یک مفهوم مهم در ریاضیات یک تابع است. با کمک آن، می توانید بسیاری از فرآیندهای رخ داده در طبیعت را تجسم کنید، رابطه بین مقادیر خاص را با استفاده از فرمول ها، جداول و تصاویر در یک نمودار منعکس کنید. به عنوان مثال، وابستگی فشار یک لایه مایع بر روی یک جسم به عمق غوطه وری، شتاب - به عمل نیروی معینی بر یک جسم، افزایش دما - به انرژی منتقل شده و بسیاری از فرآیندهای دیگر است. مطالعه یک تابع شامل ساخت یک نمودار، روشن شدن خواص آن، دامنه و مقادیر، فواصل افزایش و کاهش است. نکته مهم در این فرآیند یافتن نقاط افراطی است. درباره نحوه انجام درست آن، و گفتگو ادامه خواهد داشت.
درباره خود مفهوم در یک مثال خاص
در پزشکی، رسم نمودار تابع می تواند در مورد پیشرفت بیماری در بدن بیمار بگوید و وضعیت او را به صورت بصری منعکس کند. بیایید فرض کنیم که زمان بر حسب روز در امتداد محور OX و دمای بدن انسان در امتداد محور OY رسم شده است. شکل به وضوح نشان می دهد که چگونه این شاخص به شدت افزایش می یابد، وسپس می افتد. همچنین به راحتی می توان به نقاط تکی توجه کرد که منعکس کننده لحظاتی هستند که عملکرد، که قبلاً افزایش یافته است، شروع به کاهش می کند و بالعکس. اینها نقاط افراطی هستند، یعنی مقادیر بحرانی (حداکثر و حداقل) در این مورد دمای بیمار، پس از آن تغییراتی در وضعیت او رخ می دهد.
زاویه شیب
به راحتی می توان از شکل تعیین کرد که مشتق یک تابع چگونه تغییر می کند. اگر خطوط مستقیم نمودار به مرور زمان بالا برود، مثبت است. و هرچه شیب بیشتری داشته باشند، با افزایش زاویه تمایل، ارزش مشتق بیشتر می شود. در طول دوره‌های کاهش، این مقدار مقادیر منفی می‌گیرد و در نقاط انتهایی به صفر تبدیل می‌شود، و نمودار مشتق در حالت دوم به موازات محور OX رسم می‌شود.
هر فرآیند دیگری نیز باید به همین ترتیب درمان شود. اما بهترین چیز در مورد این مفهوم می تواند حرکت اجسام مختلف را که به وضوح در نمودارها نشان داده شده است، نشان دهد.
جنبش
فرض کنید جسمی در یک خط مستقیم حرکت می کند و به طور مساوی سرعت می گیرد. در طی این دوره، تغییر مختصات جسم از نظر گرافیکی منحنی خاصی را نشان می دهد که یک ریاضیدان آن را شاخه ای از سهمی می نامد. در عین حال، عملکرد به طور مداوم در حال افزایش است، زیرا شاخص های مختصات با هر ثانیه سریعتر و سریعتر تغییر می کنند. نمودار سرعت رفتار مشتق را نشان می دهد که مقدار آن نیز افزایش می یابد. این به این معنی است که حرکت هیچ نقطه بحرانی ندارد.
تا بی نهایت ادامه می یافت. اما اگر بدن به طور ناگهانی تصمیم به کاهش سرعت گرفت، توقف کنید و در دیگری شروع به حرکت کنیدجهت؟ در این حالت، شاخص های مختصات شروع به کاهش خواهند کرد. و تابع مقدار بحرانی را پاس می کند و از افزایش به کاهش تبدیل می شود.
در این مثال، دوباره می توانید درک کنید که نقاط انتهایی نمودار تابع در لحظاتی ظاهر می شود که یکنواخت نیست.
معنای فیزیکی مشتق
توصیف قبلی به وضوح نشان داد که مشتق اساساً نرخ تغییر تابع است. این پالایش حاوی معنای فیزیکی آن است. نقاط افراطی مناطق بحرانی در نمودار هستند. با محاسبه مقدار مشتق که برابر با صفر می شود می توان آنها را فهمید و تشخیص داد.
علامت دیگری هم وجود دارد که شرط کافی برای افراط است. مشتق در چنین مکان‌هایی از عطف علامت خود را تغییر می‌دهد: از "+" به "-" در ناحیه حداکثر و از "-" به "+" در منطقه حداقل.
حرکت تحت تأثیر جاذبه
بیایید موقعیت دیگری را تصور کنیم. بچه ها در حال بازی توپ، آن را به گونه ای پرتاب کردند که با زاویه ای نسبت به افق شروع به حرکت کرد. در لحظه اولیه، سرعت این جسم بزرگترین بود، اما تحت تأثیر گرانش شروع به کاهش کرد و با هر ثانیه به همان مقدار، تقریباً برابر با 9.8 متر بر ثانیه بود2. این مقدار شتابی است که تحت تأثیر گرانش زمین در هنگام سقوط آزاد رخ می دهد. در ماه، تقریباً شش برابر کوچکتر خواهد بود.
نموداری که حرکت بدن را توصیف می کند یک سهمی با شاخه است،رو به پایین چگونه نقاط افراطی را پیدا کنیم؟ در این حالت، این راس تابع است که در آن سرعت بدن (توپ) مقدار صفر می گیرد. مشتق تابع صفر می شود. در این حالت، جهت و در نتیجه مقدار سرعت به عکس تغییر می کند. بدن هر ثانیه سریعتر و سریعتر به سمت پایین پرواز می‌کند و به همان میزان شتاب می‌گیرد - 9.8 m/s2.
مشتق دوم
در حالت قبل، نمودار مدول سرعت به صورت یک خط مستقیم رسم می شود. این خط ابتدا به سمت پایین هدایت می شود، زیرا ارزش این کمیت دائما در حال کاهش است. پس از رسیدن به صفر در یکی از نقاط زمان، شاخص های این مقدار شروع به افزایش می کنند و جهت نمایش گرافیکی ماژول سرعت به طور چشمگیری تغییر می کند. خط اکنون به سمت بالا است.
سرعت، که مشتق زمانی مختصات است، یک نقطه بحرانی نیز دارد. در این منطقه، تابع، در ابتدا کاهش می یابد، شروع به افزایش می کند. این محل نقطه انتهایی مشتق تابع است. در این حالت شیب مماس صفر می شود. و شتاب که دومین مشتق مختصات نسبت به زمان است، علامت "-" را به "+" تغییر می دهد. و حرکت از کندی یکنواخت به طور یکنواخت شتاب می گیرد.
نمودار شتاب
حالا چهار تصویر را در نظر بگیرید. هر یک از آنها نموداری از تغییر در طول زمان کمیت فیزیکی مانند شتاب را نشان می دهد. در مورد "A" مقدار آن مثبت و ثابت می ماند. این بدان معنی است که سرعت بدن مانند مختصات آن دائماً در حال افزایش است. اگر یکتصور کنید که جسم برای مدت بی نهایت طولانی به این ترتیب حرکت می کند، تابعی که وابستگی مختصات به زمان را منعکس می کند به طور مداوم در حال افزایش است. از این نتیجه می شود که هیچ منطقه بحرانی ندارد. همچنین در نمودار مشتق، هیچ نقطه اضطراری وجود ندارد، یعنی سرعت در حال تغییر خطی است.
همین مورد در مورد "B" با شتاب مثبت و دائماً در حال افزایش صدق می کند. درست است، نمودار مختصات و سرعت در اینجا تا حدودی پیچیده‌تر خواهد بود.
وقتی شتاب به صفر میل می کند
با مشاهده تصویر "B"، می توانید تصویر کاملاً متفاوتی را مشاهده کنید که مشخصه حرکت بدن است. سرعت آن به صورت گرافیکی به صورت سهمی با شاخه های رو به پایین نشان داده می شود. اگر خط توصیف کننده تغییر شتاب را تا زمانی که با محور OX تلاقی کند ادامه دهیم، می‌توان تصور کرد که تا این مقدار بحرانی، جایی که شتاب برابر با صفر است، سرعت جسم افزایش می‌یابد. بیشتر و آهسته تر نقطه منتهی مشتق تابع مختصات درست در بالای سهمی خواهد بود، پس از آن بدن به طور اساسی ماهیت حرکت را تغییر می دهد و شروع به حرکت در جهت دیگر می کند.
در مورد دوم، "G"، ماهیت حرکت را نمی توان دقیقاً تعیین کرد. در اینجا فقط می دانیم که برای مدتی در حال بررسی هیچ شتابی وجود ندارد. این بدان معنی است که جسم می تواند در جای خود باقی بماند یا حرکت با سرعت ثابتی اتفاق می افتد.
کار جمع مختصات
بیایید به کارهایی برویم که اغلب در مطالعه جبر در مدرسه یافت می شوند و برای ارائه می شوند.آمادگی برای امتحان شکل زیر نمودار تابع را نشان می دهد. برای محاسبه مجموع امتیازهای اکسترموم لازم است.
اجازه دهید این کار را برای محور y با تعیین مختصات مناطق بحرانی که در آن تغییر در ویژگی های تابع مشاهده می شود انجام دهیم. به عبارت ساده، مقادیر را در امتداد محور x برای نقاط عطف پیدا می کنیم و سپس به اضافه کردن عبارت های حاصل ادامه می دهیم. با توجه به نمودار، مشخص است که آنها مقادیر زیر را می گیرند: -8; -7; -5 -3 -2; یک 3. این به 21- می رسد که پاسخ است.
راه حل بهینه
لازم به توضیح نیست که انتخاب راه حل بهینه چقدر می تواند در انجام وظایف عملی مهم باشد. از این گذشته ، راه های زیادی برای رسیدن به هدف وجود دارد و بهترین راه خروج ، به عنوان یک قاعده ، فقط یک است. این بسیار ضروری است، برای مثال، هنگام طراحی کشتی‌ها، فضاپیماها و هواپیماها، سازه‌های معماری برای یافتن شکل بهینه این اشیاء ساخته دست بشر.
سرعت وسایل نقلیه تا حد زیادی به حداقل کردن توان مقاومتی که هنگام حرکت در آب و هوا تجربه می کنند، از بار اضافی ناشی از نیروهای گرانشی و بسیاری از شاخص های دیگر بستگی دارد. یک کشتی در دریا به ویژگی هایی مانند ثبات در هنگام طوفان نیاز دارد؛ برای یک کشتی رودخانه ای، حداقل پیش نویس مهم است. هنگام محاسبه طرح بهینه، نقاط انتهایی نمودار می توانند به صورت بصری ایده ای از بهترین راه حل برای یک مشکل پیچیده ارائه دهند. کارهایی از این دست اغلب هستنددر اقتصاد، در حوزه های اقتصادی و در بسیاری از موقعیت های زندگی دیگر حل می شوند.
از تاریخ باستان
مشکلات شدید حتی حکیمان باستان را به خود مشغول کرده بود. دانشمندان یونانی با موفقیت از طریق محاسبات ریاضی راز نواحی و حجم ها را کشف کردند. آنها اولین کسانی بودند که فهمیدند در صفحه ای از اشکال مختلف با محیط یکسان، دایره همیشه بیشترین مساحت را دارد. به طور مشابه، یک توپ دارای حداکثر حجم در بین سایر اجرام در فضا با مساحت یکسان است. شخصیت های مشهوری مانند ارشمیدس، اقلیدس، ارسطو، آپولونیوس خود را وقف حل چنین مشکلاتی کردند. هرون در یافتن نقاط افراطی بسیار موفق بود، که با متوسل شدن به محاسبات، دستگاه های مبتکرانه ای ساخت. اینها شامل ماشین‌های خودکاری بود که با استفاده از بخار، پمپ‌ها و توربین‌هایی که بر اساس یک اصل کار می‌کردند حرکت می‌کردند.
ساخت کارتاژ
افسانه ای وجود دارد که طرح آن بر اساس حل یکی از مشکلات شدید است. نتیجه رویکرد تجاری نشان داده شده توسط شاهزاده خانم فنیقی که برای کمک به حکیمان متوسل شد، ساخت کارتاژ بود. زمین این شهر باستانی و معروف توسط رهبر یکی از قبایل آفریقایی به دیدو (این نام حاکم بود) اهدا شد. مساحت بخش در ابتدا برای او خیلی بزرگ به نظر نمی رسید ، زیرا طبق قرارداد باید با اکسید پوشانده می شد. اما شاهزاده خانم به سربازان خود دستور داد که آن را به نوارهای باریک برش دهند و از آنها کمربند بسازند. معلوم شد آنقدر طولانی بود که سایت را پوشش داد،جایی که کل شهر در آن جا می شود.
منشأ حساب دیفرانسیل و انتگرال
و حالا بیایید از دوران باستان به دوران بعدی برویم. جالب اینجاست که در قرن هفدهم، کپلر با ملاقات با یک فروشنده شراب، به درک مبانی آنالیز ریاضی برانگیخته شد. تاجر به قدری در حرفه خود مسلط بود که به راحتی می توانست حجم نوشیدنی در بشکه را با پایین آوردن یک تورنیکت آهنی در آن تعیین کند. با تأمل در چنین کنجکاوی، دانشمند مشهور موفق شد این معضل را برای خود حل کند. معلوم می شود که کوپرهای ماهر آن زمان به ساختن ظروف دست می یافتند به گونه ای که در ارتفاع و شعاع معینی از محیط حلقه های بست، حداکثر ظرفیت را داشته باشند.
این به دلیل کپلر برای تأمل بیشتر بود. Bochars با جستجوی طولانی، اشتباهات و تلاش های جدید به راه حل بهینه رسید و تجربه خود را از نسلی به نسل دیگر منتقل کرد. اما کپلر می خواست این روند را تسریع کند و یاد بگیرد که چگونه این کار را در مدت کوتاهی از طریق محاسبات ریاضی انجام دهد. تمام پیشرفت‌های او، که توسط همکاران برداشت شد، به قضایای شناخته‌شده فرما و نیوتن - لایب‌نیتس تبدیل شد.
مشکل حداکثر مساحت
بیایید تصور کنیم که سیمی به طول 50 سانتی متر داریم چگونه از آن یک مستطیل با بیشترین مساحت بسازیم؟
برای شروع یک تصمیم، باید از حقایق ساده و شناخته شده پیش رفت. واضح است که محیط شکل ما 50 سانتی متر خواهد بود همچنین از دو برابر طول هر دو طرف تشکیل شده است. این بدان معنی است که با تعیین یکی از آنها به عنوان "X"، دیگری را می توان به عنوان (25 - X) بیان کرد.
از اینجا دریافت می کنیممساحتی برابر با X (25 - X). این عبارت را می توان به عنوان تابعی که مقادیر زیادی به خود می گیرد نشان داد. حل مشکل نیاز به یافتن حداکثر آنها دارد، به این معنی که شما باید نقاط افراطی را پیدا کنید.
برای این کار، اولین مشتق را پیدا کرده و آن را با صفر برابر می کنیم. نتیجه یک معادله ساده است: 25 - 2X=0.
از آن می آموزیم که یکی از اضلاع X=12، 5.
بنابراین، دیگری: 25 - 12، 5=12، 5.
معلوم شد که راه حل مشکل مربعی با ضلع 12.5 سانتی متر خواهد بود.
چگونه حداکثر سرعت را پیدا کنیم
بیایید یک مثال دیگر را در نظر بگیریم. تصور کنید جسمی وجود دارد که حرکت مستقیم آن با معادله S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 توصیف می شود، وجود دارد که در آن فاصله پیموده شده بر حسب متر بیان می شود و زمان بر حسب ثانیه است. برای یافتن حداکثر سرعت لازم است. چگونه انجامش بدهیم؟ دانلود شده پیدا کردن سرعت، یعنی اولین مشتق.
معادله را به دست می آوریم: V=- 3t2 + 18t – 24. حال برای حل مسئله، دوباره باید نقاط اکسترموم را پیدا کنیم. این کار باید مانند کار قبلی انجام شود. اولین مشتق سرعت را پیدا کنید و آن را با صفر برابر کنید.
دریافت می کنیم: - 6t + 18=0. بنابراین t=3 ثانیه. این زمانی است که سرعت بدن یک مقدار بحرانی به خود می گیرد. داده های به دست آمده را جایگزین معادله سرعت می کنیم و به دست می آوریم: V=3 m/s.
اما چگونه می توان فهمید که این دقیقاً حداکثر سرعت است، زیرا نقاط بحرانی یک تابع می تواند مقادیر حداکثر یا حداقل آن باشد؟ برای بررسی، باید یک دوم پیدا کنیدمشتق سرعت به صورت عدد 6 با علامت منفی بیان می شود. این بدان معناست که نقطه یافت شده حداکثر است. و در مورد مقدار مثبت مشتق دوم، حداقل وجود خواهد داشت. بنابراین، راه‌حل پیدا شده درست بود.
کارهایی که به عنوان مثال آورده شده اند تنها بخشی از کارهایی هستند که با یافتن نقاط انتهایی یک تابع قابل حل هستند. در واقع، تعداد بیشتری وجود دارد. و چنین دانشی امکانات نامحدودی را برای تمدن بشری می‌گشاید.
