متغیرها چیست؟ متغیر در ریاضیات

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

اهمیت متغیرها در ریاضیات بسیار زیاد است، زیرا در طول زمان وجود آن، دانشمندان موفق به اکتشافات زیادی در این زمینه شدند و برای بیان مختصر و واضح این یا آن قضیه، از متغیرها برای نوشتن فرمول های مربوطه استفاده می کنیم.. به عنوان مثال، قضیه فیثاغورث روی مثلث قائم الزاویه: a² =b² + c^{2. چگونه هر بار هنگام حل یک مسئله بنویسیم: طبق قضیه فیثاغورث، مربع فرض برابر با مجموع مربع های پاها است - ما این را با یک فرمول یادداشت می کنیم و همه چیز بلافاصله روشن می شود.}

بنابراین، این مقاله به این موضوع می پردازد که متغیرها، انواع و ویژگی های آنها چیست. عبارات ریاضی مختلفی نیز در نظر گرفته می شود: نابرابری ها، فرمول ها، سیستم ها و الگوریتم ها برای حل آنها.

مفهوم متغیر

اول از همه، متغیر چیست؟ این یک مقدار عددی است که می تواند مقادیر زیادی داشته باشد. نمی تواند ثابت باشد، زیرا در مسائل و معادلات مختلف، برای راحتی، ما راه حل ها را به عنوانمتغیر اعداد مختلف، به عنوان مثال، z یک نام کلی برای هر یک از کمیت هایی است که برای آن در نظر گرفته شده است. معمولاً آنها را با حروف الفبای لاتین یا یونانی (x، y، a، b و غیره) نشان می دهند.

انواع مختلفی از متغیرها وجود دارد. آنها هر دو مقدار فیزیکی را تنظیم می کنند - مسیر (S)، زمان (t)، و مقادیر ساده ناشناخته در معادلات، توابع و سایر عبارات.

برای مثال، یک فرمول وجود دارد: S=Vt. در اینجا، متغیرها مقادیر معینی مرتبط با دنیای واقعی - مسیر، سرعت و زمان را نشان می‌دهند.

و یک معادله به شکل وجود دارد: 3x - 16=12x. در اینجا، x قبلاً به عنوان یک عدد انتزاعی در نظر گرفته شده است که در این نماد معنا دارد.

انواع مقادیر

مقدار به معنای چیزی است که ویژگی های یک جسم، ماده یا پدیده خاص را بیان می کند. به عنوان مثال، دمای هوا، وزن حیوان، درصد ویتامین های موجود در یک قرص - اینها همه مقادیری هستند که مقادیر عددی آنها قابل محاسبه است.

هر کمیت واحدهای اندازه گیری خاص خود را دارد که با هم یک سیستم را تشکیل می دهند. به آن سیستم اعداد (SI) می گویند.

متغیرها و ثابت ها چیست؟ آنها را با مثال های خاص در نظر بگیرید.

بیایید حرکت یکنواخت یکنواخت را در نظر بگیریم. یک نقطه در فضا هر بار با سرعت یکسانی حرکت می کند. یعنی زمان و مسافت تغییر می کند اما سرعت ثابت می ماند. در این مثال، زمان و مسافت متغیر هستند و سرعت ثابت است.

یا، برای مثال، "pi". این یک عدد غیر منطقی است که بدون تکرار ادامه می یابددنباله ای از ارقام است و نمی توان آن را به طور کامل نوشت، بنابراین در ریاضیات با یک نماد عمومی پذیرفته شده بیان می شود که فقط مقدار یک کسر نامتناهی را می گیرد. یعنی "pi" یک مقدار ثابت است.

تاریخ

تاریخ نمادگذاری متغیرها در قرن هفدهم با دانشمند رنه دکارت آغاز می شود.

او مقادیر شناخته شده را با حروف اول الفبا تعیین کرد: a، b و غیره، و برای مجهول ها استفاده از آخرین حروف: x، y، z را پیشنهاد کرد. قابل ذکر است که دکارت این گونه متغیرها را اعداد غیر منفی می دانست و در مواجهه با پارامترهای منفی جلوی متغیر علامت منفی یا اگر معلوم نبود عدد چه علامتی است بیضی قرار می داد. اما با گذشت زمان، نام متغیرها شروع به نشان دادن اعداد از هر علامتی کرد و این با ریاضیدان یوهان هاد شروع شد.

با متغیرها، محاسبات در ریاضیات راحت‌تر حل می‌شوند، زیرا مثلاً اکنون چگونه معادلات دو درجه‌ای را حل کنیم؟ یک متغیر وارد می کنیم. به عنوان مثال:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

برای x2 مقداری k می گیریم، و معادله واضح می شود:

x2=k، برای k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

این چیزی است که معرفی متغیرها به ریاضیات می آورد.

نابرابری ها، نمونه هایی از راه حل ها

نابرابری رکوردی است که در آن دو عبارت ریاضی یا دو عدد با علائم مقایسه به هم متصل می شوند:, ≦, ≧. آنها سختگیرانه هستند و با علائم یا غیر سختگیرانه با علائم ≦، ≧ نشان داده می شوند.

برای اولین بار این علائم معرفی شدندتوماس هریوت پس از مرگ توماس، کتاب او با این نمادها منتشر شد، ریاضیدانان آنها را پسندیدند و به مرور زمان در محاسبات ریاضی بسیار مورد استفاده قرار گرفتند.

هنگام حل نابرابری های تک متغیری باید از چندین قانون پیروی کرد:

هنگام انتقال یک عدد از قسمتی از نامساوی به قسمت دیگر، علامت آن را برعکس تغییر دهید.
هنگام ضرب یا تقسیم بخش‌های نابرابری در یک عدد منفی، علائم آنها معکوس می‌شوند.
اگر هر دو طرف نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب یا تقسیم کنید، نابرابری برابر با عدد اصلی بدست می آورید.

حل یک نابرابری به معنای یافتن تمام مقادیر معتبر برای یک متغیر است.

مثال یک متغیر:

10x - 50 > 150

ما آن را مانند یک معادله خطی معمولی حل می کنیم - عبارت ها را با یک متغیر به سمت چپ، بدون متغیر - به سمت راست منتقل می کنیم و عبارت های مشابه می دهیم:

10x > 200

هر دو طرف نابرابری را بر 10 تقسیم می کنیم و می گیریم:

x > 20

برای وضوح، در مثال حل نابرابری با یک متغیر، یک خط عددی رسم کنید، نقطه سوراخ شده را 20 روی آن علامت بزنید، زیرا نامساوی سخت است و این عدد در مجموعه جواب های آن لحاظ نمی شود..

راه حل این نابرابری بازه (20; +∞) است.

حل یک نابرابری غیر دقیق به همان روشی دقیق انجام می شود:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

اما یک استثنا وجود دارد. یک رکورد از شکل x ≧ 5 باید به صورت زیر درک شود: x بزرگتر یا مساوی پنج است، که به این معنی استعدد پنج در مجموعه تمام راه حل های نابرابری گنجانده شده است، یعنی هنگام نوشتن پاسخ، یک کروشه جلوی عدد پنج قرار می دهیم.

x ∈ [5; +∞)

نابرابری های مربع

اگر یک معادله درجه دوم از شکل ax2 + bx +c=0 را در نظر بگیریم و علامت مساوی را به علامت نابرابری در آن تغییر دهیم، بر این اساس یک عدد به دست خواهیم آورد. نابرابری درجه دوم.

برای حل یک نابرابری درجه دوم، باید بتوانید معادلات درجه دوم را حل کنید.

y=ax2 + bx + c یک تابع درجه دوم است. ما می توانیم آن را با استفاده از تفکیک کننده یا با استفاده از قضیه Vieta حل کنیم. به یاد بیاورید که چگونه این معادلات حل می شوند:

1) y=x2 + 12x + 11 - تابع یک سهمی است. شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شوند، زیرا علامت ضریب "a" مثبت است.

2) x2 + 12x + 11=0 - برابر با صفر و با استفاده از تفکیک حل کنید.

a=1، b=12، c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0، 2 ریشه

طبق فرمول ریشه های معادله درجه دوم به دست می آید:

x₁ =-1, x_2=-11

یا می توانید این معادله را با استفاده از قضیه Vieta حل کنید:

x₁ + x₂ =-b/a، x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

با استفاده از روش انتخاب، همان ریشه های معادله را به دست می آوریم.

پارابولا

بنابراین، اولین راه برای حل نابرابری درجه دوم سهمی است. الگوریتم حل آن به صورت زیر است:

1. تعیین کنید که شاخه های سهمی به کدام سمت هدایت می شوند.

2.تابع را با صفر برابر کنید و ریشه های معادله را پیدا کنید.

3. یک خط عددی می سازیم، ریشه ها را روی آن علامت گذاری می کنیم، یک سهمی رسم می کنیم و شکاف مورد نیاز خود را بسته به علامت نابرابری پیدا می کنیم.

حل نابرابری x2 + x - 12 > 0

نوشتن به عنوان تابع:

1) y=x2 + x - 12 - سهمی، شاخه به بالا.

روی صفر تنظیم کنید.

2) x2 + x -12=0

بعد، به صورت یک معادله درجه دوم حل می کنیم و صفرهای تابع را پیدا می کنیم:

x₁ =3، x_2=-4

3) یک خط عددی با نقاط 3 و -4 روی آن رسم کنید. سهمی از آنها عبور می کند، منشعب می شود و پاسخ نابرابری مجموعه ای از مقادیر مثبت خواهد بود، یعنی (-∞; -4)، (3; +∞).

روش فاصله

روش دوم روش فاصله گذاری است. الگوریتم حل آن:

1. ریشه های معادله ای را که نابرابری آن برابر با صفر است، پیدا کنید.

2. آنها را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم. بنابراین، به چندین بازه تقسیم می شود.

3. علامت هر بازه را تعیین کنید.

4. علائم را در فواصل باقی مانده قرار می دهیم و بعد از یک آن را تغییر می دهیم.

حل نابرابری (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) صفرهای نابرابری: 4، 5 و -7.

2) آنها را روی خط اعداد بکشید.

3) علائم فواصل را تعیین کنید.

پاسخ: (-∞; -7]; [4; 5].

حل یک نابرابری دیگر: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. صفرهای نابرابری: 0، 2، -2 و 1.

2. آنها را روی خط اعداد علامت گذاری کنید.

3.علائم فاصله را تعیین کنید.

خط به فواصل تقسیم می شود - از -2 تا 0، از 0 تا 1، از 1 تا 2.

مقدار بازه اول - (-1) را بگیرید. جایگزین در نابرابری. با این مقدار، نابرابری مثبت می شود، به این معنی که علامت در این بازه + خواهد بود.

بعلاوه، با شروع از شکاف اول، علائم را مرتب می کنیم و بعد از یک آنها را تغییر می دهیم.

نابرابری بزرگتر از صفر است، یعنی باید مجموعه ای از مقادیر مثبت را در خط پیدا کنید.

پاسخ: (2-; 0)، (1; 2).

سیستم های معادلات

سیستم معادلات با دو متغیر دو معادله است که توسط یک مهاربند به هم وصل شده اند که برای آن باید یک راه حل مشترک پیدا کرد.

سیستم ها می توانند معادل باشند اگر راه حل کلی یکی از آنها راه حل دیگری باشد یا هر دوی آنها هیچ راه حلی نداشته باشند.

حل سیستم معادلات با دو متغیر را بررسی می کنیم. دو راه برای حل آنها وجود دارد - روش جایگزینی یا روش جبری.

روش جبری

برای حل سیستم نشان داده شده در تصویر با استفاده از این روش، ابتدا باید یکی از اجزای آن را در چنین عددی ضرب کنید تا بعداً بتوانید متقابلاً یک متغیر را از هر دو قسمت معادله لغو کنید. در اینجا ضرب در سه می کنیم، زیر سیستم یک خط می کشیم و اجزای آن را جمع می کنیم. در نتیجه، x ها از نظر مدول یکسان، اما از نظر علامت مخالف می شوند و آنها را کاهش می دهیم. بعد، یک معادله خطی با یک متغیر به دست می آوریم و آن را حل می کنیم.

ما Y را پیدا کردیم، اما نمی‌توانیم در همین جا متوقف شویم، زیرا هنوز X را پیدا نکرده‌ایم. جایگزینY به قسمتی که برداشتن X از آن راحت خواهد بود، به عنوان مثال:

-x + 5y=8، با y=1

-x + 5=8

معادله حاصل را حل کنید و x را پیدا کنید.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

نکته اصلی در حل سیستم این است که پاسخ را به درستی یادداشت کنید. بسیاری از دانش آموزان در نوشتن اشتباه می کنند:

پاسخ: -3، 1.

اما این یک ورودی اشتباه است. از این گذشته ، همانطور که قبلاً در بالا ذکر شد ، هنگام حل یک سیستم معادلات ، ما به دنبال یک راه حل کلی برای قطعات آن هستیم. پاسخ صحیح این خواهد بود:

(-3; 1)