منشور پنج ضلعی در حل مسائل هندسه بسیار کمتر از منشورهایی مانند مثلثی، چهار گوش یا شش ضلعی رایج است. با این وجود، مرور ویژگی‌های اصلی این شکل و همچنین یادگیری نحوه ترسیم آن مفید است.
منشور پنج ضلعی چیست؟
این یک شکل سه بعدی است که پایه های آن پنج ضلعی و اضلاع آن متوازی الاضلاع هستند. اگر هر یک از این متوازی الاضلاع بر پایه های موازی عمود باشد، چنین منشوری مستطیل نامیده می شود. سطح جانبی یک منشور پنج ضلعی مستطیلی از پنج مستطیل تشکیل شده است. علاوه بر این، ضلع مجاور قاعده هر یک از آنها برابر است با طول متناظر ضلع پنج ضلعی.
اگر پنج ضلعی منتظم باشد، یعنی تمام اضلاع و زوایای آن با یکدیگر برابر باشند، چنین منشوری مستطیلی را منظم می نامند. در ادامه مقاله به بررسی خواص این شکل خاص می پردازیم.
عناصر منشور
برای او، مانند هر منشوری،عناصر زیر مشخصه هستند:
- چهره ها یا کناره ها قسمت هایی از هواپیما هستند که یک شکل را در فضا محدود می کنند؛
- بالاها - نقاط تقاطع سه ضلع؛
- دنده - بخش‌هایی از تقاطع دو طرف شکل.
تعداد همه عناصر نامگذاری شده با برابری زیر به یکدیگر مرتبط هستند:
تعداد یال=تعداد رئوس + تعداد وجوه - 2
این عبارت فرمول اویلر برای چند وجهی نامیده می شود.
در یک منشور پنج ضلعی، تعداد ضلع آن هفت (دو پایه + پنج مستطیل) است. تعداد پیک ها 10 عدد (برای هر پایه 5 عدد) می باشد. تعداد یال ها در این حالت خواهد بود:
تعداد دنده=10 + 7 - 2=15
ده یال متعلق به پایه های منشور است و پنج یال توسط مستطیل تشکیل شده است.
چگونه یک منشور پنج ضلعی رسم کنیم؟
پاسخ به این سوال بستگی به کار خاص دارد. اگر لازم است یک منشور دلخواه رسم شود، باید هر پنج ضلعی رسم شود. پس از آن، از هر رأس پنج ضلعی، پنج بخش موازی با طول مساوی بکشید. سپس، انتهای بالایی قطعات را به هم وصل کنید. نتیجه یک منشور دلخواه پنج ضلعی است.
اگر لازم باشد یک منشور منظم ترسیم شود، پس کل پیچیدگی کار به دستیابی به یک پنج ضلعی منظم ختم می شود. روش های مختلفی برای ترسیم این چند ضلعی وجود دارد. در اینجا ما تنها دو راه را در نظر خواهیم گرفت.
روش اول کشیدن دایره با قطب نما است. سپس یک قطر دلخواه رسم می شوددایره و پنج زاویه از آن با استفاده از یک نقاله در 72o(572o=360o شمارش می شود). هنگام شمارش هر زاویه، یک بریدگی روی دایره ایجاد می شود. برای ساختن یک مستطیل، باید بریدگی های مشخص شده را با بخش های مستقیم به هم وصل کنیم.
روش دوم فقط شامل استفاده از قطب نما و خط کش است. در مقایسه با قبلی تا حدودی پیچیده است. در زیر ویدیویی وجود دارد که هر مرحله از این ساخت را با جزئیات توضیح می‌دهد.
توجه داشته باشید که اگر انتهای ستاره را به هم وصل کنید، کشیدن پنج ضلعی آسان است. اگر لازم نیست یک پنج ضلعی دقیقاً منظم رسم کنید، می توانید از روش ستاره ترسیم شده با دست استفاده کنید.
به محض ترسیم پنج ضلعی، از هر یک از رئوس آن پنج بخش موازی یکسان رسم کرده و رئوس آنها را به هم وصل کنید. نتیجه یک منشور پنج ضلعی است.
ناحیه شکل
حالا نحوه یافتن مساحت یک منشور پنج ضلعی را در نظر بگیرید. شکل زیر توسعه آن را نشان می دهد. می توان دید که مساحت مورد نیاز توسط دو پنج ضلعی یکسان و پنج مستطیل مساوی با یکدیگر تشکیل شده است.
مساحت کل سطح شکل با فرمول بیان می شود:
S=2So+ 5Sp
در اینجا شاخص های o و p به ترتیب به معنای پایه و مستطیل هستند. طول ضلع پنج ضلعی را با a و ارتفاع شکل را h نشان می دهیم. سپس برای مستطیل می نویسیم:
Sp=ah
برای محاسبه مساحت یک پنج ضلعی،از فرمول جهانی استفاده کنید:
S=n/4a2ctg(pi/n)
که در آن n تعداد اضلاع چند ضلعی است. با جایگزینی n=5، دریافت می کنیم:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1، 72a 2
دقت برابری حاصل 3 رقم اعشار است که برای حل هر مشکلی کاملاً کافی است.
اکنون باقی مانده است که مجموع نواحی به دست آمده از پایه و سطح جانبی را پیدا کنیم. ما داریم:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
باید به خاطر داشت که فرمول حاصل فقط برای یک منشور مستطیلی معتبر است. در مورد شکل اریب، مساحت سطح جانبی آن بر اساس آگاهی از محیط برش بدست می آید که باید بر تمام متوازی الاضلاع عمود باشد.
حجم شکل
فرمول محاسبه حجم یک منشور پنج ضلعی با عبارت مشابه برای هر منشور یا استوانه دیگری تفاوتی ندارد. حجم یک شکل برابر است با حاصل ضرب ارتفاع آن و مساحت قاعده:
V=Soh
اگر منشور مورد نظر مستطیل شکل است، ارتفاع آن به اندازه طول یال تشکیل شده توسط مستطیل ها است. مساحت یک پنج ضلعی منظم در بالا با دقت بالایی محاسبه شده است. این مقدار را با فرمول حجم جایگزین کنید و عبارت لازم را برای یک منشور پنج ضلعی منظم بدست آورید:
V=1, 72a2h
بنابراین، حجم و مساحت را محاسبه می کنیمیک منشور پنج ضلعی منظم در صورتی امکان پذیر است که ضلع قاعده و ارتفاع شکل مشخص باشد.
