در توصیف ریاضی حرکت دورانی، دانستن ممان اینرسی سیستم در مورد محور مهم است. در حالت کلی، روش یافتن این مقدار شامل اجرای فرآیند یکپارچه سازی است. به اصطلاح قضیه اشتاینر محاسبه را آسان می کند. بیایید آن را با جزئیات بیشتری در مقاله در نظر بگیریم.
ممان اینرسی چیست؟
قبل از بیان قضیه اشتاینر، لازم است به مفهوم ممان اینرسی بپردازیم. فرض کنید جسمی با جرم خاص و شکل دلخواه وجود دارد. این جسم می تواند یک نقطه مادی یا هر جسم دو بعدی یا سه بعدی (میله، استوانه، توپ و …) باشد. اگر جسم مورد نظر حول محوری با شتاب ثابت α حرکت دایره ای انجام دهد، می توان معادله زیر را نوشت:
M=Iα
در اینجا، مقدار M نشان دهنده گشتاور کل نیروها است که شتاب α را به کل سیستم می دهد. ضریب تناسب بین آنها - I، نامیده می شودممان اینرسی. این کمیت فیزیکی با استفاده از فرمول کلی زیر محاسبه می شود:
I=∫m (r2dm)
در اینجا r فاصله بین عنصر با جرم dm و محور چرخش است. این عبارت به این معنی است که باید مجموع حاصل ضرب فواصل مجذور r2 و جرم اولیه dm را یافت. یعنی ممان اینرسی یک مشخصه خالص جسم نیست که آن را از اینرسی خطی متمایز کند. این به توزیع جرم در سراسر جسمی که می چرخد و همچنین به فاصله تا محور و جهت گیری جسم نسبت به آن بستگی دارد. برای مثال، اگر یک میله حول مرکز جرم و انتها بچرخد I متفاوت خواهد داشت.
لحظه اینرسی و قضیه اشتاینر
ریاضی دان معروف سوئیسی، یاکوب اشتاینر، قضیه محورهای موازی و ممان اینرسی را که اکنون نام او را دارد، اثبات کرد. این قضیه فرض می‌کند که ممان اینرسی مطلقاً برای هر جسم صلب با هندسه دلخواه نسبت به برخی از محورهای چرخش برابر است با مجموع گشتاور اینرسی در مورد محوری که مرکز جرم جسم را قطع می‌کند و موازی با محور اول است. و حاصل ضرب جرم بدن ضربدر مجذور فاصله بین این محورها. از نظر ریاضی، این فرمول به صورت زیر نوشته می شود:
IZ=IO + ml۲
IZ و IO - گشتاورهای اینرسی در مورد محور Z و محور O موازی با آن، که می گذرد از طریق مرکز جرم بدن، l - فاصله بین خطوط Z و O.
قضیه اجازه می دهد، با دانستن مقدار IO، محاسبه شودهر لحظه دیگر IZ در مورد محوری موازی با O.
اثبات قضیه
فرمول قضیه اشتاینر را می توان به راحتی توسط خودتان بدست آورد. برای انجام این کار، یک جسم دلخواه را در صفحه xy در نظر بگیرید. بگذارید مبدأ مختصات از مرکز جرم این جسم عبور کند. بیایید ممان اینرسی IO را محاسبه کنیم که از مبدا عمود بر صفحه xy می گذرد. از آنجایی که فاصله تا هر نقطه از بدن با فرمول r=√ بیان می شود (x2 + y2)، پس انتگرال را دریافت می کنیم:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
حالا اجازه دهید محور را به موازات محور x با فاصله l حرکت دهیم، مثلاً در جهت مثبت، سپس محاسبه محور جدید ممان اینرسی به این صورت خواهد بود:
IZ=∫m(((x+l)۲+y 2)dm)
مربع کامل داخل پرانتز را بزرگ کنید و انتگرال ها را تقسیم کنید، دریافت می کنیم:
IZ=∫m ((x۲+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
اولین این عبارت مقدار IO است، سومین عبارت، پس از ادغام، عبارت l2m را می دهد. ، و در اینجا جمله دوم صفر است. صفر شدن انتگرال مشخص شده به این دلیل است که از حاصل ضرب عناصر x و جرم dm گرفته شده است که درمیانگین صفر را نشان می دهد، زیرا مرکز جرم در مبدا است. در نتیجه فرمول قضیه اشتاینر به دست می آید.
مورد در نظر گرفته شده در هواپیما را می توان به یک جسم سه بعدی تعمیم داد.
بررسی فرمول Steiner در مثالی از یک میله
بیایید یک مثال ساده برای نشان دادن نحوه استفاده از قضیه فوق ارائه دهیم.
مشخص است که برای میله ای به طول L و جرم m، ممان اینرسی IO (محور از مرکز جرم می گذرد) برابر است با m L2 /12، و لحظه IZ (محور از انتهای میله می گذرد) برابر است با mL 2/3. بیایید این داده ها را با استفاده از قضیه اشتاینر بررسی کنیم. از آنجایی که فاصله بین دو محور L/2 است، لحظه IZ: را دریافت می کنیم
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
یعنی، ما فرمول Steiner را بررسی کردیم و همان مقدار را برای IZ به عنوان منبع دریافت کردیم.
محاسبات مشابهی را می توان برای سایر اجسام (سیلندر، توپ، دیسک)، در حالی که ممان های اینرسی لازم و بدون انجام یکپارچگی به دست آورد، انجام داد.
ممان اینرسی و محورهای عمود بر
قضیه در نظر گرفته شده مربوط به محورهای موازی است. برای کامل شدن اطلاعات، ارائه یک قضیه برای محورهای عمود بر هم مفید است. این فرمول به صورت زیر است: برای یک جسم مسطح با شکل دلخواه، گشتاور اینرسی حول محوری عمود بر آن برابر با مجموع دو ممان اینرسی در مورد دو عمود بر یکدیگر و در حالت خوابیده خواهد بود.در صفحه شیء محورها، با عبور هر سه محور از یک نقطه. از نظر ریاضی، این به صورت زیر نوشته می شود:
Iz=Ix + Iy
در اینجا z، x، y سه محور چرخش متقابل عمود هستند.
تفاوت اساسی بین این قضیه و قضیه اشتاینر این است که فقط برای اجسام جامد تخت (دو بعدی) قابل استفاده است. با این وجود، در عمل به طور گسترده استفاده می شود، به طور ذهنی بدن را به لایه های جداگانه برش می دهد، و سپس لحظات اینرسی به دست آمده را اضافه می کند.
