قابلیت محاسبه حجم اشکال فضایی در حل تعدادی از مسائل کاربردی هندسه مهم است. یکی از رایج ترین اشکال هرم است. در این مقاله فرمول های حجم هرم را به صورت کامل و کوتاه در نظر خواهیم گرفت.
هرم به عنوان یک شکل سه بعدی
همه در مورد اهرام مصر می دانند، بنابراین آنها ایده خوبی دارند که چه رقمی در مورد آن بحث خواهد شد. با این حال، سازه‌های سنگی مصر تنها یک مورد خاص از یک کلاس بزرگ از اهرام هستند.
جسم هندسی در نظر گرفته شده در حالت کلی یک قاعده چند ضلعی است که هر رأس آن به نقطه ای از فضا متصل است که به صفحه پایه تعلق ندارد. این تعریف منجر به شکلی متشکل از یک n-ضلعی و n مثلث می شود.
هر هرمی از n+1 وجه، 2n لبه و n+1 راس تشکیل شده است. از آنجایی که شکل مورد بررسی یک چندوجهی کامل است، تعداد عناصر مشخص شده از برابری اویلر پیروی می کند:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
چند ضلعی در قاعده نام هرم را می دهد،مثلا مثلثی، پنج ضلعی و غیره. مجموعه ای از اهرام با پایه های مختلف در عکس زیر نشان داده شده است.
نقطه ای که در آن n مثلث شکل به هم وصل می شوند راس هرم می گویند. اگر یک عمود از آن به قاعده پایین بیاید و آن را در مرکز هندسی قطع کند، چنین شکلی را خط مستقیم می نامند. اگر این شرط برآورده نشد، پس یک هرم مایل وجود دارد.
شکل راستی که قاعده آن توسط یک n-ضلعی متساوی الاضلاع (مساوطل) تشکیل شده باشد، منظم نامیده می شود.
فرمول حجم هرم
برای محاسبه حجم هرم، از حساب انتگرال استفاده می کنیم. برای این کار، شکل را با صفحات سکانس موازی با پایه به تعداد بی نهایت لایه نازک تقسیم می کنیم. شکل زیر یک هرم چهار گوش با ارتفاع h و طول ضلع L را نشان می دهد که در آن لایه نازکی از مقطع با یک چهار ضلعی مشخص شده است.
مساحت هر لایه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:
A(z)=A0(h-z)2/h۲.
در اینجا A0 مساحت پایه است، z مقدار مختصات عمودی است. مشاهده می شود که اگر z=0 باشد، فرمول مقدار A0 را می دهد.
برای به دست آوردن فرمول حجم هرم، باید انتگرال را در تمام ارتفاع شکل محاسبه کنید، یعنی:
V=∫h0(A(z)dz).
با جایگزینی وابستگی A(z) و محاسبه ضد مشتق، به عبارت:
می رسیم.
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
فرمول حجم هرم را به دست آوردیم. برای یافتن مقدار V کافی است ارتفاع شکل را در مساحت پایه ضرب کنید و سپس نتیجه را بر سه تقسیم کنید.
توجه داشته باشید که عبارت به دست آمده برای محاسبه حجم یک هرم از نوع دلخواه معتبر است. یعنی می‌تواند مایل باشد و پایه آن می‌تواند یک n-gon دلخواه باشد.
هرم صحیح و حجم آن
فرمول کلی حجم به دست آمده در پاراگراف بالا را می توان در مورد هرمی با پایه صحیح اصلاح کرد. مساحت چنین پایه ای با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
در اینجا L طول ضلع یک چند ضلعی منظم با n راس است. نماد پی عدد پی است.
با جایگزینی عبارت A0 در فرمول کلی، حجم یک هرم منظم را دریافت می کنیم:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
برای مثال، برای یک هرم مثلثی، این فرمول به عبارت زیر منجر می شود:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
برای یک هرم چهار گوش معمولی، فرمول حجمی به صورت:
می شود
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
تعیین حجم اهرام منظم مستلزم دانستن ضلع قاعده و ارتفاع شکل است.
هرم بریده
فرض کنید گرفتیمیک هرم دلخواه و قسمتی از سطح جانبی آن را که دارای قسمت بالایی است، قطع می کند. شکل باقی مانده یک هرم کوتاه نامیده می شود. قبلاً از دو پایه n ضلعی و n ذوزنقه تشکیل شده است که آنها را به هم متصل می کند. اگر صفحه برش موازی با قاعده شکل بود، یک هرم کوتاه با پایه های مشابه موازی تشکیل می شود. یعنی طول اضلاع یکی از آنها را می توان با ضرب طول دیگری در مقداری ضریب k بدست آورد.
تصویر بالا یک هرم شش ضلعی منتظم کوتاه را نشان می دهد. مشاهده می شود که قاعده بالایی آن مانند پایه پایینی از یک شش ضلعی منظم تشکیل شده است.
فرمول حجم یک هرم کوتاه، که می‌توان آن را با استفاده از حساب انتگرالی مشابه آنچه داده شده به دست آورد، این است:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
که در آن A0 و A1 به ترتیب نواحی پایه های پایین (بزرگ) و بالایی (کوچک) هستند. متغیر h ارتفاع هرم کوتاه شده است.
حجم هرم خئوپس
حل مشکل تعیین حجم بزرگ‌ترین هرم مصر جالب است.
در سال 1984، مصر شناسان بریتانیایی مارک لهنر و جان گودمن، ابعاد دقیق هرم خئوپس را تعیین کردند. ارتفاع اولیه آن 146.50 متر (در حال حاضر حدود 137 متر) بوده است. میانگین طول هر یک از چهار ضلع سازه 230.363 متر بوده است.پایه هرم مربعی شکل با دقت بالا است.
بیایید از ارقام داده شده برای تعیین حجم این غول سنگی استفاده کنیم. از آنجایی که هرم یک چهارگوش منظم است، پس فرمول برای آن معتبر است:
V4=1/3L2h.
اعداد را جایگزین کنید، دریافت می کنیم:
V4=1/3(230, 363)2146، 5 ≈ 2591444 متر 3.
حجم هرم خئوپس تقریباً 2.6 میلیون متر است3. برای مقایسه، توجه می کنیم که استخر المپیک 2.5 هزار متر حجم دارد3. یعنی برای پر کردن کل هرم خئوپس به بیش از 1000 عدد از این استخر نیاز است!
