اگر حرکت خطی اجسام در مکانیک کلاسیک با استفاده از قوانین نیوتن توصیف شود، ویژگی های حرکت سیستم های مکانیکی در امتداد مدارهای دایره ای با استفاده از یک عبارت خاص محاسبه می شود که معادله گشتاور نامیده می شود. در مورد چه لحظاتی صحبت می کنیم و معنای این معادله چیست؟ این و سؤالات دیگر در مقاله نشان داده شده است.
لحظه نیرو
همه به خوبی از نیروی نیوتنی آگاه هستند، نیرویی که بر روی بدن تأثیر می گذارد و منجر به ایجاد شتاب به آن می شود. هنگامی که چنین نیرویی به جسمی که روی یک محور چرخش معین ثابت است وارد شود، معمولاً این مشخصه را ممان نیرو می نامند. معادله گشتاور نیرو را می توان به صورت زیر نوشت:
M¯=L¯F¯
تصویر توضیح دهنده این عبارت در زیر نشان داده شده است.
در اینجا می توانید ببینید که نیروی F¯ به بردار L¯ با زاویه Φ هدایت می شود. فرض بر این است که بردار L به خودی خود از محور چرخش (که با فلش نشان داده شده است) به نقطه کاربرد هدایت می شود. F¯.
فرمول بالا حاصل ضرب دو بردار است، بنابراین M¯ نیز جهت دار است. لحظه نیروی M¯ به کجا خواهد چرخید؟ این را می توان با قانون دست راست تعیین کرد (چهار انگشت در طول مسیر از انتهای بردار L¯ تا انتهای F¯ هدایت می شوند و شست چپ جهت M¯ را نشان می دهد).
در شکل بالا، عبارت لحظه نیرو به شکل اسکالر به شکل زیر خواهد بود:
M=LFsin(Φ)
اگر به شکل دقیق نگاه کنید، می توانید ببینید که Lsin(Φ)=d، سپس فرمول را داریم:
M=dF
مقدار d یک مشخصه مهم در محاسبه ممان نیرو است، زیرا منعکس کننده اثربخشی F اعمال شده به سیستم است. این مقدار اهرم نیرو نامیده می شود.
معنای فیزیکی M در توانایی نیرو برای چرخش سیستم نهفته است. هرکسی اگر در را با دستگیره باز کند، آن را نزدیک لولا فشار دهد، یا بخواهد مهره را با یک کلید کوتاه و بلند باز کند، می تواند این توانایی را احساس کند.
تعادل سیستم
مفهوم گشتاور نیرو هنگام در نظر گرفتن تعادل سیستمی که توسط نیروهای متعدد بر روی آن تأثیر می گذارد و دارای یک محور یا نقطه چرخش است بسیار مفید است. در چنین مواردی، فرمول را اعمال کنید:
∑iMi¯=0
یعنی سیستم در حالت تعادل خواهد بود اگر مجموع تمام گشتاورهای نیروهای وارد شده به آن صفر باشد. توجه داشته باشید که در این فرمول یک علامت برداری بیش از لحظه وجود دارد، یعنی هنگام حل، نباید فراموش کرد که علامت این را در نظر گرفت.مقادیر. قانون پذیرفته شده عمومی این است که نیروی عملی که سیستم را در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخاند، Mi¯ مثبت ایجاد می کند.
یک مثال بارز از این نوع مشکلات، مشکلات تعادل اهرم های ارشمیدس است.
لحظه حرکت
این یکی دیگر از ویژگی های مهم حرکت دایره ای است. در فیزیک، آن را حاصل ضرب حرکت و اهرم توصیف می کنند. معادله تکانه به این صورت است:
T¯=r¯p¯
در اینجا p¯ بردار تکانه است، r¯ بردار اتصال نقطه ماده دوار با محور است.
شکل زیر این عبارت را نشان می دهد.
در اینجا ω سرعت زاویه ای است که بیشتر در معادله گشتاور ظاهر می شود. توجه داشته باشید که جهت بردار T¯ با همان قانون M¯ پیدا می شود. در شکل بالا، T¯ در جهت با بردار سرعت زاویه ای ω¯ منطبق است.
معنای فیزیکی T¯ همانند ویژگی های p¯ در مورد حرکت خطی است، یعنی تکانه زاویه ای مقدار حرکت چرخشی (انرژی جنبشی ذخیره شده) را توصیف می کند.
لحظه اینرسی
سومین مشخصه مهم که بدون آن نمی توان معادله حرکت یک جسم در حال چرخش را فرموله کرد، ممان اینرسی است. در فیزیک در نتیجه تبدیل های ریاضی فرمول تکانه زاویه ای یک نقطه مادی ظاهر می شود. بیایید به شما نشان دهیم چگونه این کار انجام می شود.
بیایید ارزش را تصور کنیمT¯ به شرح زیر است:
T¯=r¯mv¯، جایی که p¯=mv¯
با استفاده از رابطه بین سرعت های زاویه ای و خطی، می توانیم این عبارت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
T¯=r¯mr¯ω¯، جایی که v¯=r¯ω¯
آخرین عبارت را به صورت زیر بنویسید:
T¯=r2mω¯
مقدار r2m گشتاور اینرسی I برای نقطه ای به جرم m است که حول محوری در فاصله r از آن حرکت دایره ای انجام می دهد. این مورد خاص به ما اجازه می دهد تا معادله کلی ممان اینرسی را برای جسمی با شکل دلخواه معرفی کنیم:
I=∫m (r2dm)
I یک کمیت افزایشی است که معنای آن در اینرسی سیستم دوار است. هر چه من بزرگتر باشم، چرخاندن بدن دشوارتر است و برای متوقف کردن آن تلاش قابل توجهی لازم است.
معادله لحظه
سه مقدار در نظر گرفتیم که نام آنها با کلمه "لحظه" شروع می شود. این به عمد انجام شد، زیرا همه آنها در یک عبارت به نام معادله 3 لحظه ای به هم متصل هستند. بیایید آن را بیرون بیاوریم.
عبارت حرکت زاویه ای را در نظر بگیرید T¯:
T¯=Iω¯
پیدا کنید که چگونه مقدار T¯ در زمان تغییر می کند، ما داریم:
dT¯/dt=Idω¯/dt
با توجه به اینکه مشتق سرعت زاویه ای برابر است با سرعت خطی تقسیم بر r، و با گسترش مقدار I، به عبارت:
می رسیم.
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯، که در آن a¯=dv¯/dt شتاب خطی است.
توجه داشته باشید که حاصل ضرب جرم و شتاب چیزی نیست جز نیروی خارجی فعال F¯. در نتیجه، دریافت می کنیم:
dT¯/dt=rF¯=M¯
به یک نتیجه جالب رسیدیم: تغییر در تکانه زاویه ای برابر با لحظه نیروی خارجی است. این عبارت معمولاً به شکل کمی متفاوت نوشته می شود:
M¯=Iα¯، که در آن α¯=dω¯/dt - شتاب زاویه ای.
این برابری را معادله گشتاور می نامند. این به شما امکان می دهد تا با دانستن پارامترهای سیستم و میزان تأثیر خارجی بر روی آن، هر مشخصه یک جسم دوار را محاسبه کنید.
قانون حفاظت T¯
نتیجه گیری به دست آمده در پاراگراف قبل نشان می دهد که اگر گشتاور خارجی نیروها برابر با صفر باشد، تکانه زاویه ای تغییر نخواهد کرد. در این حالت عبارت را می نویسیم:
T¯=ثابت. یا I1ω1¯=I2ω2 ¯
این فرمول قانون بقای T¯ نامیده می شود. یعنی، هر تغییری در سیستم، تکانه زاویه ای کل را تغییر نمی دهد.
این حقیقت توسط اسکیت بازها و بالرین ها در طول اجراهایشان استفاده می شود. همچنین در صورت لزوم چرخاندن یک ماهواره مصنوعی که در فضا حول محور خود حرکت می کند، استفاده می شود.
