یکی از مهمترین علومی که کاربرد آن را در رشته هایی مانند شیمی، فیزیک و حتی زیست شناسی می توان دید، ریاضیات است. مطالعه این علم به شما امکان می دهد برخی از ویژگی های ذهنی را توسعه دهید، تفکر انتزاعی و توانایی تمرکز را بهبود بخشید. یکی از مباحثی که در درس «ریاضیات» شایسته توجه ویژه است، جمع و تفریق کسرها است. بسیاری از دانش آموزان برای مطالعه مشکل هستند. شاید مقاله ما به درک بهتر این موضوع کمک کند.
چگونه کسری را با مخرج یکسان کم کنیم
کسرها همان اعدادی هستند که می توانید با آنها اعمال مختلفی انجام دهید. تفاوت آنها با اعداد صحیح در حضور یک مخرج است. به همین دلیل است که هنگام انجام اقدامات با کسرها، باید برخی از ویژگی ها و قوانین آنها را مطالعه کنید. ساده ترین حالت تفریق کسرهای معمولی است که مخرج آنها به صورت یک عدد نمایش داده می شود. اگر یک قانون ساده را بدانید، انجام این عمل دشوار نخواهد بود:
برای تفریق دومی از یک کسر، لازم است که صورت کسر کسر را از کسر کاهش یافته کم کنیم. این هستعدد را در صورت‌دهنده تفاضل می‌نویسیم و مخرج را یکسان می‌گذاریم: k/m – b/m=(k-b)/m
نمونه هایی از تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است
بیایید ببینیم در یک مثال چگونه به نظر می رسد:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
از کسر کسر کاهش یافته "7" از کسر کسر "3" کم کنید، "4" به دست می آید. این عدد را در صورت‌دهنده پاسخ می‌نویسیم و همان عددی را که در مخرج کسر اول و دوم بود در مخرج قرار می‌دهیم - "19".
تصویر زیر چند نمونه مشابه دیگر را نشان می دهد.
بیایید مثال پیچیده تری را در نظر بگیریم که در آن کسری با مخرج یکسان کم می شود:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
از شمارش کسر کاهش یافته "29" با تفریق به نوبه خود اعداد کسرهای بعدی - "3"، "8"، "2"، "7". در نتیجه، نتیجه "9" را به دست می آوریم که آن را در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج عددی را می نویسیم که در مخرج همه این کسرها است - "47".
افزودن کسری با مخرج یکسان
جمع و تفریق کسرهای معمولی طبق همین اصل انجام می شود.
برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد را اضافه کنید. عدد حاصل، صورتگر مجموع است و مخرج ثابت می‌ماند: k/m + b/m=(k + b)/m
بیایید ببینیم در یک مثال چگونه به نظر می رسد:
1/4 + 2/4=3/4.
Kشمارنده جمله اول کسری - "1" - شمارنده جمله دوم کسری - "2" را اضافه کنید. نتیجه - "3" - در صورت مقدار نوشته می شود و مخرج همان چیزی است که در کسرها وجود دارد - "4".
کسری با مخرج های مختلف و تفریق آنها
عمل با کسری که مخرج یکسان دارند، قبلاً در نظر گرفته ایم. همانطور که می بینید، دانستن قوانین ساده، حل چنین مثال هایی بسیار آسان است. اما اگر لازم باشد عملی را با کسری انجام دهید که مخرج های متفاوتی دارد؟ بسیاری از دانش آموزان دبیرستانی با چنین مثال هایی گیج می شوند. اما حتی در اینجا، اگر اصل راه حل را بدانید، دیگر مثال ها برای شما سخت نخواهد بود. در اینجا قانونی نیز وجود دارد که بدون آن حل چنین کسری به سادگی غیرممکن است.
-
برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، باید آنها را به کوچکترین مخرج یکسان بیاورید.
تفریق کسری با مخرج های مختلف
در مورد نحوه انجام این کار بیشتر صحبت خواهیم کرد.
ویژگی کسری
برای کاهش چند کسر به یک مخرج، باید از ویژگی اصلی کسر در محلول استفاده کنید: پس از تقسیم یا ضرب صورت و مخرج در یک عدد، کسری برابر با یکی داده شد.
بنابراین، برای مثال، کسر 2/3 می تواند مخرج هایی مانند "6"، "9"، "12" و غیره داشته باشد، یعنی می تواند شبیه هر عددی باشد که مضرب " است. 3". بعد از اینکه صورت و مخرج را در ضرب کردیم"2"، کسر 4/6 را دریافت می کنید. پس از ضرب کردن صورت و مخرج کسر اصلی در "3" به 9/6 می رسد و اگر عمل مشابهی را با عدد "4" انجام دهیم، 8/12 به دست می آید. در یک معادله، این را می توان به صورت زیر نوشت:
2/3=4/6=6/9=8/12…
چگونه کسرهای متعدد را به یک مخرج بیاوریم
بیایید نحوه کاهش چند کسر را به مخرج یکسان در نظر بگیریم. به عنوان مثال، کسرهای نشان داده شده در تصویر زیر را در نظر بگیرید. ابتدا باید تعیین کنید که چه عددی می تواند مخرج همه آنها شود. برای آسان‌تر کردن، بیایید مخرج‌های موجود را فاکتورسازی کنیم.
مخرج کسر 1/2 و کسری 2/3 را نمی توان فاکتور گرفت. مخرج 7/9 دارای دو عامل 7/9=7/(3 x 3)، مخرج کسری 5/6=5/(2 x 3) است. اکنون باید تعیین کنید که کدام فاکتور برای هر چهار کسر کوچکترین خواهد بود. از آنجایی که کسر اول در مخرج عدد "2" دارد، به این معنی است که باید در همه مخرج ها وجود داشته باشد، در کسر 7/9 دو ثلاث وجود دارد، یعنی آنها باید در مخرج نیز باشند. با توجه به موارد فوق، تعیین می کنیم که مخرج از سه عامل تشکیل شده است: 3، 2، 3 و برابر است با 3 x 2 x 3=18.
کسر اول را در نظر بگیرید - 1/2. مخرج آن حاوی "2" است، اما یک "3" وجود ندارد، بلکه باید دو باشد. برای انجام این کار، مخرج را در دو سه برابر ضرب می کنیم، اما، با توجه به خاصیت کسری، باید صورت را در دو سه برابر ضرب کنیم:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9/18.
به طور مشابه، ما اقدامات را با بقیه انجام می دهیمکسرها.
-
2/3 - مخرج یک سه و یکی دو وجود ندارد:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 یا 7/(3 x 3) - مخرج یک مخرج ندارد:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 یا 5/(2 x 3) - مخرج یک سه گانه را از دست داده است:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
همه با هم اینطور به نظر می رسند:
نحوه تفریق و جمع کسری با مخرج های مختلف
همانطور که در بالا ذکر شد، برای جمع یا تفریق کسری با مخرج متفاوت، باید آنها را به یک مخرج آورد و سپس از قوانین تفریق کسرهای با مخرج مشابه استفاده کرد که قبلا توضیح داده شد..
بیایید این را به عنوان مثال در نظر بگیریم: 4/18 - 3/15.
پیدا کردن مضرب 18 و 15:
- عدد 18 3 x 2 x 3 است.
- عدد 15 شامل 5×3 است.
- مضرب مشترک از عوامل زیر تشکیل می شود 5 x 3 x 3 x 2=90.
بعد از یافتن مخرج، لازم است ضریبی را محاسبه کنیم که برای هر کسر متفاوت است، یعنی عددی که در آن لازم است نه تنها مخرج، بلکه صورت نیز ضرب شود. برای انجام این کار، عددی را که پیدا کردیم (مضرب مشترک) بر مخرج کسری که باید فاکتورهای اضافی برای آن تعیین شود، تقسیم می کنیم.
- 90 تقسیم بر 15. عدد "6" حاصل ضربی برای 3/15 خواهد بود.
- 90 تقسیم بر 18. عدد "5" حاصل ضربی برای 4/18 خواهد بود.
گام بعدی در تصمیم ما این استآوردن هر کسری به مخرج "90".
چگونه انجام می شود، قبلاً گفته ایم. در نظر بگیرید که چگونه این در مثال نوشته شده است:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
اگر کسرهایی با اعداد کوچک هستند، می توانید مخرج مشترک را تعیین کنید، مانند مثالی که در تصویر زیر نشان داده شده است.
به طور مشابه، جمع کسری با مخرج های مختلف انجام می شود.
تفریق و جمع کسری با اجزای صحیح
تفریق کسرها و جمع آنها، قبلاً به تفصیل تحلیل کرده ایم. اما اگر کسری یک جزء صحیح داشته باشد چگونه می توان آن را کم کرد؟ دوباره، بیایید از چند قانون استفاده کنیم:
- همه کسرهای دارای یک عدد صحیح را به کسرهای نامناسب ترجمه کنید. به عبارت ساده، تمام قسمت را حذف کنید. برای انجام این کار، تعداد قسمت صحیح در مخرج کسری ضرب می شود، حاصل ضرب به عدد اضافه می شود. عددی که پس از این اعمال به دست می آید، عدد کسری نامناسب است. مخرج ثابت می ماند.
- اگر کسرها مخرج های متفاوتی دارند، باید آنها را به یکسان کاهش داد.
- با مخرج های یکسان جمع یا تفریق کنید.
- هنگام دریافت کسر نامناسب، قسمت صحیح را انتخاب کنید.
راه دیگری وجود دارد که به وسیله آن می توانید کسری را با اجزای صحیح جمع و تفریق کنید. برای این، اقدامات به طور جداگانه با قسمت های صحیح و جداگانه با کسری انجام می شود و نتایج با هم ثبت می شوند.
مثال بالا شامل کسری است که مخرج یکسانی دارند. در مواردی که مخرج ها متفاوت هستند، باید آنها را به یکسان کاهش دهید و سپس مراحلی را که در مثال نشان داده شده است دنبال کنید.
تفریق کسرها از اعداد صحیح
نوع دیگری از عملیات با کسرها حالتی است که کسری باید از یک عدد طبیعی کم شود. در نگاه اول، حل چنین مثالی دشوار به نظر می رسد. با این حال، همه چیز در اینجا بسیار ساده است. برای حل آن، باید یک عدد صحیح را به کسری تبدیل کرد و با چنین مخرجی که در کسری است که باید تفریق شود. در مرحله بعد یک تفریق مشابه تفریق با مخرج های یکسان انجام می دهیم. در یک مثال، به نظر می رسد:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
تفریق کسرهای ارائه شده در این مقاله (درجه 6) مبنایی برای حل مثال های پیچیده تری است که در کلاس های بعدی در نظر گرفته می شوند. دانش این موضوع بعداً برای حل توابع، مشتقات و غیره استفاده می شود. بنابراین، درک و درک عملیات با کسری که در بالا مورد بحث قرار گرفت بسیار مهم است.
