لحظه نیرو. فرمول لحظه نیرو

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

در فیزیک، در نظر گرفتن مسائل مربوط به اجسام در حال چرخش یا سیستم هایی که در حالت تعادل هستند، با استفاده از مفهوم "لحظه نیرو" انجام می شود. این مقاله فرمول لحظه نیرو و همچنین استفاده از آن برای حل این نوع مسائل را در نظر می گیرد.

لحظه نیرو در فیزیک

همانطور که در مقدمه ذکر شد، این مقاله بر روی سیستم هایی تمرکز می کند که می توانند حول یک محور یا حول یک نقطه بچرخند. نمونه ای از چنین مدلی را که در شکل زیر نشان داده شده است در نظر بگیرید.

می بینیم که اهرم خاکستری روی محور چرخش ثابت است. در انتهای اهرم یک مکعب سیاه با مقداری جرم وجود دارد که روی آن نیرویی وارد می شود (فلش قرمز). به طور شهودی واضح است که نتیجه این نیرو، چرخش اهرم حول محور در خلاف جهت عقربه‌های ساعت خواهد بود.

گشتاور نیرو در فیزیک کمیتی است که برابر است با حاصل ضرب برداری شعاع اتصال محور چرخش و نقطه اعمال نیرو (بردار سبز در شکل) و نیروی خارجی. خود یعنی فرمول گشتاور نیرو حول محور نوشته شده استبه شرح زیر:

M¯=r¯F¯

نتیجه این محصول بردار M¯ است. جهت آن بر اساس دانش بردارهای ضریب، یعنی r¯ و F¯ تعیین می شود. با توجه به تعریف ضربدری، M¯ باید عمود بر صفحه تشکیل شده توسط بردارهای r¯ و F¯ باشد و مطابق با قانون دست راست هدایت شود (اگر چهار انگشت دست راست در امتداد ضرب اول قرار گیرند. بردار به سمت انتهای دوم، سپس انگشت شست نشان می دهد که بردار مورد نظر به کجا هدایت می شود). در شکل، می توانید ببینید که بردار M¯ به کجا جهت است (فلش آبی).

نشانگذاری اسکالر M¯

در شکل پاراگراف قبل، نیرو (فلش قرمز) با زاویه 90^o روی اهرم وارد می شود. در حالت کلی، می توان آن را کاملاً در هر زاویه ای اعمال کرد. تصویر زیر را در نظر بگیرید.

در اینجا می بینیم که نیروی F از قبل بر روی اهرم L با زاویه ای خاص ف عمل می کند. برای این سیستم، فرمول لحظه نیرو نسبت به یک نقطه (نشان داده شده با یک فلش) به شکل اسکالر به شکل زیر خواهد بود:

M=LFsin(Φ)

از این عبارت نتیجه می شود که گشتاور نیروی M بزرگتر خواهد بود، هر چه جهت عمل نیروی F به زاویه 90^o نسبت به L نزدیکتر باشد. برعکس، اگر F در امتداد L عمل کند، sin(0)=0 و نیرو هیچ لحظه ای ایجاد نمی کند (M=0).

هنگام در نظر گرفتن ممان نیرو به شکل اسکالر، اغلب از مفهوم "اهرم نیرو" استفاده می شود. این مقدار فاصله بین محور (نقطهچرخش) و بردار F. با اعمال این تعریف در شکل بالا، می توان گفت که d=Lsin(Φ) اهرم نیرو است (برابری از تعریف تابع مثلثاتی "سینوس" حاصل می شود). از طریق اهرم نیرو، فرمول لحظه M را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

M=dF

معنای فیزیکی M

کمیت فیزیکی در نظر گرفته شده توانایی نیروی خارجی F را برای اعمال یک اثر چرخشی بر روی سیستم تعیین می کند. برای وارد کردن بدن به حرکت چرخشی باید آن را از لحظه ای M اطلاع داد.

نمونه بارز این فرآیند باز کردن یا بستن درب اتاق است. با نگه داشتن دستگیره، فرد تلاش می کند و در را روی لولاهای آن می چرخاند. همه می توانند آن را انجام دهند. اگر سعی می کنید در را با حرکت در نزدیکی لولاها باز کنید، باید تلاش زیادی برای حرکت آن انجام دهید.

مثال دیگر شل کردن مهره با آچار است. هرچه این کلید کوتاه‌تر باشد، تکمیل کار دشوارتر می‌شود.

ویژگی های نشان داده شده با فرمول لحظه نیروی روی شانه که در پاراگراف قبلی ارائه شد نشان داده می شود. اگر M یک مقدار ثابت در نظر گرفته شود، هرچه d کوچکتر باشد، F بزرگتر باید اعمال شود تا یک لحظه نیروی معین ایجاد شود.

چندین نیروی عامل در سیستم

مواردی که در بالا در نظر گرفته شدند زمانی که فقط یک نیروی F بر روی سیستمی که قابلیت چرخش دارد تأثیر می گذارد، اما اگر چندین نیرو وجود داشته باشد چه؟ در واقع، این وضعیت بیشتر است، زیرا نیروها می توانند بر روی سیستم عمل کنندطبیعت متفاوت (گرانشی، الکتریکی، اصطکاک، مکانیکی و غیره). در همه این موارد، گشتاور حاصل از نیروی M¯ را می توان با استفاده از مجموع برداری تمام گشتاورهای M_i¯، یعنی:

به دست آورد.

M¯=∑_i(M_i¯)، جایی که i عدد قدرت F_{i است}

از خاصیت افزایش گشتاورها نتیجه‌گیری مهمی به دست می‌آید که به آن قضیه واریگنون می‌گویند که به نام ریاضی‌دان اواخر قرن هفدهم - اوایل قرن هجدهم - پیر واریگنون فرانسوی - نامگذاری شده است. در این متن آمده است: «مجموع گشتاورهای تمام نیروهای وارد بر سیستم مورد نظر را می‌توان به صورت ممان یک نیرو نشان داد که برابر با مجموع همه نیروهای دیگر است و به نقطه خاصی اعمال می‌شود.» از نظر ریاضی، قضیه را می توان به صورت زیر نوشت:

∑_i(M_i¯)=M¯=d∑_i (F_i¯)

این قضیه مهم اغلب در عمل برای حل مسائل مربوط به چرخش و تعادل اجسام استفاده می شود.

آیا یک لحظه زور کار می کند؟

با تجزیه و تحلیل فرمول های بالا به صورت اسکالر یا برداری، می توان نتیجه گرفت که مقدار M مقداری کار است. در واقع، بعد آن Nm است که در SI با ژول (J) مطابقت دارد. در واقع لحظه نیرو کار نیست، بلکه فقط کمیتی است که قادر به انجام آن است. برای اینکه این اتفاق بیفتد باید یک حرکت دایره ای در سیستم و یک عمل طولانی مدت M داشت. بنابراین فرمول کار لحظه نیرو به صورت زیر نوشته می شود:

A=Mθ

Bدر این عبارت θ زاویه ای است که با گشتاور نیروی M چرخش از طریق آن انجام می شود. در نتیجه واحد کار را می توان Nmrad یا Jrad نوشت. به عنوان مثال، مقدار 60 Jراد نشان می دهد که وقتی با 1 رادیان (تقریباً 1/3 دایره) می چرخد، نیروی F که لحظه ای را ایجاد می کند که M 60 ژول کار کرد. این فرمول اغلب برای حل مسائل در سیستم هایی که نیروهای اصطکاک عمل می کنند، استفاده می شود، همانطور که در زیر نشان داده خواهد شد.

لحظه نیرو و لحظه تکانه

همانطور که نشان داده شد، تأثیر لحظه M بر روی سیستم منجر به ظهور حرکت چرخشی در آن می شود. دومی با کمیتی به نام "تکانه" مشخص می شود. می توان آن را با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

L=Iω

در اینجا I ممان اینرسی است (مقداری که در چرخش نقشی مشابه جرم در حرکت خطی جسم دارد)، ω سرعت زاویه ای است، با فرمول به سرعت خطی مربوط می شود. ω=v/r.

هر دو لحظه (تکانه و نیرو) با عبارت زیر به یکدیگر مرتبط هستند:

M=Iα، که در آن α=dω / dt شتاب زاویه ای است.

بیایید فرمول دیگری ارائه دهیم که برای حل مسائل برای کار لحظه نیروها مهم است. با استفاده از این فرمول می توانید انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش را محاسبه کنید. او شبیه این است:

E_k=۱/۲Iω²

بعد، دو مشکل را با راه حل ارائه می کنیم، که در آن نحوه استفاده از فرمول های فیزیکی در نظر گرفته شده را نشان می دهیم.

تعادل چند جسم

اولین وظیفه مربوط به تعادل سیستمی است که در آن چندین نیرو عمل می کنند. درشکل زیر سیستمی را نشان می دهد که توسط سه نیرو بر روی آن عمل می شود. باید محاسبه کرد که جسم با چه جرمی باید از این اهرم آویزان شود و در چه نقطه ای باید این کار را انجام داد تا این سیستم در تعادل باشد.

از شرایط مسئله می توان فهمید که برای حل آن باید از قضیه Varignon استفاده کرد. بخش اول مسئله را می توان فوراً پاسخ داد، زیرا وزن جسمی که از اهرم آویزان می شود خواهد بود:

P=F₁ - F₂ + F₃=20 - 10 + 25=35 H

علائم در اینجا با در نظر گرفتن این که نیرویی که اهرم را در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخاند یک لحظه منفی ایجاد می‌کند انتخاب می‌شوند.

موقعیت نقطه d، جایی که این وزن باید آویزان شود، با فرمول محاسبه می شود:

M₁ - M₂ + M₃=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4، 714 متر

توجه داشته باشید که با استفاده از فرمول لحظه گرانش، مقدار معادل M مقداری که توسط سه نیرو ایجاد می شود را محاسبه کردیم. برای اینکه سیستم در حالت تعادل باشد، لازم است جسمی به وزن 35 نیوتن را در نقطه 4، 714 متر از محور طرف دیگر اهرم معلق کنیم.

مشکل حرکت دیسک

حل مسئله زیر بر اساس استفاده از فرمول لحظه نیروی اصطکاک و انرژی جنبشی بدنه چرخش است. وظیفه: دیسکی با شعاع r=0.3 متر داده می شود که با سرعت ω=1 راد بر ثانیه می چرخد. اگر ضریب اصطکاک غلتشی 0.001 Μ=باشد، باید محاسبه کرد که چقدر می تواند روی سطح حرکت کند.

اگر از قانون بقای انرژی استفاده کنید، این مشکل به راحتی قابل حل است. ما انرژی جنبشی اولیه دیسک را داریم. هنگامی که شروع به غلتیدن می کند، تمام این انرژی در اثر عمل نیروی اصطکاک صرف گرم کردن سطح می شود. با معادل سازی هر دو کمیت، عبارت را به دست می آوریم:

Iω²/2=ΜN/rrθ

بخش اول فرمول انرژی جنبشی دیسک است. قسمت دوم کار ممان نیروی اصطکاک F=ΜN/r است که به لبه دیسک اعمال می شود (M=Fr).

با توجه به اینکه N=mg و I=1/2mr²، ما θ:

را محاسبه می کنیم

θ=mr² ω²/(4Mmg)=r ² ω²/(4M g)=0, 3² 1 ²/(40.0019.81)=2.29358 راد

از آنجایی که رادیان های 2pi با طول 2pir مطابقت دارد، پس می گیریم که فاصله مورد نیازی که دیسک طی می کند برابر است:

s=θr=2.293580.3=0.688 متر یا حدود 69cm

توجه داشته باشید که جرم دیسک بر این نتیجه تأثیر نمی گذارد.