هرم شش ضلعی منظم. فرمول های حجم و سطح حل مسئله هندسی

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

استریومتری به عنوان شاخه ای از هندسه در فضا به بررسی خواص منشورها، استوانه ها، مخروط ها، توپ ها، اهرام و دیگر اشکال سه بعدی می پردازد. این مقاله به بررسی دقیق ویژگی‌ها و ویژگی‌های یک هرم منظم شش ضلعی اختصاص دارد.

کدام هرم مورد مطالعه قرار می گیرد

هرم شش ضلعی منتظم شکلی در فضا است که توسط یک شش ضلعی متساوی الاضلاع و متساوی الاضلاع و شش مثلث متساوی الساقین یکسان محدود می شود. این مثلث ها نیز تحت شرایط خاصی می توانند متساوی الاضلاع باشند. این هرم در زیر نشان داده شده است.

همان شکل در اینجا نشان داده شده است، فقط در یک مورد با وجه جانبی خود به سمت خواننده چرخانده شده است، و در دیگری - با لبه جانبی خود.

یک هرم شش ضلعی منظم دارای 7 وجه است که در بالا ذکر شد. همچنین دارای 7 راس و 12 لبه است. برخلاف منشورها، همه اهرام دارای یک راس خاص هستند که از تقاطع وجه جانبی تشکیل می شود.مثلثها. برای یک هرم منظم، نقش مهمی ایفا می کند، زیرا عمودی که از آن به پایه شکل پایین می آید، ارتفاع است. علاوه بر این، ارتفاع با حرف h نشان داده می شود.

هرم نشان داده شده به دو دلیل صحیح نامیده می شود:

• در قاعده آن یک شش ضلعی با طول ضلع مساوی a و زوایای برابر 120o; است.
• ارتفاع هرم h شش ضلعی را دقیقاً در مرکز آن قطع می کند (نقطه تقاطع از همه ضلع ها و از همه رئوس شش ضلعی در یک فاصله قرار دارد).

مساحت سطح

خواص یک هرم شش ضلعی منظم از تعریف مساحت آن در نظر گرفته می شود. برای انجام این کار، ابتدا باز کردن شکل در یک هواپیما مفید است. یک نمایش شماتیک از آن در زیر نشان داده شده است.

می توان دید که مساحت جارو و در نتیجه کل سطح شکل مورد نظر برابر است با مجموع مساحت های شش مثلث یکسان و یک شش ضلعی.

برای تعیین مساحت یک شش ضلعی S_{6، از فرمول جهانی برای یک n-gon معمولی استفاده کنید:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

جایی که a طول ضلع شش ضلعی است.

مساحت یک مثلث S₃ ضلع جانبی را می توان یافت اگر مقدار ارتفاع آن را بدانید h_b:

S₃=1/2h_ba.

چون هر ششمثلث ها با یکدیگر برابر هستند، سپس یک عبارت کاری برای تعیین مساحت یک هرم شش ضلعی با قاعده صحیح دریافت می کنیم:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

حجم هرم

درست مانند مساحت، حجم یک هرم منظم شش ضلعی ویژگی مهم آن است. این حجم با فرمول کلی برای تمام اهرام و مخروط ها محاسبه می شود. بیایید آن را بنویسیم:

V=1/3S_oh.

در اینجا، نماد S_o مساحت پایه شش ضلعی است، یعنی S_o=S _6.

با جایگزینی عبارت فوق برای S_{6 در فرمول V، به برابری نهایی برای تعیین حجم یک هرم شش ضلعی منتظم می رسیم:}

V=√3/2a2h.

نمونه ای از یک مسئله هندسی

در هرم شش ضلعی منظم، لبه جانبی دو برابر طول ضلع پایه است. با دانستن اینکه دومی 7 سانتی متر است، باید سطح و حجم این رقم را محاسبه کرد.

همانطور که ممکن است حدس بزنید، راه حل این مشکل شامل استفاده از عبارات به دست آمده در بالا برای S و V است. ارتفاع یک هرم شش ضلعی منظم. بیایید آنها را محاسبه کنیم.

اصل h_b را می توان با در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه ساخته شده در اضلاع b، a/2 و h_{b تعیین کرد. در اینجا b طول لبه کناری است. با استفاده از شرط مسئله، دریافت می کنیم:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13، 555 سانتی متر.}

ارتفاع h هرم را می توان دقیقاً به همان روشی که یک آپوتم تعیین کرد، اما اکنون باید مثلثی با اضلاع h، b و a را در نظر بگیریم که در داخل هرم قرار دارد. ارتفاع خواهد بود:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12، 124 سانتی متر.}

می توان مشاهده کرد که مقدار ارتفاع محاسبه شده کمتر از آن برای آپوتم است که برای هر هرمی صادق است.

اکنون می توانید از عبارات برای حجم و مساحت استفاده کنید:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13، 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12، 124=514، 48cm^3.

بنابراین، برای تعیین بدون ابهام هر مشخصه ای از هرم شش ضلعی منظم، باید هر دو پارامتر خطی آن را بدانید.