وقتی باید مسائل فیزیک را در مورد حرکت اجسام حل کنید، اغلب به نظر می رسد که استفاده از قانون بقای تکانه مفید است. تکانه حرکت خطی و دایره ای بدن چیست و ماهیت قانون بقای این مقدار چیست، در مقاله مورد بحث قرار گرفته است.
مفهوم تکانه خطی
داده های تاریخی نشان می دهد که برای اولین بار این ارزش در آثار علمی او توسط گالیله گالیله در آغاز قرن هفدهم مورد توجه قرار گرفت. متعاقبا، آیزاک نیوتن توانست مفهوم تکانه (نام صحیح تری برای تکانه) را به طور هماهنگ در نظریه کلاسیک حرکت اجسام در فضا ادغام کند.
تکانه را به صورت p¯ نشان دهید، سپس فرمول محاسبه آن به صورت: نوشته می شود
p¯=mv¯.
در اینجا m جرم است، v¯ سرعت (مقدار برداری) حرکت است. این برابری نشان می دهد که مقدار حرکت، مشخصه سرعت یک جسم است، جایی که جرم نقش یک ضریب ضرب را بازی می کند. تعداد حرکتیک کمیت برداری است که در جهت همان سرعت است.
به طور شهودی، هر چه سرعت حرکت و جرم بدن بیشتر باشد، متوقف کردن آن دشوارتر است، یعنی انرژی جنبشی آن بیشتر است.
میزان حرکت و تغییر آن
می توانید حدس بزنید که برای تغییر مقدار p بدن، باید مقداری نیرو اعمال کنید. اجازه دهید نیروی F¯ در بازه زمانی Δt عمل کند، سپس قانون نیوتن به ما اجازه می دهد برابری را بنویسیم:
F¯Δt=ma¯Δt; بنابراین F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
مقدار برابر حاصل ضرب فاصله زمانی Δt و نیروی F¯ ضربه این نیرو نامیده می شود. از آنجایی که به نظر می رسد برابر با تغییر تکانه است، دومی اغلب به سادگی تکانه نامیده می شود، که نشان می دهد که نیروی خارجی F¯ آن را ایجاد کرده است.
بنابراین، دلیل تغییر تکانه، تکانه نیروی خارجی است. مقدار Δp¯ می تواند هم به افزایش مقدار p¯ منجر شود اگر زاویه بین F¯ و p¯ تند باشد و هم به کاهش مدول p¯ اگر این زاویه منفرد باشد. ساده ترین موارد شتاب جسم (زاویه بین F¯ و p¯ صفر است) و کاهش سرعت آن (زاویه بین بردارهای F¯ و p¯ 180o است).
وقتی تکانه حفظ می شود: قانون
اگر سیستم بدن نیستنیروهای خارجی عمل می کنند و تمام فرآیندهای موجود در آن فقط توسط تعامل مکانیکی اجزای آن محدود می شود، سپس هر جزء از تکانه برای مدت طولانی خودسرانه بدون تغییر باقی می ماند. این قانون بقای حرکت اجسام است که از نظر ریاضی به صورت زیر نوشته می شود:
p¯=∑ipi¯=const or
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=Const.
زیرنویس i یک عدد صحیح است که شیء سیستم را برمی شمارد و شاخص های x، y، z اجزای تکانه هر یک از محورهای مختصات در سیستم مستطیلی دکارتی را توصیف می کنند.
در عمل اغلب برای برخورد اجسام، زمانی که شرایط اولیه مشخص است، حل مسائل تک بعدی ضروری است و لازم است وضعیت سیستم پس از ضربه مشخص شود. در این مورد، تکانه همیشه حفظ می شود، که نمی توان در مورد انرژی جنبشی گفت. مورد دوم قبل و بعد از ضربه فقط در یک مورد بدون تغییر خواهد بود: زمانی که یک تعامل کاملاً کشسان وجود دارد. برای این مورد از برخورد دو جسم که با سرعت های v1 و v2 حرکت می کنند، فرمول بقای تکانه شکل خواهد گرفت:.
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
در اینجا، سرعت u1 و u2 حرکت اجسام پس از برخورد را مشخص می کند. توجه داشته باشید که در این شکل از قانون بقا، باید علامت سرعت ها را در نظر گرفت: اگر آنها به سمت یکدیگر هدایت شوند، باید یکی را گرفت.مثبت و دیگری منفی.
برای یک برخورد کاملاً غیر ارتجاعی (دو جسم پس از برخورد به هم می چسبند)، قانون بقای تکانه به شکل زیر است:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
حل مسئله قانون بقای p¯
بیایید مشکل زیر را حل کنیم: دو توپ به سمت یکدیگر می غلتند. جرم توپ ها یکسان است و سرعت آنها 5 متر بر ثانیه و 3 متر بر ثانیه است. با فرض اینکه یک برخورد کاملاً الاستیک وجود دارد، باید سرعت توپ ها را بعد از آن پیدا کرد.
با استفاده از قانون بقای حرکت برای حالت تک بعدی و با در نظر گرفتن اینکه انرژی جنبشی پس از ضربه حفظ می شود، می نویسیم:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
در اینجا به دلیل برابری توپ ها بلافاصله از حجم توپ ها کم کردیم و همچنین حرکت بدن ها به سمت یکدیگر را در نظر گرفتیم.
اگر داده های شناخته شده را جایگزین کنید، ادامه حل سیستم آسان تر است. دریافت می کنیم:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
با جایگزینی u1 در معادله دوم، دریافت می کنیم:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; از این رو،u22- 2u2 - 15=0.
ما معادله درجه دوم کلاسیک را به دست آوردیم. ما آن را از طریق تفکیک حل می کنیم، دریافت می کنیم:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
دو راه حل داریم. اگر آنها را در عبارت اول جایگزین کنیم و u1 را تعریف کنیم، مقدار زیر را دریافت می کنیم: u1=-3 m/s, u 2=5 متر بر ثانیه; u1=5 متر بر ثانیه، u2=-3 متر بر ثانیه. جفت دوم اعداد در شرایط مسئله داده شده است، بنابراین با توزیع واقعی سرعت ها پس از ضربه مطابقت ندارد.
بنابراین، تنها یک راه حل باقی می ماند: u1=-3 m/s، u2=5 m/s. این نتیجه عجیب به این معنی است که در یک برخورد الاستیک مرکزی، دو توپ با جرم مساوی به سادگی سرعت خود را مبادله می کنند.
لحظه حرکت
همه آنچه در بالا گفته شد به نوع حرکت خطی اشاره دارد. با این حال، معلوم می شود که مقادیر مشابهی را می توان در مورد جابجایی دایره ای اجسام حول یک محور خاص نیز معرفی کرد. تکانه زاویه ای که به آن تکانه زاویه ای نیز می گویند، حاصل ضرب بردار اتصال نقطه مادی با محور چرخش و تکانه این نقطه محاسبه می شود. یعنی فرمول صورت می گیرد:
L¯=r¯p¯، جایی که p¯=mv¯.
ممنتوم، مانند p¯، برداری است که عمود بر صفحه ساخته شده بر روی بردارهای r¯ و p¯ جهت دارد.
مقدار L¯ یک مشخصه مهم یک سیستم دوار است، زیرا انرژی ذخیره شده در آن را تعیین می کند.
لحظه حرکت و قانون حفاظت
اگر هیچ نیروی خارجی بر روی سیستم وارد نشود، تکانه زاویه ای حفظ می شود (معمولاً آنها می گویند که هیچ گشتاور نیرو وجود ندارد). عبارت در پاراگراف قبل، از طریق تبدیل های ساده، می تواند به شکلی راحت تر برای تمرین نوشته شود:
L¯=Iω¯، جایی که I=mr2 ممان اینرسی نقطه مادی است، ω¯ سرعت زاویه ای است.
لحظه اینرسی I که در عبارت ظاهر شد، دقیقاً همان معنایی را برای چرخش دارد که جرم معمول برای حرکت خطی است.
اگر هر گونه بازآرایی داخلی سیستم وجود داشته باشد که در آن من تغییر می کنم، ω¯ نیز ثابت نمی ماند. علاوه بر این، تغییر در هر دو کمیت فیزیکی به گونه ای رخ می دهد که برابری زیر معتبر باقی می ماند:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
این قانون بقای تکانه زاویه ای L¯ است. تجلی آن توسط هر فردی که حداقل یک بار در رقص باله یا اسکیت بازی شرکت کرده بود، مشاهده شد، جایی که ورزشکاران با چرخش پیروت را اجرا می کنند.
