در دوره راهنمایی و دبیرستان دانش آموزان موضوع "کسری" را مطالعه می کردند. با این حال، این مفهوم بسیار گسترده تر از آنچه در فرآیند یادگیری ارائه شده است. امروزه مفهوم کسری اغلب اتفاق می افتد و همه نمی توانند هر عبارتی را محاسبه کنند، مثلاً ضرب کسرها را محاسبه کنند.
کسری چیست؟
از نظر تاریخی اتفاق افتاد که اعداد کسری به دلیل نیاز به اندازه گیری ظاهر شدند. همانطور که تمرین نشان می دهد، اغلب نمونه هایی برای تعیین طول یک قطعه، حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی، مساحت یک مستطیل وجود دارد.
در ابتدا دانش آموزان با مفهوم سهم آشنا می شوند. به عنوان مثال، اگر یک هندوانه را به 8 قسمت تقسیم کنید، هر کدام یک هشتم هندوانه به دست می آید. این یک قسمت از هشت سهم نامیده می شود.
سهمی معادل ½ از هر ارزشی را نصف می نامند. ⅓ - سوم؛ ¼ - یک چهارم. ورودی هایی مانند 5/8، 4/5، 2/4 کسرهای معمولی نامیده می شوند. کسری مشترک به تقسیم می شودصورت و مخرج بین آنها یک خط کسری یا خط کسری قرار دارد. یک نوار کسری را می توان به صورت افقی یا مایل رسم کرد. در این مورد، مخفف علامت تقسیم است.
مخرج نشان می دهد که مقدار شی به چند سهم مساوی تقسیم می شود. و صورت شمار این است که چند سهم مساوی گرفته می شود. صورت در بالای نوار کسری و مخرج زیر آن نوشته می شود.
نشان دادن کسرهای معمولی روی پرتو مختصات راحت‌تر است. اگر یک بخش به 4 قسمت مساوی تقسیم شود، هر قسمت با یک حرف لاتین مشخص شده است، در نتیجه می توانید یک کمک بصری عالی دریافت کنید. بنابراین، نقطه A سهمی برابر با 1/4 از کل بخش واحد را نشان می دهد، و نقطه B نشانگر 2 است./8 از این بخش.
انواع کسرها
کسرها اعداد معمولی، اعشاری و همچنین اعداد مختلط هستند. علاوه بر این، کسرها را می توان به مناسب و نامناسب تقسیم کرد. این طبقه بندی برای کسرهای معمولی مناسب تر است.
کسری مناسب عددی است که صورت آن کوچکتر از مخرج باشد. بر این اساس کسری نامناسب عددی است که صورت آن بزرگتر از مخرج باشد. نوع دوم معمولاً به صورت یک عدد مختلط نوشته می شود. چنین عبارتی از یک قسمت صحیح و یک قسمت کسری تشکیل شده است. به عنوان مثال، 1½. 1 - قسمت صحیح، ½ - کسری. با این حال، در صورت نیاز به انجام برخی دستکاری ها با عبارت (تقسیم یا ضرب کسرها، کاهش یا تبدیل آنها)، عدد مختلط بهکسر نامناسب.
یک عبارت کسری صحیح همیشه کوچکتر از یک است و یک عبارت نادرست همیشه بزرگتر یا مساوی 1 است.
در مورد کسرهای اعشاری، این عبارت به عنوان رکوردی در نظر گرفته می شود که در آن هر عددی نشان داده می شود، مخرج عبارت کسری آن را می توان از طریق یک با چندین صفر بیان کرد. اگر کسری صحیح باشد، قسمت صحیح در نماد اعشاری صفر خواهد بود.
برای نوشتن اعشار، ابتدا باید قسمت صحیح را بنویسید، آن را با کاما از کسری جدا کنید و سپس عبارت کسری را بنویسید. باید به خاطر داشت که پس از کاما، شمارنده باید به تعداد صفرهای مخرج، دارای کاراکترهای عددی باشد.
مثال. کسری 721/1000 را به صورت اعشاری نشان دهید.
الگوریتم تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط و بالعکس
نوشتن کسری نامناسب در پاسخ مسئله نادرست است، بنابراین باید به عدد مختلط تبدیل شود:
- تقسیم صورت بر مخرج موجود؛
- در یک مثال خاص، ضریب ناقص یک عدد صحیح است؛
- و باقیمانده صورت بخش کسری است و مخرج بدون تغییر می ماند.
مثال. تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط: 47/5.
تصمیم. 47: 5. ضریب جزئی 9 است، باقیمانده=2. بنابراین 47/5 =92/5.
گاهی اوقات لازم است یک عدد مختلط را به عنوان کسر نامناسب نشان دهید. سپس باید استفاده کنیدالگوریتم زیر:
- قسمت صحیح در مخرج عبارت کسری ضرب می شود؛
- محصول حاصل به شمارنده اضافه می شود؛
- نتیجه در صورت نوشته می شود، مخرج بدون تغییر باقی می ماند.
مثال. یک عدد مختلط را به صورت کسر نامناسب بیان کنید: 98/10.
تصمیم. 9 × 10 + 8=90 + 8=98 شمارنده است.
پاسخ: 98/10.
ضرب کسرهای مشترک
عملیات جبری مختلف را می توان بر روی کسرهای معمولی انجام داد. برای ضرب دو عدد باید صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب کنید. علاوه بر این، ضرب کسری با مخرج های مختلف با حاصل ضرب اعداد کسری با مخرج های یکسان تفاوتی ندارد.
این اتفاق می افتد که پس از یافتن نتیجه، باید کسر را کاهش دهید. ضروری است که عبارت حاصل را تا حد امکان ساده کنید. البته نمی توان گفت کسر نامناسب در پاسخ اشتباه است، اما به سختی می توان آن را پاسخ صحیح نامید.
مثال. حاصل ضرب دو کسر رایج را پیدا کنید: ½ و 20/18.
همانطور که از مثال می بینید، پس از یافتن محصول، یک نماد کسری کاهش یافته دریافت می کنیم. هم صورت و هم مخرج در این حالت بر 4 بخش پذیر هستند و حاصل پاسخ 5/9 است.
ضرب کسرهای اعشاری
کار هنریکسرهای اعشاری با حاصل ضرب کسرهای معمولی در اصل خود کاملاً متفاوت است. بنابراین، ضرب کسرها به صورت زیر است:
- دو کسر اعشاری باید زیر یکدیگر نوشته شود به طوری که سمت راست ترین ارقام یکی زیر دیگری باشد؛
- باید اعداد نوشته شده را با وجود کاما ضرب کنید، یعنی به صورت اعداد طبیعی؛
- محاسبه تعداد ارقام بعد از کاما در هر یک از اعداد؛
- در نتیجه ای که پس از ضرب به دست می آید، باید به تعداد نویسه های عددی سمت راست که در مجموع هر دو فاکتور بعد از نقطه اعشار وجود دارد، بشمارید و یک علامت جداکننده قرار دهید؛
- اگر ارقام کمتری در محصول وجود دارد، باید به تعداد صفر در مقابل آنها بنویسید تا این عدد را پوشش دهد، یک کاما بگذارید و یک عدد صحیح برابر با صفر اختصاص دهید.
مثال. حاصل ضرب دو اعشار را محاسبه کنید: 2، 25 و 3، 6.
تصمیم.
ضرب کسرهای مختلط
برای محاسبه حاصل ضرب دو کسر مختلط، باید از قانون ضرب کسرها استفاده کنید:
- تبدیل اعداد مختلط به کسرهای نامناسب؛
- یافتن حاصل ضرب اعداد؛
- یافتن حاصلضرب مخرج؛
- نتیجه را بنویس؛
- بیان را تا حد امکان ساده کنید.
مثال. حاصل ضرب 4½ و 62/5 را پیدا کنید.
ضرب یک عدد در کسری(کسری در هر عدد)
علاوه بر یافتن حاصل ضرب دو کسر، اعداد مختلط، کارهایی وجود دارد که باید یک عدد طبیعی را در کسری ضرب کنید.
بنابراین، برای یافتن حاصل ضرب کسری اعشاری و یک عدد طبیعی، باید:
- عدد را زیر کسر بنویسید به طوری که سمت راست ترین ارقام یکی بالای دیگری باشد؛
- محصول را با وجود ویرگول پیدا کنید؛
- در نتیجه، قسمت عدد صحیح را با استفاده از کاما از قسمت کسری جدا کنید و تعداد کاراکترهایی را که بعد از نقطه اعشار در کسری قرار دارند به سمت راست بشمارید.
برای ضرب یک کسری معمولی در یک عدد، باید حاصل ضرب عدد و ضریب طبیعی را پیدا کنید. اگر پاسخ کسری کاهش یافته است، باید تبدیل شود.
مثال. حاصل ضرب 5/8 و 12 را محاسبه کنید.
تصمیم. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
پاسخ: 71/2.
همانطور که از مثال قبلی می بینید، لازم بود که نتیجه حاصل را کاهش داده و عبارت کسری نادرست را به یک عدد مختلط تبدیل کنیم.
همچنین، ضرب کسرها برای یافتن حاصل ضرب یک عدد به صورت مخلوط و یک عامل طبیعی نیز صدق می کند. برای ضرب این دو عدد، باید قسمت صحیح ضریب مختلط را در عدد ضرب کنید، عدد را در همان مقدار ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. در صورت لزوم، نتیجه را تا حد امکان ساده کنید.
مثال. برای پیدا کردنحاصلضرب 95/6 و 9.
تصمیم. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
پاسخ: 881/2.
ضرب در فاکتورهای 10، 100، 1000 یا 0، 1؛ 0.01; 0, 001
قانون زیر از پاراگراف قبلی پیروی می کند. برای ضرب یک کسر اعشاری در 10، 100، 1000، 10000، و غیره، باید کاما را به تعداد نویسه‌های رقمی به سمت راست حرکت دهید، به تعداد صفرهای موجود در ضریب بعد از یک.
مثال 1. حاصل ضرب 0، 065 و 1000 را پیدا کنید.
تصمیم. 0.065 x 1000=0065=65.
پاسخ: 65.
مثال ۲. حاصل ضرب 3، 9 و 1000 را پیدا کنید.
تصمیم. 3.9 x 1000=3.900 x 1000=3900.
پاسخ: 3900.
اگر باید یک عدد طبیعی و 0 را ضرب کنید، 1؛ 0.01; 0.001; 0، 0001، و غیره، باید کاما را در محصول حاصل به تعداد کاراکترهای رقمی به اندازه صفرهای قبل از یک به سمت چپ حرکت دهید. در صورت لزوم تعداد کافی صفر قبل از عدد طبیعی نوشته می شود.
مثال 1. حاصل ضرب 56 و 0، 01 را پیدا کنید.
تصمیم. 56 x 0.01=0056=0.56.
پاسخ: 0، 56.
مثال ۲. حاصل ضرب 4 و 0، 001 را بیابید.
تصمیم. 4 x 0.001=0004=0.004.
پاسخ: 0, 004.
بنابراین، یافتن حاصل ضرب کسرهای مختلف نباید دشوار باشد، مگر شاید محاسبه نتیجه. در این مورد، شما به سادگی نمی توانید بدون ماشین حساب کار کنید.
