مثلث ساده ترین شکل بسته شده در صفحه است که فقط از سه بخش به هم پیوسته تشکیل شده است. در مسائل هندسه، اغلب لازم است مساحت این شکل را تعیین کرد. برای این کار چه چیزی باید بدانید؟ در مقاله به این سوال پاسخ خواهیم داد که چگونه مساحت یک مثلث را در سه ضلع پیدا کنیم.
فرمول کلی
هر دانش آموزی می داند که مساحت یک مثلث به عنوان حاصل ضرب طول هر یک از ضلع های آن - a در نصف ارتفاع - h، به ضلع انتخابی کاهش می یابد. در زیر فرمول مربوطه آمده است: S=ah/2.
این عبارت را می توان در صورتی به کار برد که حداقل دو ضلع و مقدار زاویه بین آنها مشخص باشد. در این حالت، ارتفاع h با استفاده از توابع مثلثاتی، مانند سینوس، آسان است. اما همه نمی دانند چگونه ناحیه سه ضلع مثلث را پیدا کنند.
فرمول هرون
این فرمول پاسخ به این سوال است که چگونهسه ضلع مساحت مثلث را پیدا می کنند. قبل از نوشتن، اجازه دهید طول قطعات یک شکل دلخواه را به صورت a، b و c نشان دهیم. فرمول هرون به صورت زیر نوشته شده است: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
جایی که p نیمی از محیط شکل است، یعنی: p=(a+b+c)/2.
علی رغم دست و پا گیر بودن ظاهری، عبارت فوق برای ناحیه S به راحتی قابل یادآوری است. برای انجام این کار، ابتدا باید نیم محیط مثلث را محاسبه کنید، سپس یک طول ضلع شکل را از آن کم کنید، تمام تفاوت های به دست آمده و خود نیم محیط را ضرب کنید. در نهایت، جذر محصول را بگیرید.
این فرمول از نام هرون اسکندریه که در آغاز عصر ما می زیسته نامگذاری شده است. تاریخ مدرن معتقد است که این فیلسوف بود که اولین بار این عبارت را برای انجام محاسبات مربوطه به کار برد. این فرمول در Metrica او منتشر شده است که به سال 60 پس از میلاد باز می گردد. توجه داشته باشید که برخی از آثار ارشمیدس، که دو قرن زودتر از هرون می‌زیسته، نشانه‌هایی دارند که فیلسوف یونانی از قبل این فرمول را می‌دانست. علاوه بر این، چینی های باستان همچنین می دانستند که چگونه مساحت یک مثلث را با دانستن سه ضلع پیدا کنند.
لازم به ذکر است که مشکل را می توان بدون اطلاع از وجود فرمول هرون حل کرد. برای این کار، چند ارتفاع در مثلث رسم کنید و از فرمول کلی پاراگراف قبل استفاده کنید و سیستم معادلات مناسب را تهیه کنید.
بیان هرون می تواند برای محاسبه مساحت چند ضلعی های دلخواه، پس از تقسیم آنها به آنها استفاده شود.مثلث ها و محاسبه طول قطرهای به دست آمده.
نمونه ای از حل مسئله
با دانستن چگونگی یافتن مساحت مثلث در سه ضلع، بیایید دانش خود را با حل مسئله زیر تثبیت کنیم. بگذارید اضلاع شکل 5 سانتی متر، 4 سانتی متر و 3 سانتی متر باشد. مساحت را پیدا کنید.
سه ضلع مثلث مشخص است، بنابراین می توانید از فرمول هرون استفاده کنید. نیم محیط و تفاوت های لازم را محاسبه می کنیم، داریم:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 سانتی متر.
سپس مساحت را بدست می آوریم: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
مثلث داده شده در شرط مسئله قائم الزاویه است، که به راحتی می توان بررسی کرد که آیا از قضیه فیثاغورث استفاده می کنید. از آنجایی که مساحت چنین مثلثی نصف حاصلضرب پاها است، دریافت می کنیم: S=43/2=6 سانتی متر2.
مقدار حاصله مانند فرمول هرون است که صحت فرمول دومی را تأیید می کند.
