مطالعه کمی دینامیک و سینماتیک حرکت دورانی مستلزم آگاهی از ممان اینرسی یک نقطه مادی و یک جسم صلب نسبت به محور چرخش است. ما در مقاله در نظر خواهیم گرفت که در مورد چه پارامتری صحبت می کنیم و همچنین فرمولی برای تعیین آن ارائه می دهیم.
اطلاعات عمومی در مورد کمیت فیزیکی
ابتدا اجازه دهید لحظه اینرسی یک نقطه مادی و یک جسم صلب را تعریف کنیم و سپس نشان دهیم که چگونه باید در حل مسائل عملی از آن استفاده کرد.
در مشخصه فیزیکی مشخص شده برای نقطه ای با جرم m که حول محور در فاصله r می چرخد، مقدار زیر منظور می شود:
I=mr².
از جایی که چنین می شود که واحد اندازه گیری پارامتر مورد مطالعه کیلوگرم بر متر مربع (kgm²) است.
اگر به جای یک نقطه حول یک محور، جسمی با شکل پیچیده بچرخد که دارای توزیع دلخواه جرم در درون خود است، ممان اینرسی آن تعیین می شود.بنابراین:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
جایی که ρ چگالی بدن است. با استفاده از فرمول انتگرال، می توانید مقدار I را برای مطلقاً هر سیستم چرخشی تعیین کنید.
ممان اینرسی دقیقاً همان معنایی را برای چرخش دارد که جرم برای حرکت انتقالی دارد. به عنوان مثال، همه می دانند که چرخاندن یک کف شوی حول محوری که از دسته آن می گذرد، راحت تر از یک محور عمود بر آن است. این به این دلیل است که ممان اینرسی در حالت اول بسیار کمتر از حالت دوم است.
من برای اجسام با اشکال مختلف ارزش قائل هستم
هنگام حل مسائل در فیزیک برای چرخش، اغلب لازم است که لحظه اینرسی جسمی با شکل هندسی خاص، به عنوان مثال، برای یک استوانه، توپ یا میله را بدانیم. اگر فرمول نوشته شده در بالا را برای I اعمال کنیم، به راحتی می توان عبارت مربوطه را برای تمام اجسام علامت گذاری شده به دست آورد. در زیر فرمول برخی از آنها آمده است:
میله: I=1 / 12ML²;
سیلندر: I=1/2MR²;
کره: I=2 / 5MR².
در اینجا من برای محور چرخش، که از مرکز جرم بدن می گذرد، آورده شده است. در مورد یک استوانه، محور موازی با مولد شکل است. ممان اینرسی برای سایر اجسام هندسی و گزینه هایی برای مکان محورهای چرخش را می توان در جداول مربوطه یافت. توجه داشته باشید که برای تعیین I شکل های مختلف فقط یک پارامتر هندسی و جرم بدن را بدانید.
قضیه و فرمول اشتاینر
اگر محور چرخش در فاصله‌ای از جسم قرار گرفته باشد، ممان اینرسی را می‌توان تعیین کرد. برای انجام این کار، باید طول این قطعه و مقدار I
O بدن را نسبت به محوری که از مرکز جرم آن می گذرد، بدانید که باید موازی با محور زیر باشد. توجه. برقراری ارتباط بین پارامتر IO و مقدار مجهول I در قضیه اشتاینر ثابت است. ممان اینرسی یک نقطه مادی و یک جسم صلب از نظر ریاضی به صورت زیر نوشته می شود:
I=IO+ Mh2.
در اینجا M جرم بدن است، h فاصله از مرکز جرم تا محور چرخش است که نسبت به آن محاسبه I ضروری است. این عبارت به راحتی به دست می آید. از فرمول انتگرال برای I استفاده کنید و در نظر بگیرید که تمام نقاط بدن در فواصل r=r0 + h.
قضیه اشتاینر تعریف I را برای بسیاری از موقعیت های عملی بسیار ساده می کند. به عنوان مثال، اگر باید I را برای میله ای به طول L و جرم M نسبت به محوری که از انتهای آن می گذرد پیدا کنید، با اعمال قضیه اشتاینر می توانید بنویسید:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
می توانید به جدول مربوطه مراجعه کنید و ببینید که دقیقاً حاوی این فرمول برای یک میله نازک با محور چرخش در انتهای آن است.
معادله لحظه
در فیزیک چرخش فرمولی به نام معادله گشتاورها وجود دارد. به نظر می رسد:
M=منα.
در اینجا M لحظه نیرو است، α شتاب زاویه ای است. همانطور که می بینید ممان اینرسی یک نقطه مادی و یک جسم صلب و ممان نیرو به صورت خطی با یکدیگر مرتبط هستند. مقدار M امکان اعمال نیروی F را برای ایجاد یک حرکت چرخشی با شتاب α در سیستم تعیین می کند. برای محاسبه M، از عبارت ساده زیر استفاده کنید:
M=FD.
جایی که d شانه لحظه است که برابر با فاصله بردار نیرو F تا محور چرخش است. هرچه بازوی d کوچکتر باشد، نیروی نیروی کمتری برای ایجاد چرخش در سیستم خواهد داشت.
معادله گشتاورها در معنای خود کاملاً با قانون دوم نیوتن مطابقت دارد. در این مورد، من نقش جرم اینرسی را بازی می کنم.
نمونه ای از حل مسئله
بیایید سیستمی را تصور کنیم که یک استوانه است که روی یک محور عمودی با یک میله افقی بی وزن ثابت شده است. مشخص است که محور چرخش و محور اصلی استوانه موازی یکدیگر هستند و فاصله بین آنها 30 سانتی متر است جرم استوانه 1 کیلوگرم و شعاع آن 5 سانتی متر است نیروی 10 مماس N بر مسیر چرخش روی شکلی که بردار آن از محور اصلی استوانه می گذرد اثر می کند. باید شتاب زاویه ای شکل را که این نیرو ایجاد می کند تعیین کرد.
ابتدا اجازه دهید ممان اینرسی سیلندر I را محاسبه کنیم. برای انجام این کار، قضیه اشتاینر را اعمال کنید، ما داریم:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10، 3²=0.09125 کیلوگرم متر مربع.
قبل از استفاده از معادله گشتاور، بایدگشتاور نیروی M را تعیین کنید. در این حالت، داریم:
M=Fd=100، 3=3 Nm.
اکنون می توانید شتاب را تعیین کنید:
α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 rad/s².
شتاب زاویه ای محاسبه شده نشان می دهد که در هر ثانیه سرعت سیلندر 5.2 دور در ثانیه افزایش می یابد.
