آخرین قضیه فرمت: اثبات وایلز و پرلمن، فرمول ها، قوانین محاسبه و اثبات کامل قضیه

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

قضاوت بر اساس محبوبیت درخواست "قضیه فرمت - یک اثبات کوتاه"، این مسئله ریاضی واقعاً برای بسیاری جالب است. این قضیه برای اولین بار توسط پیر دو فرما در سال 1637 در لبه نسخه ای از Arithmetic بیان شد، جایی که او ادعا کرد که راه حلی دارد که آنقدر بزرگ است که در لبه قرار نمی گیرد.

اولین اثبات موفق در سال 1995 منتشر شد - این اثبات کامل قضیه فرما توسط اندرو وایلز بود. این به عنوان "پیشرفت خیره کننده" توصیف شده است و باعث شد وایلز در سال 2016 جایزه آبل را دریافت کند. اگرچه به طور مختصر توضیح داده شد، اثبات قضیه فرما نیز بسیاری از قضیه مدولاریته را ثابت کرد و رویکردهای جدیدی را برای مشکلات متعدد دیگر و روش‌های مؤثر برای رفع مدولاریت باز کرد. این دستاوردها ریاضیات را 100 سال آینده پیشرفت کرده است. اثبات قضیه کوچک فرما امروز نیستچیزی غیرعادی است.

مسئله حل نشده توسعه نظریه اعداد جبری را در قرن نوزدهم و جستجو برای اثبات قضیه مدولاریته در قرن بیستم را تحریک کرد. این یکی از قابل توجه ترین قضایا در تاریخ ریاضیات است و تا زمان اثبات تقسیم کامل آخرین قضیه فرما، در کتاب رکوردهای گینس به عنوان "سخت ترین مسئله ریاضی" قرار داشت که یکی از ویژگی های آن این است که بیشترین تعداد اثبات ناموفق را دارد.

پیشینه تاریخی

معادله فیثاغورث x² + y²=z² دارای بی نهایت عدد مثبت است راه حل های عدد صحیح برای x، y و z. این راه حل ها به عنوان سه گانه فیثاغورثی شناخته می شوند. در حدود سال 1637، فرما در لبه کتاب نوشت که معادله کلی تر a + b =c^{ندارد راه‌حل‌هایی در اعداد طبیعی اگر n یک عدد صحیح بزرگ‌تر از 2 باشد. اگرچه خود فرما ادعا می‌کرد که برای مسئله‌اش راه‌حلی دارد، اما جزئیاتی در مورد اثبات آن باقی نگذاشت. اثبات ابتدایی قضیه فرما که توسط خالق آن ادعا شده بود، اختراع لاف زننده او بود. کتاب این ریاضیدان بزرگ فرانسوی 30 سال پس از مرگ او کشف شد. این معادله که آخرین قضیه فرما نام داشت، برای سه قرن و نیم در ریاضیات حل نشده باقی ماند.}

این قضیه در نهایت به یکی از قابل توجه ترین مسائل حل نشده در ریاضیات تبدیل شد. تلاش برای اثبات این امر باعث توسعه قابل توجهی در نظریه اعداد شد، و با گذشتزمان، آخرین قضیه فرما به عنوان یک مسئله حل نشده در ریاضیات شناخته شد.

تاریخچه مختصر از شواهد

اگر n=4، همانطور که توسط خود فرما ثابت شده است، برای اثبات قضیه برای شاخص های n که اعداد اول هستند، کافی است. در طی دو قرن بعدی (1637-1839) این حدس فقط برای اعداد اول 3، 5 و 7 ثابت شد، اگرچه سوفی ژرمن رویکردی را به روز کرد و ثابت کرد که برای کل کلاس اعداد اول کاربرد دارد. در اواسط قرن نوزدهم، ارنست کومر این را گسترش داد و قضیه را برای همه اعداد اول منظم ثابت کرد، که به موجب آن اعداد اول نامنظم به صورت جداگانه تجزیه و تحلیل شدند. بر اساس کار کومر و با استفاده از تحقیقات کامپیوتری پیچیده، ریاضی دانان دیگر توانستند حل قضیه را با هدف پوشش دادن تمام توان های اصلی تا چهار میلیون گسترش دهند، اما اثبات همه توان ها هنوز در دسترس نبود (یعنی ریاضیدانان معمولاً حل این قضیه را با دانش فعلی غیرممکن، بسیار دشوار یا دست نیافتنی می‌دانند.

کار شیمورا و تانیاما

در سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی مشکوک شدند که بین منحنی های بیضوی و اشکال مدولار، دو شاخه بسیار متفاوت از ریاضیات، ارتباط وجود دارد. در آن زمان به عنوان حدس تانیاما-شیمورا-ویل و (در نهایت) به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می شد، به تنهایی وجود داشت، بدون هیچ ارتباط ظاهری با آخرین قضیه فرما. خود به طور گسترده ای به عنوان یک قضیه ریاضی مهم در نظر گرفته می شد، اما اثبات آن (مانند قضیه فرما) غیرممکن تلقی می شد. در آندر همان زمان، اثبات آخرین قضیه فرما (با تقسیم و اعمال فرمول های پیچیده ریاضی) تنها نیم قرن بعد انجام شد.

در سال 1984، گرهارد فری متوجه ارتباط آشکاری بین این دو مشکل نامرتبط و حل نشده قبلی شد. تاییدی کامل مبنی بر اینکه این دو قضیه ارتباط نزدیکی با هم دارند در سال 1986 توسط کن ریبت منتشر شد که بر اساس یک اثبات جزئی توسط ژان پیر سرا، که به جز یک بخش تمام آن را ثابت کرد، معروف به "فرضیه اپسیلون" بود. به بیان ساده، این آثار فری، سرا و ریبه نشان دادند که اگر قضیه مدولاریت حداقل برای یک کلاس نیمه‌پایدار از منحنی‌های بیضوی قابل اثبات باشد، آن‌گاه اثبات آخرین قضیه فرما نیز دیر یا زود کشف می‌شود. هر راه حلی که بتواند با آخرین قضیه فرما در تضاد باشد، می تواند برای تناقض با قضیه مدولاریت نیز استفاده شود. بنابراین، اگر قضیه مدولاریت درست بود، طبق تعریف نمی‌توان راه‌حلی وجود داشت که با آخرین قضیه فرما در تضاد باشد، به این معنی که باید به زودی ثابت می‌شد.

اگرچه هر دو قضیه مسائل سختی در ریاضیات بودند و غیرقابل حل تلقی می شدند، کار این دو ژاپنی اولین پیشنهادی بود که چگونه می توان آخرین قضیه فرما را برای همه اعداد، نه فقط برای برخی، بسط و اثبات کرد. برای محققینی که موضوع مطالعه را انتخاب کردند، مهم این بود که بر خلاف آخرین قضیه فرما، قضیه مدولاریت حوزه اصلی تحقیق بود که برای آنشواهد، و نه فقط عجیب و غریب تاریخی، ایجاد شد، بنابراین زمان صرف شده برای کار او می تواند از دیدگاه حرفه ای توجیه شود. با این حال، اجماع عمومی این بود که حل حدس تانیاما-شیمورا نامناسب بود.

آخرین قضیه مزرعه: اثبات وایلز

پس از اینکه ریبت صحت نظریه فری را ثابت کرده است، ریاضیدان انگلیسی، اندرو وایلز، که از کودکی به آخرین قضیه فرما علاقه مند بوده و تجربه کار با منحنی های بیضوی و حوزه های مجاور را دارد، تصمیم گرفت تا برای اثبات تانیاما-شیمورا تلاش کند. حدس به عنوان راهی برای اثبات آخرین قضیه فرما. در سال 1993، شش سال پس از اعلام هدفش، وایلز در حالی که مخفیانه بر روی مسئله حل قضیه کار می کرد، موفق شد حدسی مربوط به آن را اثبات کند، که به نوبه خود به او کمک می کرد آخرین قضیه فرما را اثبات کند. سند وایلز از نظر اندازه و وسعت بسیار بزرگ بود.

یک نقص در بخشی از مقاله اصلی او در طی بررسی همتایان کشف شد و به یک سال دیگر همکاری با ریچارد تیلور برای حل مشترک قضیه نیاز داشت. در نتیجه، اثبات نهایی وایلز برای آخرین قضیه فرما دیری نپایید. در سال 1995، آن را در مقیاس بسیار کوچکتر از کار ریاضی قبلی وایلز منتشر شد، که نشان می دهد او در نتیجه گیری های قبلی خود در مورد امکان اثبات قضیه اشتباه نکرده است. دستاورد وایلز به طور گسترده در مطبوعات عمومی منتشر شد و در کتاب ها و برنامه های تلویزیونی رایج شد. قسمت های باقی مانده از حدس تانیاما-شیمورا-ویل که اکنون ثابت شده اند وکه به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می شود، متعاقباً توسط ریاضیدانان دیگری که بر اساس کار وایلز بین سال های 1996 و 2001 ساخته شده بودند، اثبات شد. وایلز برای موفقیت خود مورد تجلیل قرار گرفت و جوایز متعددی از جمله جایزه آبل 2016 دریافت کرد.

اثبات وایلز برای آخرین قضیه فرما، مورد خاصی از حل قضیه مدولاریت برای منحنی های بیضوی است. با این حال، این معروف ترین مورد از چنین عملیات ریاضی در مقیاس بزرگ است. این ریاضیدان انگلیسی همراه با حل قضیه ریب، به اثبات آخرین قضیه فرما نیز دست یافت. آخرین قضیه فرما و قضیه مدولاریت تقریباً به طور کلی توسط ریاضیدانان مدرن غیرقابل اثبات تلقی می شد، اما اندرو وایلز توانست به جهان علم ثابت کند که حتی صاحب نظران نیز می توانند اشتباه کنند.

Wyles اولین بار کشف خود را در چهارشنبه 23 ژوئن 1993 در یک سخنرانی کمبریج با عنوان "فرم های مدولار، منحنی های بیضوی و بازنمایی های گالوا" اعلام کرد. اما در سپتامبر 1993 مشخص شد که محاسبات وی دارای خطا بوده است. یک سال بعد، در 19 سپتامبر 1994، در آنچه که او آن را "مهم ترین لحظه زندگی کاری خود" می نامید، وایلز به طور تصادفی به مکاشفه ای برخورد کرد که به او اجازه داد راه حل مسئله را تا جایی حل کند که بتواند مسائل ریاضی را برآورده کند. انجمن.

شرح کار

اثبات قضیه فرما توسط اندرو وایلز از روش‌های زیادی از هندسه جبری و نظریه اعداد استفاده می‌کند و دارای انشعابات زیادی در این موارد است.حوزه های ریاضی او همچنین از ساختارهای استاندارد هندسه جبری مدرن، مانند مقوله طرح‌ها و نظریه ایواساوا، و نیز روش‌های دیگر قرن بیستم استفاده می‌کند که در دسترس پیر دو فرما نبود.

دو مقاله حاوی شواهد 129 صفحه هستند و در طول هفت سال نوشته شده اند. جان کوتس این کشف را یکی از بزرگترین دستاوردهای نظریه اعداد توصیف کرد و جان کانوی آن را بزرگترین دستاورد ریاضی قرن بیستم خواند. وایلز، به منظور اثبات آخرین قضیه فرما با اثبات قضیه مدولاریت برای حالت خاص منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، روش‌های قدرتمندی برای بالا بردن مدولاریته ایجاد کرد و رویکردهای جدیدی را برای مسائل متعدد دیگر گشود. برای حل آخرین قضیه فرما، او شوالیه شد و جوایز دیگری دریافت کرد. وقتی مشخص شد که وایلز جایزه آبل را برده است، آکادمی علوم نروژ دستاورد او را به عنوان "اثباتی لذت بخش و ابتدایی برای آخرین قضیه فرما" توصیف کرد.

چطور بود

یکی از افرادی که نسخه خطی اصلی وایلز را با حل قضیه بررسی کرد، نیک کاتز بود. در جریان بررسی خود، او از بریتانیایی تعدادی سؤال روشن‌کننده پرسید که وایلز را وادار کرد تا بپذیرد که کار او به وضوح حاوی یک شکاف است. در یکی از بخش‌های مهم اثبات، خطایی رخ داد که تخمینی را برای ترتیب یک گروه خاص ارائه می‌کرد: سیستم اویلر که برای گسترش روش کولی‌واژین و فلاش استفاده می‌شد، ناقص بود. با این حال، این اشتباه کار او را بی فایده نکرد - هر قطعه از کارهای وایلز به خودی خود بسیار مهم و مبتکرانه بود، همانطور که بسیاری از آنها بودند.تحولات و روش هایی که او در جریان کار خود ایجاد کرد و تنها یک قسمت از نسخه خطی را تحت تأثیر قرار داد. با این حال، این اثر اصلی که در سال 1993 منتشر شد، واقعاً اثباتی برای آخرین قضیه فرما نداشت.

وایلز تقریباً یک سال در تلاش برای کشف مجدد راه حلی برای قضیه بود، ابتدا به تنهایی و سپس با همکاری شاگرد سابق خود ریچارد تیلور، اما به نظر می رسید همه چیز بیهوده بود. در پایان سال 1993، شایعاتی مبنی بر اینکه اثبات وایلز در آزمایش شکست خورده بود، منتشر شد، اما مشخص نبود که این شکست چقدر جدی است. ریاضیدانان شروع به اعمال فشار بر ویلز کردند تا جزئیات کار خود را فاش کند، چه انجام شده باشد یا نه، تا جامعه وسیع‌تری از ریاضیدانان بتوانند هر آنچه را که او می‌توانست به دست آورد، کشف و استفاده کنند. وایلز به جای تصحیح سریع اشتباه خود، فقط جنبه های دشوار دیگری را در اثبات آخرین قضیه فرما کشف کرد و در نهایت متوجه شد که چقدر دشوار است.

وایلز بیان می کند که در صبح روز 19 سپتامبر 1994 در آستانه تسلیم شدن و تسلیم شدن قرار داشت و تقریباً به شکست تسلیم شده بود. او آماده بود تا کار ناتمام خود را منتشر کند تا دیگران بتوانند روی آن کار کنند و بفهمند کجا اشتباه کرده است. ریاضیدان انگلیسی تصمیم گرفت آخرین فرصت را به خود بدهد و این قضیه را برای آخرین بار تجزیه و تحلیل کرد تا دلایل اصلی کار نکردن رویکردش را بفهمد، وقتی ناگهان متوجه شد که رویکرد کولیواژین-فلاک تا زمانی که او کار نکند، کار نخواهد کرد.همچنین نظریه ایواساوا را در فرآیند اثبات گنجانده و آن را عملی می کند.

در 6 اکتبر، وایلز از سه همکار (از جمله فالتینز) خواست تا کار جدیدش را بررسی کنند، و در 24 اکتبر 1994، دو نسخه خطی - "منحنی های بیضوی مدولار و آخرین قضیه فرما" و "ویژگی های نظری حلقه ای از چند جبر هکی"، که وایلز دومی را با همکاری تیلور نوشت و ثابت کرد که شرایط خاصی برای توجیه مرحله تصحیح شده در مقاله اصلی وجود دارد.

این دو مقاله بررسی شدند و در نهایت به عنوان یک نسخه متن کامل در سالنامه ریاضیات می 1995 منتشر شدند. محاسبات جدید اندرو به طور گسترده مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و در نهایت توسط جامعه علمی پذیرفته شد. در این مقالات، قضیه مدولاریت برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار ایجاد شد - آخرین گام برای اثبات آخرین قضیه فرما، 358 سال پس از ایجاد آن.

تاریخچه مشکل بزرگ

حل این قضیه قرن هاست که بزرگترین مشکل در ریاضیات در نظر گرفته شده است. در سال 1816 و در سال 1850 آکادمی علوم فرانسه جایزه ای برای اثبات کلی آخرین قضیه فرما ارائه کرد. در سال 1857، آکادمی 3000 فرانک و یک مدال طلا به کومر برای تحقیقاتش در مورد اعداد ایده آل اعطا کرد، اگرچه او برای این جایزه درخواست نکرد. جایزه دیگری در سال 1883 توسط آکادمی بروکسل به او پیشنهاد شد.

جایزه Wolfskell

در سال 1908، پل ولفسکل، صنعتگر و ریاضیدان آماتور آلمانی، 100000 مارک طلا (مقدار زیادی برای آن زمان) وصیت کرد.آکادمی علوم گوتینگن، به طوری که این پول جایزه ای برای اثبات کامل آخرین قضیه فرما شود. در 27 ژوئن 1908، آکادمی نه قانون جایزه را منتشر کرد. از جمله، این قوانین مستلزم این بود که اثبات در یک مجله معتبر منتشر شود. قرار بود این جایزه تنها دو سال پس از انتشار اعطا شود. این رقابت قرار بود در 13 سپتامبر 2007 - حدود یک قرن پس از شروع آن - منقضی شود. در 27 ژوئن 1997، ویلز جایزه ولفشل و سپس 50000 دلار دیگر را دریافت کرد. در مارس 2016، او 600000 یورو از دولت نروژ به عنوان بخشی از جایزه آبل برای «اثبات شگفت‌انگیز آخرین قضیه فرما با کمک حدس مدولاریت برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، که عصر جدیدی را در نظریه اعداد باز می‌کند» دریافت کرد. این پیروزی جهانی مرد فروتن انگلیسی بود.

قبل از اثبات وایلز، قضیه فرما، همانطور که قبلاً ذکر شد، برای قرن ها مطلقاً غیرقابل حل تلقی می شد. هزاران مدرک نادرست در زمان‌های مختلف به کمیته Wolfskell ارائه شد که به اندازه تقریبی 10 فوت (3 متر) مکاتبات بود. تنها در سال اول وجود جایزه (1907-1908) 621 درخواست برای حل قضیه ارائه شد، اگرچه در دهه 1970 تعداد آنها به حدود 3-4 برنامه در ماه کاهش یافت. به گفته F. Schlichting، بازبین Wolfschel، بیشتر شواهد مبتنی بر روش های ابتدایی تدریس شده در مدارس بوده و اغلب به عنوان "افراد با پیشینه فنی اما مشاغل ناموفق" ارائه شده است. به گفته مورخ ریاضیات هاوارد ایوز، آخرینقضیه فرما نوعی رکورد ثبت کرده است - این قضیه با بیشترین تعداد اثبات نادرست است.

جایزه مزرعه به ژاپنی ها رسید

همانطور که قبلاً ذکر شد، در حدود سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی، یک ارتباط احتمالی بین دو شاخه ظاهراً کاملاً متفاوت از ریاضیات - منحنی های بیضوی و اشکال مدولار - کشف کردند. قضیه مدولاریت حاصل (که در آن زمان به عنوان حدس تانیاما-شیمورا شناخته می شد) بیان می کند که هر منحنی بیضوی مدولار است، به این معنی که می تواند با یک شکل مدولار منحصر به فرد مرتبط شود.

این نظریه در ابتدا به عنوان بعید یا بسیار گمانه زنی رد شد، اما زمانی که نظریه پرداز اعداد، آندره ویل شواهدی برای حمایت از نتیجه گیری های ژاپنی یافت، جدی تر تلقی شد. در نتیجه، این فرضیه اغلب به عنوان فرضیه تانیاما-شیمورا-ویل نامیده می شود. او بخشی از برنامه Langlands شد، که فهرستی از فرضیه های مهمی است که باید در آینده ثابت شوند.

حتی پس از بررسی جدی، این حدس توسط ریاضیدانان مدرن به عنوان بسیار دشوار، یا شاید غیرقابل دسترس برای اثبات شناخته شده است. اکنون این قضیه خاص منتظر اندرو وایلز خود است که می تواند با حل خود تمام جهان را شگفت زده کند.

قضیه فرمت: اثبات پرلمن

علی رغم افسانه رایج، گریگوری پرلمن، ریاضیدان روسی، با همه نبوغ خود، هیچ ارتباطی با قضیه فرما ندارد. که اما به هیچ وجه از آن کم نمی کند.کمک های متعدد به جامعه علمی.