گشتاور. گشتاور: فرمول. لحظه نیرو: تعریف

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

چرخش نوعی حرکت مکانیکی معمولی است که اغلب در طبیعت و فناوری یافت می شود. هر چرخشی در نتیجه اعمال نیروی خارجی بر روی سیستم مورد نظر ایجاد می شود. این نیرو به اصطلاح گشتاور ایجاد می کند. این که چیست، به چه چیزی بستگی دارد، در مقاله مورد بحث قرار گرفته است.

فرایند چرخش

قبل از در نظر گرفتن مفهوم گشتاور، بیایید سیستم هایی را که می توان این مفهوم را برای آنها اعمال کرد، مشخص کنیم. سیستم چرخش وجود محوری را در آن فرض می کند که یک حرکت دایره ای یا چرخشی حول آن انجام می شود. فاصله این محور تا نقاط مادی سیستم را شعاع چرخش می گویند.

از دیدگاه سینماتیک، فرآیند با سه مقدار زاویه ای مشخص می شود:

زاویه چرخش θ (اندازه‌گیری شده بر حسب رادیان)؛
سرعت زاویه ای ω (اندازه گیری شده بر حسب رادیان در ثانیه)؛
شتاب زاویه ای α (بر حسب رادیان در هر مربع اندازه گیری می شود).

این مقادیر به شرح زیر به یکدیگر مربوط می شوندبرابر است با:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt.

نمونه هایی از چرخش در طبیعت، حرکات سیارات در مدارشان و حول محورهایشان، حرکات گردبادها است. در زندگی روزمره و فناوری، حرکت مورد بحث برای موتورهای موتور، آچار، جرثقیل های ساختمانی، باز کردن درها و غیره معمول است.

تعیین لحظه نیرو

حالا بیایید به موضوع واقعی مقاله برویم. بر اساس تعریف فیزیکی، ممان نیرو حاصل ضرب برداری بردار اعمال نیرو نسبت به محور چرخش و بردار خود نیرو است. عبارت ریاضی مربوطه را می توان به صورت زیر نوشت:

M¯=[r¯F¯].

در اینجا بردار r¯ از محور چرخش به نقطه اعمال نیروی F¯ هدایت می شود.

در این فرمول گشتاور M¯، نیروی F¯ را می توان در هر جهتی نسبت به جهت محور هدایت کرد. با این حال، مؤلفه نیروی موازی محور، اگر محور به طور صلب ثابت باشد، چرخش ایجاد نمی کند. در بیشتر مسائل فیزیک، باید نیروهای F را در نظر گرفت که در صفحات عمود بر محور چرخش قرار دارند. در این موارد، مقدار مطلق گشتاور را می توان با فرمول زیر تعیین کرد:

|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).

جایی که β زاویه بین بردارهای r¯ و F¯ است.

اهرم چیست؟

اهرم نیرو نقش مهمی در تعیین مقدار لحظه نیرو دارد. برای درک آنچه در مورد آن صحبت می کنیم، در نظر بگیریدتصویر بعدی.

در اینجا مقداری میله به طول L را نشان می دهیم که توسط یکی از انتهای آن در نقطه محوری ثابت شده است. سر دیگر توسط یک نیروی F که در زاویه حاد φ هدایت می شود، وارد می شود. با توجه به تعریف لحظه نیرو می توان نوشت:

M=FLsin(180^o-φ).

زاویه (180^o-φ) ظاهر شد زیرا بردار L¯ از انتهای ثابت به انتهای آزاد هدایت می شود. با توجه به تناوب تابع سینوس مثلثاتی، می توانیم این برابری را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

M=FLsin(φ).

حالا بیایید به مثلث قائم الزاویه ای که روی اضلاع L، d و F ساخته شده است توجه کنیم. با تعریف تابع سینوس، حاصلضرب هیپوتانوس L و سینوس زاویه φ مقدار پایه d را به دست می دهد. سپس به برابری می رسیم:

M=Fd.

مقدار خطی d را اهرم نیرو می نامند. برابر است با فاصله بردار نیرو F¯ تا محور چرخش. همانطور که از فرمول مشاهده می شود، استفاده از مفهوم اهرم نیرو هنگام محاسبه گشتاور M راحت است. فرمول حاصل می گوید که حداکثر گشتاور برای مقداری نیروی F تنها زمانی رخ می دهد که طول بردار شعاع r¯ (L¯ در شکل بالا) برابر است با اهرم نیرو، یعنی r¯ و F¯ متقابل عمود خواهند بود.

جهت M¯

در بالا نشان داده شد که گشتاور یک مشخصه برداری برای یک سیستم معین است. این وکتور به کجا هدایت می شود؟ به این سوال جواب منفی بدهیدبه ویژه دشوار است اگر به یاد داشته باشیم که حاصل حاصل ضرب دو بردار بردار سوم است که روی محوری عمود بر صفحه بردارهای اصلی قرار دارد.

باقی مانده است که تصمیم بگیریم که آیا لحظه نیرو نسبت به صفحه مذکور به سمت بالا یا پایین (به سمت یا دور از خواننده) هدایت می شود. شما می توانید این را با قانون gimlet یا با استفاده از قانون دست راست تعیین کنید. در اینجا هر دو قانون وجود دارد:

قانون دست راست. اگر دست راست را طوری قرار دهید که چهار انگشت آن از ابتدای بردار r به انتهای آن و سپس از ابتدای بردار F به انتهای آن حرکت کنند، آنگاه شست که بیرون زده است، نشان دهنده جهت لحظه M¯.
قانون Gimlet. اگر جهت چرخش یک گیره خیالی با جهت حرکت چرخشی سیستم منطبق باشد، آنگاه حرکت انتقالی گیملت جهت بردار M را نشان می دهد. به یاد داشته باشید که فقط در جهت عقربه های ساعت می چرخد.

هر دو قانون برابر هستند، بنابراین هرکسی می تواند از یکی که برای او راحت تر است استفاده کند.

هنگام حل مسائل عملی، جهت های مختلف گشتاور (بالا - پایین، چپ - راست) با استفاده از علائم "+" یا "-" در نظر گرفته می شود. باید به خاطر داشت که جهت مثبت لحظه M¯ در نظر گرفته می شود که منجر به چرخش سیستم در خلاف جهت عقربه های ساعت می شود. بر این اساس، اگر نیرویی منجر به چرخش سیستم در جهت ساعت شود، لحظه ایجاد شده توسط آن مقدار منفی خواهد داشت.

معنای فیزیکیمقادیر M¯

در فیزیک و مکانیک چرخش، مقدار M توانایی یک نیرو یا مجموع نیروها را برای چرخش تعیین می کند. از آنجایی که تعریف ریاضی کمیت M¯ نه تنها شامل نیرو، بلکه بردار شعاع کاربرد آن است، این دومی است که تا حد زیادی توانایی چرخشی ذکر شده را تعیین می کند. برای اینکه واضح تر شود در مورد چه توانایی صحبت می کنیم، در اینجا چند مثال آورده شده است:

هر فردی حداقل یک بار در زندگی خود سعی کرد در را باز کند، نه با گرفتن دستگیره، بلکه با فشار دادن آن به لولاها. در مورد دوم، باید تلاش قابل توجهی برای رسیدن به نتیجه دلخواه انجام دهید.
برای باز کردن پیچ مهره، از آچارهای مخصوص استفاده کنید. هرچه آچار بلندتر باشد، باز کردن مهره آسان‌تر است.
برای احساس اهمیت اهرم قدرت، از خوانندگان دعوت می کنیم آزمایش زیر را انجام دهند: صندلی را بردارید و سعی کنید آن را با یک دست روی وزن نگه دارید، در یک مورد، دست را به بدن تکیه دهید. دیگری، کار را روی یک بازوی مستقیم انجام دهید. دومی برای خیلی ها کار طاقت فرسا خواهد بود، اگرچه وزن صندلی ثابت مانده است.

واحد گشتاور نیرو

همچنین باید چند کلمه در مورد واحدهای SI که گشتاور در آنها اندازه گیری می شود گفت. طبق فرمولی که برای آن نوشته شده، بر حسب نیوتن بر متر (Nm) اندازه گیری می شود. با این حال، این واحدها کار و انرژی را در فیزیک نیز اندازه گیری می کنند (1 Nm=1 ژول). ژول لحظه M¯ اعمال نمی شود زیرا کار یک کمیت اسکالر است، در حالی که M¯ یک بردار است.

با این وجودانطباق واحدهای لحظه نیرو با واحدهای انرژی تصادفی نیست. کار روی چرخش سیستم، که در لحظه M انجام می شود، با فرمول محاسبه می شود:

A=Mθ.

از آنجایی که به دست می آوریم M را می توان در ژول بر رادیان (J/rad) نیز بیان کرد.

دینامیک چرخش

در ابتدای مقاله، ویژگی های سینماتیکی را که برای توصیف حرکت چرخش استفاده می شود، یادداشت کردیم. در دینامیک چرخشی، معادله اصلی که از این ویژگی ها استفاده می کند:

است.

M=Iα.

عمل لحظه M بر روی سیستمی با ممان اینرسی I منجر به ظهور شتاب زاویه ای α می شود.

این فرمول برای تعیین فرکانس های زاویه ای چرخش در فناوری استفاده می شود. به عنوان مثال با دانستن گشتاور یک موتور ناهمزمان که به فرکانس جریان در سیم پیچ استاتور و به بزرگی میدان مغناطیسی در حال تغییر بستگی دارد و همچنین با دانستن خواص اینرسی روتور دوار می توان تعیین کرد. روتور موتور در یک زمان مشخص t به چه سرعت چرخشی ω می چرخد.

نمونه ای از حل مسئله

یک اهرم بدون وزن به طول ۲ متر دارای تکیه گاه در وسط است. اگر در طرف دیگر تکیه گاه در فاصله 0.5 متری از آن جرم 10 کیلوگرمی قرار گرفته باشد، چه وزنی باید روی یک سر اهرم گذاشته شود تا در حالت تعادل باشد؟

بدیهی است که تعادل اهرم در صورتی حاصل می شود که ممان نیروهای ایجاد شده توسط بارها از نظر مقدار مطلق برابر باشند. قدرتی که ایجاد می کندلحظه در این مشکل، نشان دهنده وزن بدن است. اهرم های نیرو برابر است با فواصل وزنه ها تا تکیه گاه. بیایید تساوی مربوطه را بنویسیم: