نظریه احتمال شاخه خاصی از ریاضیات است که فقط توسط دانشجویان مؤسسات آموزش عالی مطالعه می شود. آیا محاسبات و فرمول ها را دوست دارید؟ آیا از دورنمای آشنایی با توزیع نرمال، آنتروپی مجموعه، انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی گسسته نمی ترسید؟ سپس این موضوع برای شما بسیار جالب خواهد بود. بیایید با برخی از مهمترین مفاهیم پایه این بخش از علم آشنا شویم.
اصول را به یاد بیاورید
حتی اگر ساده ترین مفاهیم نظریه احتمال را به خاطر دارید، از پاراگراف های اول مقاله غافل نشوید. واقعیت این است که بدون درک دقیق اصول اولیه، نمی توانید با فرمول های مورد بحث در زیر کار کنید.
بنابراین، یک رویداد تصادفی، یک آزمایش وجود دارد. در نتیجه اقدامات انجام شده، می توانیم چندین نتیجه را به دست آوریم - برخی از آنها رایج تر هستند، برخی دیگر کمتر رایج هستند. احتمال یک رویداد، نسبت تعداد پیامدهای واقعی دریافت شده از یک نوع به تعداد کل نتایج ممکن است. تنها با دانستن تعریف کلاسیک این مفهوم، می توانید شروع به مطالعه انتظارات ریاضی و واریانس پیوسته کنید.متغیرهای تصادفی.
میانگین حسابی
حتی در مدرسه، در درس ریاضیات، کار را با میانگین حسابی شروع کردید. این مفهوم به طور گسترده در نظریه احتمال استفاده می شود و بنابراین نمی توان آن را نادیده گرفت. نکته اصلی برای ما در حال حاضر این است که در فرمول های انتظار ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی با آن مواجه خواهیم شد.
ما دنباله ای از اعداد داریم و می خواهیم میانگین حسابی را پیدا کنیم. تنها چیزی که از ما خواسته می شود این است که همه چیزهای موجود را جمع کنیم و بر تعداد عناصر در دنباله تقسیم کنیم. بگذارید اعداد از 1 تا 9 را داشته باشیم. مجموع عناصر 45 خواهد بود و این مقدار را بر 9 تقسیم می کنیم. پاسخ: - 5.
پراکندگی
از نظر علمی، واریانس میانگین مجذور انحراف مقادیر ویژگی به دست آمده از میانگین حسابی است. یکی با حرف بزرگ لاتین D نشان داده می شود. برای محاسبه آن چه چیزی لازم است؟ برای هر عنصر دنباله، تفاوت بین عدد موجود و میانگین حسابی را محاسبه کرده و آن را مجذور می کنیم. برای رویدادی که در نظر می گیریم دقیقاً به همان اندازه ارزش وجود خواهد داشت. بعد، همه چیزهای دریافتی را خلاصه می کنیم و بر تعداد عناصر در دنباله تقسیم می کنیم. اگر پنج نتیجه ممکن داریم، بر پنج تقسیم کنیم.
Dispersion همچنین دارای خواصی است که برای استفاده از آن هنگام حل مسائل باید به خاطر بسپارید. برای مثال، اگر متغیر تصادفی X برابر شود، واریانس X برابر مربع (یعنی XX) افزایش می‌یابد. هرگز کمتر از صفر نیست و به آن بستگی نداردتغییر مقادیر با مقدار مساوی به بالا یا پایین. همچنین، برای آزمایش‌های مستقل، واریانس مجموع برابر با مجموع واریانس‌ها است.
حالا ما قطعاً باید نمونه هایی از واریانس یک متغیر تصادفی گسسته و انتظار ریاضی را در نظر بگیریم.
فرض کنید ما ۲۱ آزمایش انجام دادیم و ۷ نتیجه متفاوت گرفتیم. هر کدام را به ترتیب 1، 2، 2، 3، 4، 4 و 5 بار مشاهده کردیم. واریانس چقدر خواهد بود؟
ابتداً، بیایید میانگین حسابی را محاسبه کنیم: مجموع عناصر، البته، 21 است. آن را بر 7 تقسیم کنید و عدد 3 را به دست آورید. حالا از هر عدد در دنباله اصلی 3 کم کنید، هر مقدار را مربع کنید و اضافه کنید. نتایج با هم معلوم می شود 12. اکنون باقی مانده است که عدد را بر تعداد عناصر تقسیم کنیم، و به نظر می رسد، این تمام است. اما یک گرفتاری وجود دارد! بیایید در مورد آن بحث کنیم.
وابستگی به تعداد آزمایش
معلوم می شود که هنگام محاسبه واریانس، مخرج می تواند یکی از دو عدد باشد: N یا N-1. در اینجا N تعداد آزمایش های انجام شده یا تعداد عناصر در دنباله (که در واقع یکسان است) است. به چه چیزی بستگی دارد؟
اگر تعداد تست ها به صدها اندازه گیری شود، باید N را در مخرج قرار دهیم، اگر به واحد است، N-1. دانشمندان تصمیم گرفتند مرز را کاملاً نمادین ترسیم کنند: امروز در امتداد عدد 30 قرار دارد. اگر کمتر از 30 آزمایش انجام دهیم، مقدار را بر N-1 و اگر بیشتر باشد، بر N تقسیم می کنیم.
وظیفه
بیایید به مثال خود در مورد حل مشکل واریانس و انتظار برگردیم. مایک عدد میانی 12 دریافت کرد که باید بر N یا N-1 تقسیم می شد. از آنجایی که ما 21 آزمایش انجام دادیم که کمتر از 30 آزمایش است، گزینه دوم را انتخاب می کنیم. بنابراین پاسخ این است: واریانس 12 / 2=2 است.
انتظار
بریم سراغ مفهوم دوم که در این مقاله باید به آن توجه کنیم. انتظارات ریاضی نتیجه جمع کردن تمام نتایج ممکن ضرب در احتمالات مربوطه است. درک این نکته مهم است که مقدار به دست آمده و همچنین نتیجه محاسبه واریانس تنها یک بار برای کل کار به دست می آید، مهم نیست که چند نتیجه را در نظر می گیرد.
فرمول انتظار بسیار ساده است: ما یک نتیجه را می گیریم، آن را در احتمال آن ضرب می کنیم، همان را برای نتیجه دوم، سوم و غیره اضافه می کنیم. همه چیز مربوط به این مفهوم به راحتی قابل محاسبه است. به عنوان مثال، مجموع انتظارات ریاضی برابر است با انتظارات ریاضی از مجموع. در مورد کار هم همینطور است. هر کمیتی در تئوری احتمال اجازه انجام چنین عملیات ساده ای را نمی دهد. بیایید یک تکلیف بگیریم و ارزش دو مفهومی را که همزمان مطالعه کرده ایم محاسبه کنیم. علاوه بر این، تئوری حواسمان را پرت کرد - وقت آن است که تمرین کنیم.
یک مثال دیگر
ما 50 کارآزمایی انجام دادیم و 10 نوع نتیجه گرفتیم - اعداد از 0 تا 9 - که در درصدهای مختلف ظاهر شدند. اینها به ترتیب عبارتند از: 2٪، 10٪، 4٪، 14٪، 2٪، 18٪، 6٪، 16٪، 10٪، 18٪. به یاد بیاورید که برای بدست آوردن احتمالات، باید مقادیر درصد را بر 100 تقسیم کنید. بنابراین، 0.02 به دست می آید. 0، 1، و غیره اجازه دهید برای واریانس یک تصادفی نمایش دهیممثال ارزش و انتظار ریاضی برای حل مسئله.
محاسبه میانگین حسابی با استفاده از فرمولی که از دوران دبستان به خاطر داریم: 50/10=5.
حالا بیایید احتمالات را به تعداد پیامدها "تقطی" ترجمه کنیم تا شمارش آسانتر شود. به 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9 می رسیم. از هر مقدار به دست آمده، میانگین حسابی را کم می کنیم و پس از آن هر یک از نتایج به دست آمده را مربع می کنیم. نحوه انجام این کار را با استفاده از عنصر اول به عنوان مثال ببینید: 1 - 5=(-4). علاوه بر این: (-4)(-4)=16. برای مقادیر دیگر، این عملیات را خودتان انجام دهید. اگر همه چیز را درست انجام دادید، پس از اضافه کردن همه نتایج متوسط، 90 دریافت خواهید کرد.
به محاسبه واریانس و میانگین با تقسیم 90 بر N ادامه دهید. چرا N را انتخاب می کنیم و N-1 را انتخاب نمی کنیم؟ درست است، زیرا تعداد آزمایش های انجام شده بیش از 30 است. بنابراین: 90/10=9. ما پراکندگی را دریافت کردیم. اگر شماره دیگری دریافت کردید، ناامید نشوید. به احتمال زیاد، شما یک اشتباه پیش پا افتاده در محاسبات انجام داده اید. آنچه را که نوشته‌اید دوباره بررسی کنید، مطمئناً همه چیز سر جای خود قرار می‌گیرد.
در آخر، بیایید فرمول انتظار را به خاطر بسپاریم. ما همه محاسبات را نمی دهیم، فقط پاسخی را می نویسیم که می توانید پس از انجام تمام مراحل مورد نیاز بررسی کنید. انتظار برابر با 5، 48 خواهد بود. ما فقط نحوه انجام عملیات را با استفاده از مثال عناصر اول به یاد می آوریم: 00، 02 + 10، 1… و غیره. همانطور که می بینید، ما به سادگی مقدار نتیجه را در احتمال آن ضرب می کنیم.
انحراف
مفهوم دیگری که ارتباط نزدیکی با واریانس و مقدار مورد انتظار داردانحراف معیار. یا با حروف لاتین sd یا با حروف کوچک یونانی "sigma" نشان داده می شود. این مفهوم نشان می دهد که چگونه به طور متوسط مقادیر از ویژگی مرکزی منحرف می شوند. برای پیدا کردن مقدار آن، باید جذر واریانس را محاسبه کنید.
اگر نموداری از یک توزیع نرمال می سازید و می خواهید مقدار انحراف استاندارد را مستقیماً روی آن ببینید، این کار را می توان در چند مرحله انجام داد. نیمی از تصویر را به سمت چپ یا راست حالت (مقدار مرکزی) بگیرید، یک عمود بر محور افقی بکشید تا مساحت شکل های حاصل برابر باشد. مقدار بخش بین وسط توزیع و برآمدگی حاصل بر روی محور افقی، انحراف معیار خواهد بود.
نرم افزار
همانطور که از توضیحات فرمول ها و مثال های ارائه شده می بینید، محاسبه واریانس و انتظارات ریاضی ساده ترین روش از نظر حسابی نیست. برای اینکه زمان را هدر ندهید، استفاده از برنامه مورد استفاده در آموزش عالی منطقی است - آن را "R" می نامند. دارای توابعی است که به شما امکان می دهد مقادیر بسیاری از مفاهیم را از آمار و تئوری احتمال محاسبه کنید.
برای مثال، شما یک بردار از مقادیر را تعریف می کنید. این کار به صورت زیر انجام می شود: بردار <-c(1, 5, 2…). حالا وقتی باید مقداری برای این بردار محاسبه کنید، یک تابع می نویسید و به عنوان آرگومان می دهید. برای یافتن واریانس، باید از var استفاده کنید. نمونه ای از اواستفاده: var (بردار). سپس فقط "ورود" را فشار دهید و نتیجه را دریافت کنید.
در نتیجه
واریانس و انتظارات ریاضی مفاهیم اساسی نظریه احتمال هستند که بدون آنها محاسبه چیزی در آینده دشوار است. در دوره اصلی سخنرانی در دانشگاه ها، آنها در ماه های اول مطالعه موضوع مورد توجه قرار می گیرند. دقیقاً به دلیل عدم درک این مفاهیم ساده و ناتوانی در محاسبه آنها است که بسیاری از دانش آموزان بلافاصله شروع به عقب افتادن از برنامه می کنند و بعداً در پایان جلسه نمرات ضعیفی دریافت می کنند که آنها را از بورس تحصیلی محروم می کند.
حداقل یک هفته به مدت نیم ساعت در روز تمرین کنید و مشکلاتی مشابه آنچه در این مقاله ارائه شده است را حل کنید. سپس در هر آزمون تئوری احتمال با مثال‌هایی بدون نکات اضافی و برگه‌های تقلب کنار می‌آیید.
