترتیبی خاصی پیروی می‌کنند کمک کند.
روش توزیع مقادیر در نظر گرفته شده
روش تابع توزیع احتمال یک متغیر تصادفی برای یافتن چگالی آن قابل استفاده است. هنگام استفاده از این روش، یک مقدار تجمعی محاسبه می شود. سپس با تفکیک آن می توانید چگالی احتمال را بدست آورید. اکنون که روش تابع توزیع را داریم، می‌توانیم به چند مثال دیگر نگاه کنیم. فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی احتمال معین باشد.
تابع چگالی احتمال x2 چیست؟ اگر به تابع (بالا و راست) y \u003d x2 نگاه کنید یا نمودار آن را ترسیم کنید، می توانید توجه داشته باشید که X افزایش یافته و 0 <y<1 است. اکنون باید از روش در نظر گرفته شده برای یافتن Y استفاده کنید. ابتدا تابع توزیع تجمعی پیدا می شود، فقط باید تفکیک کنید تا چگالی احتمال را بدست آورید. با انجام این کار، دریافت می کنیم: 0<y<1.روش توزیع با موفقیت برای یافتن Y زمانی که Y یک تابع افزایشی از X است، اجرا شده است. به هر حال، f(y) در 1 روی y ادغام می شود.
در مثال آخر، دقت زیادی برای نمایه کردن توابع تجمعی و چگالی احتمال با X یا Y به کار گرفته شد تا مشخص شود به کدام متغیر تصادفی تعلق دارند. به عنوان مثال، هنگام پیدا کردن تابع توزیع تجمعی Y، ما X را به دست آوردیم. اگر می خواهید یک متغیر تصادفی X و چگالی آن را پیدا کنید، فقط باید آن را متمایز کنید.
تکنیک تغییر متغیر
بگذارید X یک متغیر تصادفی پیوسته باشد که توسط یک تابع توزیع با مخرج مشترک f (x) داده می شود. در این حالت، اگر مقدار y را در X=v (Y) قرار دهید، مقدار x را به عنوان مثال v (y) دریافت می کنید. اکنون باید تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته Y را بدست آوریم. جایی که تساوی اول و دوم از تعریف Y تجمعی رخ می دهد. تساوی سوم برقرار است زیرا بخشی از تابع که برای آن u (X) ≦ y است. همچنین درست است که X ≦ v (Y). و آخرین مورد برای تعیین احتمال در یک متغیر تصادفی پیوسته X انجام می شود. اکنون باید مشتق FY (y)، تابع توزیع تجمعی Y را بگیریم تا چگالی احتمال Y را بدست آوریم.
تعمیم برای تابع کاهش
بگذارید X یک متغیر تصادفی پیوسته با f مشترک (x) تعریف شده روی c1<x<c2 باشد. و فرض کنید Y=u (X) یک تابع نزولی از X با معکوس X=v (Y) باشد. از آنجایی که تابع پیوسته و نزولی است، یک تابع معکوس X=v (Y) وجود دارد.
برای رفع این مشکل، می توانید داده های کمی را جمع آوری کنید و از تابع توزیع تجمعی تجربی استفاده کنید. با این اطلاعات و جذابیت آن، باید نمونه‌های معنی، انحرافات استاندارد، داده‌های رسانه و غیره را ترکیب کنید.
به طور مشابه، حتی یک مدل احتمالی نسبتاً ساده می تواند نتایج بسیار زیادی داشته باشد. به عنوان مثال، اگر یک سکه را 332 بار ورق بزنید. سپس تعداد نتایج به دست آمده از تلنگرها بیشتر از نتایج گوگل (10100) است - عددی، اما نه کمتر از 100 کوینتیلیون برابر بیشتر از ذرات بنیادی در جهان شناخته شده. علاقه ای به تحلیلی ندارم که به هر نتیجه ممکن پاسخ دهد. یک مفهوم ساده تر مانند تعداد سرها یا طولانی ترین حرکت دم مورد نیاز است. برای تمرکز بر موضوعات مورد علاقه، یک نتیجه خاص پذیرفته می شود. تعریف در این مورد به شرح زیر است: یک متغیر تصادفی یک تابع واقعی با فضای احتمال است.
محدوده S یک متغیر تصادفی گاهی اوقات فضای حالت نامیده می شود. بنابراین، اگر X مقدار مورد نظر است، بنابراین N=X2، exp ↵X، X2 + 1، tan2 X، bXc، و غیره. آخرین مورد از اینها، گرد کردن X به نزدیکترین عدد صحیح، تابع کف نامیده می شود.
توابع توزیع
هنگامی که تابع توزیع مورد علاقه برای متغیر تصادفی x مشخص می شود، معمولاً این سؤال پیش می آید: "چقدر شانس X در زیر مجموعه ای از مقادیر B قرار می گیرد؟" به عنوان مثال، B={اعداد فرد}، B={بیشتر از 1}، یا B={بین 2 و 7} برای نشان دادن نتایجی که دارای X، مقدار هستند.متغیر تصادفی، در زیر مجموعه A. بنابراین، در مثال بالا، می توانید رویدادها را به صورت زیر توصیف کنید.
{X یک عدد فرد است}، {X بزرگتر از 1}={X> 1}، {X بین 2 و 7}={2 6322231X <7} برای مطابقت با سه گزینه بالا برای زیر مجموعه B است. بسیاری از ویژگی های کمیت های تصادفی به X خاصی مربوط نمی شوند. بلکه به نحوه تخصیص مقادیر X بستگی دارند. این منجر به تعریفی می شود که به نظر می رسد: تابع توزیع یک متغیر تصادفی x تجمعی است و با مشاهدات کمی تعیین می شود.
متغیرهای تصادفی و توابع توزیع
بنابراین، می توانید احتمال اینکه تابع توزیع یک متغیر تصادفی x مقادیری را در بازه با تفریق دریافت کند محاسبه کنید. در مورد گنجاندن یا حذف نقاط پایانی فکر کنید.
اگر یک متغیر تصادفی دارای فضای حالت متناهی یا نامتناهی باشد، آن را گسسته می نامیم. بنابراین، X تعداد سرهای روی سه چرخه مستقل از یک سکه مغرضانه است که با احتمال p بالا می رود. ما باید تابع توزیع تجمعی یک متغیر تصادفی گسسته FX را برای X پیدا کنیم. فرض کنید X تعداد پیک ها در مجموعه ای از سه کارت باشد. سپس Y=X3 از طریق FX. FX از 0 شروع می شود، به 1 ختم می شود و با افزایش مقادیر x کاهش نمی یابد. تابع توزیع تجمعی FX یک متغیر تصادفی گسسته X ثابت است، به جز جهش ها. هنگام پرش FX پیوسته است. گزاره در مورد صحیح را ثابت کنیدتداوم تابع توزیع از ویژگی احتمال با استفاده از تعریف امکان پذیر است. به نظر می رسد: یک متغیر تصادفی ثابت دارای یک FX تجمعی است که قابل تمایز است.
برای نشان دادن اینکه چگونه این اتفاق می افتد، می توانیم مثالی بزنیم: هدفی با شعاع واحد. احتمالا دارت به طور مساوی در منطقه مشخص شده توزیع می شود. برای برخی λ> 0. بنابراین، توابع توزیع متغیرهای تصادفی پیوسته به آرامی افزایش می یابد. FX دارای ویژگی های تابع توزیع است.
مردی در ایستگاه اتوبوس منتظر می ماند تا اتوبوس برسد. برای خودش تصمیم گرفته است که وقتی انتظار به 20 دقیقه برسد، امتناع می کند. در اینجا لازم است تابع توزیع تجمعی برای T را پیدا کنیم. زمانی که یک فرد هنوز در ایستگاه اتوبوس خواهد بود یا آن را ترک نخواهد کرد. با وجود این واقعیت که تابع توزیع تجمعی برای هر متغیر تصادفی تعریف شده است. با این حال، مشخصه های دیگر اغلب استفاده می شوند: جرم برای یک متغیر گسسته و تابع چگالی توزیع یک متغیر تصادفی. معمولا مقدار از طریق یکی از این دو مقدار خروجی می شود.
توابع انبوه
این مقادیر با ویژگی های زیر در نظر گرفته می شوند که دارای یک کاراکتر عمومی (انبوه) هستند. اولی مبتنی بر این واقعیت است که احتمالات منفی نیستند. دومی از مشاهدات حاصل می شود که مجموعه برای تمام x=2S، فضای حالت X، پارتیشنی از آزادی احتمالی X را تشکیل می دهد. مثال: پرتاب یک سکه مغرضانه که نتایج آن مستقل هستند. می توانید به این کار ادامه دهیداقدامات خاص تا زمانی که شما یک رول از سر. اجازه دهید X یک متغیر تصادفی را نشان دهد که تعداد دنباله های جلوی سر اول را می دهد. و p نشان دهنده احتمال در هر عمل معین است.
بنابراین، تابع احتمال جرم دارای ویژگی های مشخصه زیر است. از آنجایی که اصطلاحات یک دنباله عددی را تشکیل می دهند، X را یک متغیر تصادفی هندسی می نامند. طرح هندسی c, cr, cr2,.,,, crn دارای مجموع است. و بنابراین، sn حدی به اندازه n 1 دارد. در این مورد، مجموع نامتناهی آن حد است.
تابع جرم بالا یک دنباله هندسی با یک نسبت تشکیل می دهد. بنابراین اعداد طبیعی a و b. تفاوت در مقادیر تابع توزیع برابر با مقدار تابع جرم است.
مقادیر چگالی مورد بررسی دارای یک تعریف هستند: X یک متغیر تصادفی است که توزیع FX آن مشتق دارد. FX راضی کننده Z xFX (x)=fX (t) dt-1 تابع چگالی احتمال نامیده می شود. و X را یک متغیر تصادفی پیوسته می نامند. در قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، تابع چگالی مشتق توزیع است. شما می توانید احتمالات را با محاسبه انتگرال های معین محاسبه کنید.
از آنجایی که داده ها از مشاهدات متعدد جمع آوری می شوند، باید بیش از یک متغیر تصادفی در یک زمان برای مدل سازی روش های آزمایشی در نظر گرفته شود. بنابراین مجموعه این مقادیر و توزیع مشترک آنها برای دو متغیر X1 و X2 به معنای مشاهده رویدادها است. برای متغیرهای تصادفی گسسته، توابع جرم احتمالی مشترک تعریف شده است. برای موارد پیوسته، fX1، X2 در نظر گرفته می شود، که در آنچگالی احتمال مشترک برآورده شده است.
متغیرهای تصادفی مستقل
دو متغیر تصادفی X1 و X2 مستقل هستند اگر هر دو رویداد مرتبط با آنها یکسان باشند. به عبارتی، احتمال وقوع همزمان دو رویداد {X1 2 B1} و {X2 2 B2}، y، برابر است با حاصلضرب متغیرهای بالا، که هر یک از آنها به صورت جداگانه رخ می دهد. برای متغیرهای تصادفی گسسته مستقل، یک تابع جرم احتمالی مشترک وجود دارد که حاصلضرب حجم یون محدود کننده است. برای متغیرهای تصادفی پیوسته که مستقل هستند، تابع چگالی احتمال مشترک حاصل ضرب مقادیر چگالی حاشیه ای است. در نهایت، n مشاهدات مستقل x1، x2، را در نظر می گیریم.,,, xn ناشی از یک تابع چگالی یا جرمی مجهول f. به عنوان مثال، یک پارامتر ناشناخته در توابع برای یک متغیر تصادفی نمایی که زمان انتظار برای یک اتوبوس را توصیف می کند.
تقلید از متغیرهای تصادفی
هدف اصلی این رشته نظری ارائه ابزارهای مورد نیاز برای توسعه روش های استنتاج بر اساس اصول صحیح علم آماری است. بنابراین، یکی از موارد استفاده بسیار مهم برای نرم افزار، توانایی تولید شبه داده برای تقلید از اطلاعات واقعی است. این امر امکان آزمایش و بهبود روش های تجزیه و تحلیل را قبل از استفاده از آنها در پایگاه های داده واقعی فراهم می کند. این به منظور کاوش ویژگی های داده ها از طریق مورد نیاز استمدل سازی برای بسیاری از خانواده‌های متداول متغیرهای تصادفی، R دستوراتی را برای تولید آنها ارائه می‌کند. برای سایر شرایط، روش‌هایی برای مدل‌سازی دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل که دارای توزیع مشترک هستند مورد نیاز است.
متغیرهای تصادفی گسسته و الگوی فرمان. دستور نمونه برای ایجاد نمونه های تصادفی ساده و طبقه بندی شده استفاده می شود. در نتیجه، اگر یک دنباله x ورودی باشد، نمونه (x، 40) 40 رکورد از x را انتخاب می کند به طوری که همه گزینه های اندازه 40 احتمال یکسانی داشته باشند. این از دستور پیش‌فرض R برای واکشی بدون جایگزینی استفاده می‌کند. همچنین می تواند برای مدل سازی متغیرهای تصادفی گسسته استفاده شود. برای این کار باید یک فضای حالت در بردار x و تابع جرم f ارائه کنید. فراخوانی برای جایگزینی=TRUE نشان می دهد که نمونه برداری با جایگزینی اتفاق می افتد. سپس، برای ارائه نمونه ای از n متغیر تصادفی مستقل که تابع جرم مشترک f دارند، از نمونه (x, n، جایگزین=TRUE، prob=f) استفاده می شود.
مشخص شد که 1 کوچکترین مقدار نشان داده شده و 4 بزرگترین مقدار است. اگر دستور prob=f حذف شود، نمونه به طور یکنواخت از مقادیر بردار x نمونه برداری می کند. می‌توانید شبیه‌سازی را با تابع جرمی که داده‌ها را تولید می‌کند، با مشاهده علامت دو برابری==بررسی کنید. و محاسبه مجدد مشاهداتی که هر مقدار ممکن را برای x می گیرند. می توانید یک میز درست کنید. این کار را برای 1000 تکرار کنید و شبیه سازی را با تابع جرم مربوطه مقایسه کنید.
تصویر تبدیل احتمال
اولشبیه سازی توابع توزیع همگن متغیرهای تصادفی u1, u2,.,, un در بازه [0, 1]. حدود 10٪ از اعداد باید در [0، 3، 0، 4] باشد. این مربوط به 10٪ از شبیه سازی ها در بازه [0، 28، 0، 38] برای یک متغیر تصادفی با تابع توزیع FX نشان داده شده است. به طور مشابه، حدود 10٪ از اعداد تصادفی باید در بازه [0، 7، 0، 8] قرار گیرند. این مربوط به 10٪ شبیه سازی در بازه [0، 96، 1، 51] متغیر تصادفی با تابع توزیع FX است. این مقادیر در محور x را می توان با گرفتن معکوس از FX به دست آورد. اگر X یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی fX مثبت در همه جای دامنه آن باشد، تابع توزیع به شدت در حال افزایش است. در این مورد، FX دارای یک تابع معکوس FX-1 است که به تابع quantile معروف است. FX (x) u فقط زمانی که x FX-1 (u). تبدیل احتمال از تجزیه و تحلیل متغیر تصادفی U=FX (X) ناشی می شود.
FX دارای محدوده ای از 0 تا 1 است. نمی تواند زیر 0 یا بالاتر از 1 باشد. برای مقادیر u بین 0 و 1. اگر U را بتوان شبیه سازی کرد، یک متغیر تصادفی با توزیع FX باید شبیه سازی شده از طریق تابع کمیت از مشتق استفاده کنید تا ببینید که چگالی u در 1 تغییر می کند. از آنجایی که متغیر تصادفی U دارای چگالی ثابتی در بازه مقادیر ممکن خود است، در بازه [0، 1] یکنواخت نامیده می شود. در R با دستور runif مدل شده است. هویت را تبدیل احتمالی می نامند. در مثال تخته دارت می توانید ببینید که چگونه کار می کند. X بین 0 و 1، تابعتوزیع u=FX (x)=x2، و از این رو تابع کمیت x=FX-1 (u). می توان مشاهدات مستقل از فاصله از مرکز پانل دارت را مدل کرد و بنابراین متغیرهای تصادفی یکنواخت U1، U2، را ایجاد کرد.,, Un. تابع توزیع و تابع تجربی بر اساس 100 شبیه سازی از توزیع یک تخته دارت است. برای یک متغیر تصادفی نمایی، احتمالاً u=FX (x)=1 - exp (- x)، و از این رو x=- 1 ln (1 - u). گاهی منطق از گزاره های معادل تشکیل شده است. در این صورت، باید دو بخش استدلال را به هم متصل کنید. هویت تقاطع برای همه 2 {S i i} S به جای مقداری مشابه است. اتحادیه Ci برابر با فضای حالت S است و هر جفت متقابلاً منحصر به فرد است. از آنجایی که Bi - به سه بدیهیات تقسیم می شود. هر بررسی بر اساس احتمال مربوطه P است. برای هر زیر مجموعه. استفاده از یک هویت برای اطمینان از اینکه پاسخ بستگی به این ندارد که آیا نقاط پایانی بازه درج شده است.
تابع نمایی و متغیرهای آن
برای هر نتیجه در همه رویدادها، در نهایت از خاصیت دوم تداوم احتمالات استفاده می شود که بدیهی در نظر گرفته می شود. قانون توزیع تابع یک متغیر تصادفی در اینجا نشان می دهد که هر کدام راه حل و پاسخ خاص خود را دارند.
