در جبر مفهوم دو نوع برابری وجود دارد - هویت و معادلات. هویت ها برابری هایی هستند که برای هر مقدار از حروف موجود در آنها امکان پذیر است. معادلات نیز برابر هستند، اما فقط برای مقادیر معینی از حروف موجود در آنها قابل اجرا هستند.
حروف معمولاً از نظر وظیفه نابرابر هستند. این بدان معنی است که برخی از آنها می توانند هر مقدار مجاز را به نام ضرایب (یا پارامتر) دریافت کنند، در حالی که برخی دیگر - مجهول نامیده می شوند - مقادیری را می گیرند که باید در فرآیند حل پیدا شوند. به عنوان یک قاعده، مقادیر مجهول در معادلات با حروف، آخرین آنها در الفبای لاتین (x.y.z و غیره)، یا با همان حروف، اما با یک شاخص (x1، x 2، و غیره)، و ضرایب شناخته شده با حروف اول همان الفبا داده می شود.
بر اساس تعداد مجهول ها، معادلات با مجهول یک، دو و چند مجهول متمایز می شوند. بنابراین، تمام مقادیر مجهولاتی که معادله حل شده برای آنها به یک هویت تبدیل می شود، حل معادلات نامیده می شود. معادله ای را می توان حل شده در نظر گرفت که تمام جواب های آن پیدا شود یا ثابت شود که هیچ جوابی ندارد. کار "حل معادله" در عمل رایج است و به این معنی است که شما باید ریشه معادله را پیدا کنید.
تعریف: ریشه های یک معادله آن دسته از مقادیر مجهولات از محدوده مقادیر مجاز هستند که در آن معادله حل شده به یک هویت تبدیل می شود.
الگوریتم برای حل مطلق تمام معادلات یکسان است و معنای آن کاهش این عبارت به شکل ساده تر با استفاده از تبدیل های ریاضی است.معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند در جبر معادل نامیده می شوند.
ساده ترین مثال: 7x-49=0، ریشه معادله x=7؛x-7=0، به طور مشابه، ریشه x=7، بنابراین معادلات معادل هستند. (در موارد خاص، معادلات معادل ممکن است اصلاً ریشه نداشته باشند.)
اگر ریشه یک معادله نیز ریشه معادله دیگر ساده‌تر باشد که با تبدیل‌ها از معادله اصلی به‌دست می‌آید، آنگاه نتیجه معادله قبلی نامیده می‌شود.
اگر یکی از دو معادله نتیجه دیگری باشد، آنها معادل در نظر گرفته می‌شوند. به آنها معادل نیز می گویند. مثال بالا این را نشان می دهد.
حل حتی ساده ترین معادلات در عمل اغلب دشوار است. در نتیجه راه حل، می توانید یک ریشه معادله، دو یا بیشتر، حتی یک عدد نامتناهی به دست آورید - این بستگی به نوع معادلات دارد. آنهایی هم هستند که ریشه ندارند، آنها را غیرقابل تصمیم گیری می نامند.
مثال:
1) 15x -20=10; x=2. این تنها ریشه معادله است.
2) 7x - y=0. این معادله دارای بی نهایت ریشه است، زیرا هر متغیر می تواند تعداد بی شماری داشته باشدتعداد مقادیر.
3) x2=- 16. عددی که به توان دوم افزایش می یابد همیشه نتیجه مثبت می دهد، بنابراین یافتن ریشه معادله غیرممکن است.. این یکی از معادلات حل نشدنی است که در بالا ذکر شد.
صحت راه حل با جایگزینی ریشه های یافت شده به جای حروف و حل مثال حاصل بررسی می شود. اگر هویت برقرار است، راه حل صحیح است.
