توابع حساب دیفرانسیل یک و چند متغیر

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

حساب دیفرانسیل و انتگرال شاخه ای از حساب دیفرانسیل و انتگرال است که مشتقات، دیفرانسیل ها و کاربرد آنها را در مطالعه یک تابع مطالعه می کند.

تاریخچه ظاهر

حساب دیفرانسیل به‌عنوان یک رشته مستقل در نیمه دوم قرن هفدهم، به لطف کار نیوتن و لایب‌نیتس، که مقررات اساسی در حساب دیفرانسیل‌ها را فرموله کردند و به ارتباط بین یکپارچگی و تمایز توجه کردند، پدیدار شد. از آن لحظه، این رشته همراه با حساب انتگرال ها توسعه یافته است، بنابراین اساس تجزیه و تحلیل ریاضی را تشکیل می دهد. ظهور این حساب‌ها دوره مدرن جدیدی را در دنیای ریاضیات باز کرد و باعث پیدایش رشته‌های جدید در علم شد. همچنین امکان بکارگیری علوم ریاضی در علوم طبیعی و فناوری را گسترش داد.

مفاهیم اساسی

حساب دیفرانسیل بر اساس مفاهیم اساسی ریاضیات است. آنها عبارتند از: عدد حقیقی، تداوم، تابع و حد. با گذشت زمان، به لطف محاسبات انتگرال و دیفرانسیل، ظاهری مدرن به خود گرفتند.

فرایند ایجاد

تشکیل حساب دیفرانسیل به شکل یک روش کاربردی و سپس یک روش علمی قبل از ظهور یک نظریه فلسفی که توسط نیکلاس کوزا ایجاد شد، رخ داد. آثار او یک تحول تکاملی از قضاوت های علم باستان تلقی می شود. علیرغم این واقعیت که فیلسوف خود ریاضیدان نبود، سهم او در توسعه علم ریاضی غیرقابل انکار است. کوزانسکی یکی از اولین کسانی بود که حساب را به عنوان دقیق ترین رشته علم تلقی نکرد و ریاضیات آن زمان را زیر سوال برد.

ریاضیدانان باستان از این واحد به عنوان یک معیار جهانی استفاده می کردند، در حالی که فیلسوف بی نهایت را به عنوان یک اندازه جدید به جای عدد دقیق پیشنهاد کرد. در این راستا، نمایش دقت در علوم ریاضی معکوس است. از نظر او دانش علمی به عقلی و عقلی تقسیم می شود. به گفته این دانشمند، مورد دوم دقیق تر است، زیرا اولی فقط یک نتیجه تقریبی می دهد.

ایده

ایده و مفهوم اصلی در حساب دیفرانسیل به تابعی در همسایگی های کوچک نقاط معین مربوط می شود. برای انجام این کار، ایجاد یک دستگاه ریاضی برای مطالعه تابعی که رفتار آن در یک همسایگی کوچک از نقاط تعیین شده نزدیک به رفتار یک چند جمله ای یا یک تابع خطی است، ضروری است. این بر اساس تعریف مشتق و دیفرانسیل است.

ظهور مفهوم مشتق ناشی از تعداد زیادی از مسائل علوم طبیعی و ریاضیات بود.که منجر به یافتن مقادیر حدود از همان نوع شد.

یکی از مشکلات اصلی که به عنوان مثال از دوران دبیرستان بیان می شود، تعیین سرعت حرکت نقطه ای در امتداد یک خط مستقیم و ایجاد خط مماس بر این منحنی است. دیفرانسیل مربوط به این است، زیرا می توان تابع را در یک همسایگی کوچک از نقطه در نظر گرفته شده تابع خطی تقریب زد.

در مقایسه با مفهوم مشتق تابع یک متغیر واقعی، تعریف دیفرانسیل ها به سادگی به تابعی با ماهیت کلی، به ویژه، به تصویر یک فضای اقلیدسی در فضای دیگر منتقل می شود.

مشتق

بگذارید نقطه در جهت محور Oy حرکت کند، برای زمانی که x می گیریم، که از ابتدای لحظه شمارش می شود. چنین حرکتی را می توان با تابع y=f(x) توصیف کرد که به هر لحظه زمانی x مختصات نقطه جابجا می شود. در مکانیک به این تابع قانون حرکت می گویند. مشخصه اصلی حرکت، به خصوص ناهموار، سرعت آنی است. هنگامی که یک نقطه بر اساس قانون مکانیک در امتداد محور Oy حرکت می کند، در یک لحظه زمانی تصادفی x، مختصات f (x) را به دست می آورد. در لحظه زمانی x + Δx، جایی که Δx نشان دهنده افزایش زمان است، مختصات آن f(x + Δx) خواهد بود. به این ترتیب فرمول Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) تشکیل می شود که به آن افزایش تابع می گویند. نشان دهنده مسیر طی شده در نقطه زمانی از x به x + Δx است.

با توجه به پیدایش اینسرعت در زمان، مشتق معرفی شده است. در یک تابع دلخواه، مشتق در یک نقطه ثابت حد نامیده می شود (با فرض وجود). می توان آن را با نمادهای خاصی مشخص کرد:

f'(x)، y'، ý، df/dx، dy/dx، Df(x).

فرایند محاسبه مشتق را تمایز می نامند.

حساب دیفرانسیل تابعی از چندین متغیر

این روش محاسبه برای بررسی یک تابع با چندین متغیر استفاده می شود. در حضور دو متغیر x و y، مشتق جزئی نسبت به x در نقطه A را مشتق این تابع نسبت به x با y ثابت می نامند.

را می توان با کاراکترهای زیر نشان داد:

f’(x)(x, y)، u’(x)، ∂u/∂x یا ∂f(x, y)’/∂x.

مهارتهای مورد نیاز

مهارت در ادغام و تمایز برای مطالعه موفقیت آمیز و قادر به حل موارد منتشر مورد نیاز است. برای سهولت در درک معادلات دیفرانسیل، باید درک خوبی از مبحث مشتق و انتگرال نامعین داشته باشید. همچنین یادگیری نحوه یافتن مشتق یک تابع به طور ضمنی به درد نمی خورد. این به دلیل این واقعیت است که در فرآیند مطالعه انتگرال ها و تمایز اغلب باید استفاده شود.

انواع معادلات دیفرانسیل

تقریباً در تمام مقالات آزمایشی مربوط به معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، 3 نوع معادله وجود دارد: همگن، با متغیرهای قابل تفکیک، ناهمگن خطی.

انواع نادری از معادلات نیز وجود دارد: با دیفرانسیل کل، معادلات برنولی و غیره.

اصول تصمیم گیری

ابتدا باید معادلات جبری دوره مدرسه را به خاطر بسپارید. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. برای حل یک معادله معمولی، باید مجموعه ای از اعداد را پیدا کنید که یک شرط معین را برآورده کنند. به عنوان یک قاعده، چنین معادلاتی یک ریشه داشتند، و برای بررسی صحت، فقط باید این مقدار را با مجهول جایگزین کرد.

معادله دیفرانسیل مشابه این است. به طور کلی، چنین معادله مرتبه اول شامل:

• متغیر مستقل.
• مشتق تابع اول.
• یک تابع یا متغیر وابسته.

در برخی موارد، ممکن است یکی از مجهولات، x یا y، وجود نداشته باشد، اما این چندان مهم نیست، زیرا وجود مشتق اول، بدون مشتقات مرتبه بالاتر، برای حل و دیفرانسیل ضروری است. محاسبات صحیح باشد.

حل یک معادله دیفرانسیل به معنای یافتن مجموعه ای از همه توابع مطابق با عبارت داده شده است. چنین مجموعه ای از توابع را اغلب راه حل کلی DE می نامند.

حساب انتگرال

حساب انتگرال یکی از بخشهای تحلیل ریاضی است که به بررسی مفهوم انتگرال، خواص و روشهای محاسبه آن می پردازد.

اغلب، محاسبه انتگرال هنگام محاسبه مساحت یک شکل منحنی رخ می دهد. این ناحیه به معنای حدی است که مساحت یک چندضلعی حک شده در یک شکل معین با افزایش تدریجی ضلع آن به آن گرایش پیدا می کند، در حالی که این اضلاع را می توان کمتر از هر مورد دلخواه تعیین شده قبلی ایجاد کرد.مقدار کوچک.

ایده اصلی در محاسبه مساحت یک شکل هندسی دلخواه این است که مساحت یک مستطیل را محاسبه کنیم، یعنی ثابت کنیم مساحت آن برابر است با حاصلضرب طول و عرض. وقتی صحبت از هندسه می شود، تمام سازه ها با استفاده از خط کش و قطب نما ساخته می شوند و سپس نسبت طول به عرض یک مقدار منطقی است. هنگام محاسبه مساحت یک مثلث قائم الزاویه، می توانید تعیین کنید که اگر همان مثلث را در کنار آن قرار دهید، یک مستطیل تشکیل می شود. در متوازی الاضلاع، مساحت با روشی مشابه، اما کمی پیچیده تر، از طریق یک مستطیل و یک مثلث محاسبه می شود. در چند ضلعی، مساحت از طریق مثلث های موجود در آن محاسبه می شود.

هنگام تعیین صرفه جویی در یک منحنی دلخواه، این روش کار نخواهد کرد. اگر آن را به مربع های تک تقسیم کنید، مکان های خالی وجود خواهد داشت. در این مورد، سعی می شود از دو پوشش استفاده شود، با مستطیل در بالا و پایین، در نتیجه، آنهایی که شامل نمودار تابع هستند و نه. روش پارتیشن بندی به این مستطیل ها در اینجا مهم است. همچنین، اگر پارتیشن‌های کوچک‌تر را به طور فزاینده‌ای در نظر بگیریم، ناحیه بالا و پایین باید در یک مقدار معین همگرا شوند.

باید به روش تقسیم به مستطیل برگردد. دو روش محبوب وجود دارد.

ریمان تعریف انتگرال ایجاد شده توسط لایب نیتس و نیوتن را به عنوان مساحت زیرگراف رسمیت داد. در این مورد، ارقامی در نظر گرفته شد که از تعداد معینی مستطیل عمودی تشکیل شده و از تقسیم به دست آمد.بخش. هنگامی که با کاهش پارتیشن، حدی وجود دارد که مساحت یک شکل مشابه به آن کاهش می‌یابد، این حد را انتگرال ریمان یک تابع در یک بازه معین می‌نامند.

روش دوم ساخت انتگرال Lebesgue است که شامل این واقعیت است که برای محل تقسیم ناحیه تعریف شده به قسمت های انتگرال و سپس جمع انتگرال از مقادیر به دست آمده در این قسمت ها جمع آوری می شود. ، دامنه مقادیر آن به فواصل تقسیم می شود و سپس با اندازه گیری های مربوط به تصاویر اولیه این انتگرال ها خلاصه می شود.

مزایای مدرن

یکی از کتابهای راهنمای اصلی برای مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط فیختنگولت نوشته شده است - "دوره حساب دیفرانسیل و انتگرال". کتاب درسی او راهنمای اساسی برای مطالعه آنالیز ریاضی است که ویرایش‌ها و ترجمه‌های بسیاری به زبان‌های دیگر را پشت سر گذاشته است. برای دانشجویان دانشگاه ایجاد شده و مدتهاست که در بسیاری از موسسات آموزشی به عنوان یکی از اصلی ترین وسایل کمک آموزشی مورد استفاده قرار می گیرد. داده های نظری و مهارت های عملی می دهد. اولین بار در سال 1948 منتشر شد.

الگوریتم تحقیق تابع

برای بررسی یک تابع با استفاده از روش‌های حساب دیفرانسیل، باید الگوریتم ارائه شده را دنبال کنید:

1. دامنه یک تابع را بیابید.
2. ریشه های معادله داده شده را بیابید.
3. محاسبه افراط. برای انجام این کار، مشتق و نقاطی که برابر با صفر است را محاسبه کنید.
4. مقدار حاصل را در معادله جایگزین کنید.

انواع معادلات دیفرانسیل

کنترل مرتبه اول (در غیر این صورت، دیفرانسیلحساب تک متغیری) و انواع آنها:

• معادله قابل تفکیک: f(y)dy=g(x)dx.
• ساده ترین معادلات یا حساب دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر با فرمول: y'=f(x).
• ناهمگن خطی مرتبه اول DE: y'+P(x)y=Q(x).
• معادله دیفرانسیل برنولی: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• معادله با دیفرانسیل کل: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و انواع آنها:

• معادله دیفرانسیل همگن مرتبه دوم خطی با مقادیر ضریب ثابت: y +py'+qy=0 p، q متعلق به R. است.
• معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت: y +py'+qy=f(x).
• معادله دیفرانسیل همگن خطی: y +p(x)y'+q(x)y=0، و معادله مرتبه دوم ناهمگن: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر و انواع آنها:

• معادله دیفرانسیل قابل کاهش به ترتیب: F(x، y^(k)، y^(k+1)،.., y^(n)=0.
• معادله همگن مرتبه بالاتر خطی: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0، و ناهمگن: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

مراحل حل مسئله با معادله دیفرانسیل

با کمک کنترل از راه دور نه تنها سوالات ریاضی یا فیزیکی حل می شود، بلکه مسائل مختلفی اززیست شناسی، اقتصاد، جامعه شناسی و غیره با وجود تنوع گسترده موضوعات، هنگام حل چنین مسائلی باید یک توالی منطقی را رعایت کرد:

1. تجمیع کنترل از راه دور. یکی از دشوارترین مراحلی است که حداکثر دقت را می طلبد، زیرا هر اشتباهی منجر به نتایج کاملاً اشتباه می شود. تمام عوامل موثر بر روند باید در نظر گرفته شود و شرایط اولیه مشخص شود. همچنین باید بر اساس حقایق و نتیجه گیری های منطقی باشد.
2. حل معادله فرموله شده. این فرآیند ساده‌تر از مرحله اول است، زیرا فقط به محاسبات دقیق ریاضی نیاز دارد.
3. تجزیه و تحلیل و ارزیابی نتایج. راه حل مشتق شده باید برای تعیین ارزش عملی و نظری نتیجه ارزیابی شود.

نمونه ای از استفاده از معادلات دیفرانسیل در پزشکی

استفاده از کنترل از راه دور در زمینه پزشکی هنگام ساخت یک مدل ریاضی اپیدمیولوژیک اتفاق می افتد. در عین حال نباید فراموش کرد که این معادلات در زیست شناسی و شیمی نیز یافت می شوند که به پزشکی نزدیک هستند، زیرا مطالعه جمعیت های مختلف بیولوژیکی و فرآیندهای شیمیایی در بدن انسان نقش مهمی در آن دارد..

در مثال فوق از یک اپیدمی، می توان گسترش عفونت را در یک جامعه منزوی در نظر گرفت. ساکنان به سه دسته تقسیم می شوند:

• Infected، شماره x(t)، متشکل از افراد، ناقلان عفونت، که هر کدام مسری هستند (دوره کمون کوتاه است).
• نوع دوم شاملافراد مستعد y(t) که می توانند از طریق تماس با افراد آلوده آلوده شوند.
• سومین گونه شامل افراد مصون z(t) است که مصون هستند یا به دلیل بیماری مرده اند.

تعداد افراد ثابت است، به حساب ولادت، مرگ و میر طبیعی و مهاجرت در نظر گرفته نشده است. دو فرضیه در هسته وجود خواهد داشت.

درصد بروز در یک نقطه زمانی خاص x(t)y(t) است (بر اساس این نظریه که تعداد موارد متناسب با تعداد تقاطع‌های بین نمایندگان بیمار و مستعد است که در اولین تقریب متناسب با x(t)y(t) خواهد بود، در رابطه با این، تعداد موارد افزایش می‌یابد، و تعداد موارد حساس با نرخی که با فرمول ax(t)y(t) محاسبه می‌شود، افزایش می‌یابد. a > 0).

تعداد افراد ایمنی که مصون شده اند یا فوت کرده اند با نرخی متناسب با تعداد موارد، bx(t) (b > 0) در حال افزایش است.

در نتیجه می توانید با در نظر گرفتن هر سه شاخص یک سیستم معادلات بسازید و بر اساس آن نتیجه گیری کنید.

مثال اقتصادی

حساب دیفرانسیل اغلب در تحلیل اقتصادی استفاده می شود. وظیفه اصلی در تجزیه و تحلیل اقتصادی، مطالعه مقادیری از اقتصاد است که در قالب یک تابع نوشته می شود. این در هنگام حل مشکلاتی مانند تغییر در درآمد بلافاصله پس از افزایش مالیات، معرفی عوارض، تغییر در درآمد شرکت هنگام تغییر هزینه تولید، به چه نسبتی می توان کارگران بازنشسته را با تجهیزات جدید جایگزین کرد، استفاده می شود. برای حل چنین مسائلی لازم استیک تابع اتصال از متغیرهای ورودی بسازید، که سپس با استفاده از حساب دیفرانسیل مطالعه می‌شوند.

در حوزه اقتصادی، اغلب لازم است بهینه ترین شاخص ها را پیدا کنید: حداکثر بهره وری نیروی کار، بالاترین درآمد، کمترین هزینه و غیره. هر یک از این شاخص ها تابعی از یک یا چند آرگومان است. به عنوان مثال، تولید را می توان تابعی از نیروی کار و نهاده های سرمایه در نظر گرفت. در این راستا، یافتن یک مقدار مناسب را می توان به یافتن حداکثر یا حداقل یک تابع از یک یا چند متغیر تقلیل داد.

مشکلاتی از این دست دسته ای از مشکلات فوق العاده را در زمینه اقتصادی ایجاد می کنند که حل آنها نیازمند حساب دیفرانسیل است. زمانی که یک شاخص اقتصادی باید به عنوان تابعی از شاخص دیگر کمینه یا حداکثر شود، در نقطه حداکثر، نسبت افزایش تابع به آرگومان ها در صورتی که افزایش آرگومان به صفر گرایش داشته باشد، به سمت صفر خواهد رفت. در غیر این صورت، زمانی که چنین نسبتی به مقداری مثبت یا منفی تمایل دارد، نقطه مشخص شده مناسب نیست، زیرا با افزایش یا کاهش آرگومان، می توان مقدار وابسته را در جهت مورد نیاز تغییر داد. در اصطلاح حساب دیفرانسیل، این بدان معناست که شرط لازم برای حداکثر یک تابع، مقدار صفر مشتق آن است.

در علم اقتصاد، اغلب مشکلاتی برای یافتن حد فاصل یک تابع با چندین متغیر وجود دارد، زیرا شاخص های اقتصادی از عوامل بسیاری تشکیل شده اند. اینجور سوالات خوبهدر تئوری توابع چندین متغیر با استفاده از روش‌های محاسبه دیفرانسیل مطالعه شده است. چنین مشکلاتی نه تنها شامل توابع به حداکثر و کمینه شده، بلکه شامل محدودیت ها نیز می شود. این گونه سوالات مربوط به برنامه نویسی ریاضی است و با کمک روش های توسعه یافته خاص و بر اساس این شاخه از علم حل می شوند.

در میان روش‌های حساب دیفرانسیل مورد استفاده در اقتصاد، بخش مهمی تحلیل حاشیه‌ای است. در حوزه اقتصادی، این اصطلاح به مجموعه ای از روش ها برای مطالعه شاخص ها و نتایج متغیر هنگام تغییر حجم ایجاد، مصرف بر اساس تجزیه و تحلیل شاخص های حاشیه ای آنها اشاره دارد. شاخص محدود کننده مشتقات مشتق یا جزئی با چندین متغیر است.

حساب دیفرانسیل چند متغیر موضوع مهمی در زمینه تحلیل ریاضی است. برای مطالعه دقیق می توانید از کتاب های درسی مختلف برای آموزش عالی استفاده کنید. یکی از معروف ترین آنها توسط Fikhtengolts ایجاد شد - "دوره حساب دیفرانسیل و انتگرال". همانطور که از نام آن پیداست، مهارت در کار با انتگرال ها برای حل معادلات دیفرانسیل اهمیت قابل توجهی دارد. هنگامی که حساب دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر انجام می شود، راه حل ساده تر می شود. اگرچه لازم به ذکر است که تابع همان قوانین اساسی است. برای مطالعه عملی یک تابع توسط حساب دیفرانسیل، کافی است از الگوریتم موجود پیروی کنید، که در دبیرستان ارائه شده است و زمانی که موارد جدید معرفی می شوند، فقط کمی پیچیده است.متغیرها.