برخی از مسائل ریاضی به توانایی محاسبه جذر نیاز دارند. این مسائل شامل حل معادلات درجه دوم است. در این مقاله روشی موثر برای محاسبه ریشه های مربع ارائه می دهیم و از آن در هنگام کار با فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم استفاده می کنیم.
ریشه مربع چیست؟
در ریاضیات، این مفهوم با نماد √ مطابقت دارد. داده های تاریخی نشان می دهد که استفاده از آن برای اولین بار در حدود نیمه اول قرن شانزدهم در آلمان آغاز شد (اولین کار آلمانی در مورد جبر توسط کریستوف رودولف). دانشمندان بر این باورند که این نماد یک حرف لاتین تغییر یافته r است (رادیکس در لاتین به معنای "ریشه" است).
ریشه هر عددی برابر با چنین مقداری است که مربع آن با عبارت ریشه مطابقت دارد. در زبان ریاضیات، این تعریف به این صورت خواهد بود: √x=y اگر y2=x.
ریشه یک عدد مثبت (x > 0) نیزیک عدد مثبت (y > 0)، اما اگر ریشه از یک عدد منفی (x < 0) گرفته شود، نتیجه آن قبلاً یک عدد مختلط خواهد بود، از جمله واحد خیالی i.
در اینجا دو مثال ساده وجود دارد:
√9=3 زیرا 32 =9; √(-9)=3i زیرا i2=-1.
فرمول تکراری هرون برای یافتن ریشه های مربع
مثال های بالا بسیار ساده هستند و محاسبه ریشه در آنها کار سختی نیست. مشکلات از قبل با یافتن مقادیر ریشه برای هر مقداری که نمی تواند به عنوان مربع یک عدد طبیعی نشان داده شود ظاهر می شود، به عنوان مثال √10، √11، √12، √13، بدون ذکر این واقعیت که در عمل برای یافتن ریشه اعداد غیر صحیح ضروری است: به عنوان مثال √(12، 15)، √(8، 5) و غیره.
در تمامی موارد فوق باید از روش خاصی برای محاسبه جذر استفاده شود. در حال حاضر، چندین روش از این قبیل شناخته شده است: به عنوان مثال، گسترش در یک سری تیلور، تقسیم بر یک ستون، و برخی دیگر. از بین تمام روش های شناخته شده، شاید ساده ترین و موثرترین آن استفاده از فرمول تکراری هرون باشد که به روش بابلی برای تعیین ریشه های مربع نیز معروف است (شواهدی وجود دارد که بابلی های باستان از آن در محاسبات عملی خود استفاده می کردند).
بگذارید تعیین مقدار √x ضروری باشد. فرمول پیدا کردن جذر به صورت زیر است:
an+1=1/2(a+x/a ، جایی که limn->∞(a)=> x.
این نماد ریاضی را رمزگشایی کنید. برای محاسبه √x، باید مقداری عدد a0 را بگیرید (می تواند دلخواه باشد، اما برای یک نتیجه سریع، باید آن را طوری انتخاب کنید که (a0) 2 تا حد امکان به x نزدیک بود، سپس آن را در فرمول ریشه دوم مشخص شده جایگزین کنید و یک عدد جدید a1 دریافت کنید، که قبلا به مقدار مورد نظر نزدیکتر باشد، لازم است یک 1 را در عبارت جایگزین کنید و یک2 را دریافت کنید..
نمونه ای از اعمال فرمول تکراری Heron
الگوریتمی که در بالا برای به دست آوردن جذر یک عدد داده شده در بالا توضیح داده شد ممکن است برای بسیاری بسیار پیچیده و گیج کننده به نظر برسد، اما در واقع همه چیز بسیار ساده تر است، زیرا این فرمول خیلی سریع همگرا می شود (مخصوصاً اگر یک عدد خوش شانس باشد. 0 انتخاب شده است.
بیایید یک مثال ساده بزنیم: باید √11 را محاسبه کنیم. ما یک0=3 را انتخاب می کنیم، زیرا 32=9، که نزدیکتر به 11 است تا 42=16. با جایگزینی در فرمول، دریافت می کنیم:
a1=1/2 (3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2 (3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
ادامه محاسبات فایده ای ندارد، زیرا دریافتیم که a2 و a3 فقط در اعشار پنجم متفاوت است. محل. بنابراین، فقط 2 برابر فرمول برای اعمال کافی بودمحاسبه √11 تا درون 0.0001.
در حال حاضر، ماشین‌حساب‌ها و رایانه‌ها به طور گسترده برای محاسبه ریشه‌ها استفاده می‌شوند، با این حال، به خاطر سپردن فرمول علامت‌گذاری شده برای اینکه بتوانیم مقدار دقیق آنها را به صورت دستی محاسبه کنیم، مفید است.
معادلات مرتبه دوم
فهمیدن ریشه مربع چیست و توانایی محاسبه آن هنگام حل معادلات درجه دوم استفاده می شود. این معادلات تساوی با یک مجهول هستند که شکل کلی آن در شکل زیر نشان داده شده است.
در اینجا c، b و a برخی از اعداد هستند و a نباید برابر با صفر باشد، و مقادیر c و b می توانند کاملاً دلخواه از جمله صفر باشند.
هر مقدار x که برابری نشان داده شده در شکل را برآورده کند، ریشه آن نامیده می شود (این مفهوم نباید با جذر √ اشتباه گرفته شود). از آنجایی که معادله مورد بررسی دارای مرتبه 2 است (x2)، بنابراین نمی تواند بیش از دو عدد برای ریشه های آن وجود داشته باشد. بیایید در ادامه مقاله نحوه پیدا کردن این ریشه ها را بررسی کنیم.
یافتن ریشه یک معادله درجه دوم (فرمول)
این روش برای حل نوع برابری در نظر گرفته شده را جهانی یا روش از طریق ممیز نیز می نامند. می توان آن را برای هر معادله درجه دوم اعمال کرد. فرمول ممیز و ریشه های معادله درجه دوم به شرح زیر است:
نشان می دهد که ریشه ها به مقدار هر یک از سه ضریب معادله بستگی دارند. علاوه بر این، محاسبهx1 با محاسبه x2 فقط با علامت قبل از جذر متفاوت است. عبارت رادیکال که برابر با b2 - 4ac است، چیزی نیست جز ممیز برابری در نظر گرفته شده. تمایز در فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم نقش مهمی ایفا می کند زیرا تعداد و نوع جواب ها را تعیین می کند. بنابراین، اگر صفر باشد، تنها یک راه حل وجود خواهد داشت، اگر مثبت باشد، معادله دارای دو ریشه واقعی است، در نهایت، ممیز منفی به دو ریشه مختلط ختم می شود x1 و x 2.
قضیه ویتا یا برخی از خواص ریشه معادلات مرتبه دوم
در پایان قرن شانزدهم، یکی از بنیانگذاران جبر مدرن، فرانسوا ویت فرانسوی، که معادلات مرتبه دوم را مطالعه می کرد، توانست ویژگی های ریشه های آن را به دست آورد. از نظر ریاضی، آنها را می توان اینگونه نوشت:
x1 + x2=-b / a و x1 x 2=c / a.
هر دو برابری را می توان به راحتی توسط هر کسی به دست آورد، برای این کار فقط باید عملیات ریاضی مناسب را با ریشه های بدست آمده از فرمول با ممیز انجام داد.
ترکیب این دو عبارت را به درستی می توان فرمول دوم ریشه های یک معادله درجه دوم نامید که امکان حدس زدن جواب های آن را بدون استفاده از ممیز ممکن می کند. در اینجا باید توجه داشت که اگرچه هر دو عبارت همیشه معتبر هستند، اما استفاده از آنها برای حل یک معادله تنها در صورتی راحت است که بتوان آن را فاکتور گرفت.
وظیفه تثبیت دانش کسب شده
بیایید یک مسئله ریاضی را حل کنیم که در آن تمام تکنیک های مورد بحث در مقاله را نشان خواهیم داد. شرایط مسئله به شرح زیر است: شما باید دو عدد را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها 13- و مجموع آن 4 باشد.
این شرط بلافاصله قضیه ویتا را یادآوری می کند، با استفاده از فرمول های مجموع ریشه های مربع و حاصل ضرب آنها، می نویسیم:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
با فرض a=1، سپس b=-4 و c=-13. این ضرایب به ما اجازه می دهد تا یک معادله مرتبه دوم بنویسیم:
x2 - 4x - 13=0.
از فرمول با ممیز استفاده کنید، ریشه های زیر را به دست می آوریم:
x1، 2=(4 ± √D)/2، D=16 - 41(-13)=68.
یعنی کار به یافتن عدد √68 کاهش یافت. توجه داشته باشید که 68=417، سپس با استفاده از ویژگی ریشه مربع، به دست می آوریم: √68=2√17.
حالا بیایید از فرمول ریشه دوم در نظر گرفته شده استفاده کنیم: a0=4، سپس:
a1=1/2 (4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2 (4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
نیازی به محاسبه 3 نیست زیرا مقادیر یافت شده تنها 0.02 متفاوت است. بنابراین، √68=8.246. جایگزین کردن آن در فرمول x 1، 2، دریافت می کنیم:
x1=(4 + 8، 246)/2=6، 123 و x2=(4 - 8، 246) /2=-2، 123.
همانطور که می بینید، مجموع اعداد یافت شده در واقع 4 است، اما اگر حاصلضرب آنها را بیابید، برابر با -12 خواهد بود.999، که شرط مشکل را با دقت 0.001 برآورده می کند.
