چگونه سطح مقطع یک استوانه، مخروط، منشور و هرم را تعیین کنیم؟ فرمول ها

فهرست مطالب:

چگونه سطح مقطع یک استوانه، مخروط، منشور و هرم را تعیین کنیم؟ فرمول ها
چگونه سطح مقطع یک استوانه، مخروط، منشور و هرم را تعیین کنیم؟ فرمول ها
Anonim

در عمل، اغلب کارهایی به وجود می آیند که مستلزم توانایی ساختن بخش هایی از اشکال هندسی با اشکال مختلف و یافتن مساحت برش ها هستند. در این مقاله به نحوه ساخت بخش های مهم یک منشور، هرم، مخروط و استوانه و نحوه محاسبه مساحت آنها می پردازیم.

اشکال سه بعدی

از استریومتری مشخص شده است که یک شکل سه بعدی از هر نوع مطلقاً توسط تعدادی از سطوح محدود می شود. به عنوان مثال، برای چند وجهی مانند یک منشور و یک هرم، این سطوح اضلاع چند ضلعی هستند. برای یک استوانه و یک مخروط، ما در مورد سطوح چرخشی شکل های استوانه ای و مخروطی صحبت می کنیم.

اگر صفحه ای را بگیریم و سطح یک شکل سه بعدی را به طور دلخواه قطع کنیم، یک برش خواهیم داشت. مساحت آن برابر است با مساحت قسمتی از صفحه که در داخل حجم شکل قرار می گیرد. حداقل مقدار این ناحیه صفر است که با تماس هواپیما با شکل مشخص می شود. به عنوان مثال، مقطعی که توسط یک نقطه تشکیل می شود، اگر صفحه از بالای یک هرم یا مخروط عبور کند، به دست می آید. حداکثر مقدار سطح مقطع بستگی داردموقعیت نسبی شکل و صفحه، و همچنین شکل و اندازه شکل.

در زیر نحوه محاسبه مساحت مقاطع تشکیل شده برای دو شکل چرخشی (سیلندر و مخروط) و دو چند وجهی (هرم و منشور) را در نظر خواهیم گرفت.

سیلندر

استوانه دایره ای شکل چرخش یک مستطیل به دور هر یک از اضلاع آن است. سیلندر با دو پارامتر خطی مشخص می شود: شعاع پایه r و ارتفاع h. نمودار زیر نشان می دهد که یک استوانه دایره ای مستقیم چگونه به نظر می رسد.

استوانه دایره ای
استوانه دایره ای

سه نوع بخش مهم برای این شکل وجود دارد:

  • دور;
  • مستطیل؛
  • بیضوی.

بیضوی در نتیجه قطع شدن صفحه با سطح جانبی شکل در زاویه ای نسبت به قاعده شکل می گیرد. گرد حاصل تقاطع صفحه برش سطح جانبی موازی با پایه استوانه است. در نهایت، اگر صفحه برش موازی با محور سیلندر باشد، مستطیل شکل به دست می آید.

مساحت دایره ای با فرمول محاسبه می شود:

S1=pir2

مساحت مقطع محوری، یعنی مستطیل، که از محور استوانه می گذرد، به صورت زیر تعریف می شود:

S2=2rh

بخش های مخروطی

مخروط شکل چرخش یک مثلث قائم الزاویه به دور یکی از پایه ها است. مخروط یک رویه و یک پایه گرد دارد. پارامترهای آن نیز شعاع r و ارتفاع h هستند. نمونه ای از مخروط کاغذی در زیر نشان داده شده است.

کاغذمخروط
کاغذمخروط

انواع مختلفی از مقاطع مخروطی وجود دارد. بیایید آنها را فهرست کنیم:

  • دور;
  • بیضوی;
  • پارابولیک؛
  • hyperbolic;
  • مثلثی.

اگر زاویه شیب صفحه سکونت را نسبت به پایه گرد افزایش دهید، جایگزین یکدیگر می شوند. ساده ترین راه نوشتن فرمول های سطح مقطع دایره ای و مثلثی است.

یک مقطع دایره ای در نتیجه تلاقی یک سطح مخروطی شکل با صفحه ای که با قاعده موازی است تشکیل می شود. برای مساحت آن، فرمول زیر معتبر است:

S1=pir2z2/h 2

در اینجا z فاصله بالای شکل تا قسمت تشکیل شده است. مشاهده می شود که اگر z=0 باشد، صفحه فقط از راس عبور می کند، بنابراین مساحت S1 برابر با صفر خواهد بود. از z < h، مساحت بخش مورد مطالعه همیشه کمتر از مقدار آن برای پایه خواهد بود.

مثلث زمانی به دست می آید که صفحه شکل را در امتداد محور چرخش خود قطع کند. شکل بخش به دست آمده یک مثلث متساوی الساقین خواهد بود که اضلاع آن به قطر پایه و دو ژنراتور مخروط است. چگونه سطح مقطع یک مثلث را پیدا کنیم؟ پاسخ به این سوال فرمول زیر خواهد بود:

S2=rh

این برابری با اعمال فرمول مساحت یک مثلث دلخواه در طول قاعده و ارتفاع آن به دست می آید.

قطعات منشور

Prism دسته بزرگی از اشکال است که با وجود دو پایه چند ضلعی یکسان و موازی با یکدیگر مشخص می شوند.توسط متوازی الاضلاع به هم متصل می شوند. هر بخش از منشور یک چند ضلعی است. با توجه به تنوع شکل های مورد نظر (منشورهای اریب، مستقیم، n-ضلعی، منظم، مقعر) تنوع مقاطع آنها نیز زیاد است. در زیر، ما فقط چند مورد خاص را در نظر می گیریم.

منشور پنج ضلعی
منشور پنج ضلعی

اگر صفحه برش موازی با پایه باشد، سطح مقطع منشور برابر با مساحت این پایه خواهد بود.

اگر صفحه از مرکز هندسی دو قاعده عبور کند، یعنی با لبه های کناری شکل موازی باشد، متوازی الاضلاع در مقطع تشکیل می شود. در مورد منشورهای مستقیم و منظم، نمای مقطع در نظر گرفته شده یک مستطیل خواهد بود.

هرم

هرم چندوجهی دیگری است که از یک n-ضلعی و n مثلث تشکیل شده است. نمونه ای از هرم مثلثی در زیر نشان داده شده است.

هرم مثلثی
هرم مثلثی

اگر مقطع با صفحه ای موازی با پایه n ضلعی رسم شود، شکل آن دقیقاً برابر با شکل پایه خواهد بود. مساحت چنین بخش با فرمول محاسبه می شود:

S1=So(h-z)2/h 2

جایی که z فاصله پایه تا صفحه مقطع است، So مساحت پایه است.

اگر صفحه برش شامل بالای هرم باشد و قاعده آن را قطع کند، یک بخش مثلثی به دست می آید. برای محاسبه مساحت آن باید به استفاده از فرمول مناسب برای مثلث مراجعه کنید.

توصیه شده: