درس هندسه مدرسه به دو بخش بزرگ تقسیم می شود: پلان سنجی و هندسه جامد. استریومتری فیگورهای فضایی و ویژگی های آنها را مطالعه می کند. در این مقاله، به این می‌پردازیم که منشور مستقیم چیست و فرمول‌هایی ارائه می‌کنیم که ویژگی‌های آن مانند طول مورب، حجم و مساحت سطح را توصیف می‌کند.
منشور چیست؟
وقتی از دانش آموزان خواسته می شود که تعریف منشور را نام ببرند، آنها پاسخ می دهند که این شکل دو چند ضلعی موازی یکسان است که اضلاع آنها توسط متوازی الاضلاع به هم متصل شده اند. این تعریف تا حد امکان عمومی است، زیرا شرایطی را بر شکل چند ضلعی ها و ترتیب متقابل آنها در صفحات موازی تحمیل نمی کند. علاوه بر این، به وجود متوازی الاضلاع متصل است که کلاس آنها شامل مربع، لوزی و مستطیل نیز می شود. در زیر می توانید ببینید منشور چهار گوش چیست.
می بینیم که منشور یک چندوجهی (چند وجهی) است که از n + 2 تشکیل شده است.اضلاع، 2 × n راس و 3 × n یال، که n تعداد اضلاع (راس) یکی از چند ضلعی ها است.
هر دو چند ضلعی معمولاً پایه های شکل نامیده می شوند و وجه های دیگر اضلاع منشور هستند.
مفهوم منشور مستقیم
انواع مختلفی از منشورها وجود دارد. پس در مورد اشکال منظم و نامنظم صحبت می کنند، از منشورهای مثلثی، پنج ضلعی و غیره صحبت می کنند، اشکال محدب و مقعر و در نهایت مایل و مستقیم هستند. بیایید در مورد دومی با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.
منشور راست چنین شکلی از کلاس چندوجهی مورد مطالعه است که همه چهار ضلعی های آن دارای زوایای قائم هستند. فقط دو نوع از این چهار ضلعی وجود دارد - یک مستطیل و یک مربع.
شکل در نظر گرفته شده از شکل دارای یک ویژگی مهم است: ارتفاع یک منشور مستقیم برابر با طول لبه جانبی آن است. توجه داشته باشید که تمام لبه های کناری شکل با یکدیگر برابر هستند. در مورد صورت های جانبی، در حالت کلی آنها با یکدیگر برابر نیستند. برابری آنها در صورتی امکان پذیر است که علاوه بر مستقیم بودن منشور، صحیح نیز باشد.
شکل زیر یک شکل مستقیم با پایه پنج ضلعی را نشان می دهد. می توان دید که تمام وجوه جانبی آن مستطیل هستند.
مورب های منشور و پارامترهای خطی آن
مشخصات خطی اصلی هر منشور ارتفاع آن h و طول اضلاع قاعده آن ai است، جایی که i=1، …، n است. اگر قاعده یک چند ضلعی منتظم است، کافی است که طول a یک ضلع را برای توصیف خواص آن بدانیم. دانستن پارامترهای خطی مشخص شده به ما این امکان را می دهد که بدون ابهامچنین ویژگی های یک شکل را به عنوان حجم یا سطح آن تعریف کنید.
مورب های یک منشور مستقیم قطعاتی هستند که هر دو راس غیر مجاور را به هم متصل می کنند. این قطرها می توانند سه نوع باشند:
- درازکشیدن در هواپیماهای پایه؛
- واقع در صفحات مستطیل های جانبی؛
- شکل های متعلق به حجم.
طول قطرهای مربوط به پایه باید بسته به نوع n-gon تعیین شود.
مورب های مستطیل های ضلعی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شوند:
d1i=√(ai2+ h2).
برای تعیین قطرهای حجم، باید مقدار طول قطر و ارتفاع پایه مربوطه را بدانید. اگر مقداری از مورب پایه با حرف d0i نشان داده شود، قطر مورب حجم d2i به صورت زیر محاسبه می شود:
d2i=√(d0i2+ h2).
برای مثال، در مورد یک منشور چهار گوش منتظم، طول مورب حجم برابر است با:
d2=√(2 × a2+ h2).
توجه داشته باشید که یک منشور مثلثی قائم الزاویه فقط یکی از سه نوع مورب نامگذاری شده را دارد: قطر کناری.
سطح کلاس اشکال مورد مطالعه
مساحت سطح مجموع مساحت تمام وجوه یک شکل است. برای تجسم تمام چهره ها، باید از منشور اسکن کنید. به عنوان مثال، چنین حرکتی برای یک شکل پنج ضلعی در زیر نشان داده شده است.
می بینیم که تعداد شکل های صفحه n + 2 است و n مستطیل هستند. برای محاسبه مساحت کل جارو، مساحت دو پایه یکسان و مساحت تمام مستطیل ها را اضافه کنید. سپس فرمول مربوطه به نظر می رسد:
S=2 × So+ ساعت × ∑i=1n (ai).
این برابری نشان می دهد که مساحت سطح جانبی برای نوع منشورهای مورد مطالعه برابر است با حاصلضرب ارتفاع شکل و محیط قاعده آن.
مساحت پایه So را می توان با اعمال فرمول هندسی مناسب محاسبه کرد. برای مثال، اگر قاعده منشور قائم الزاویه یک مثلث قائم الزاویه باشد، به دست می آید:
So=a1 × a2 / 2.
جایی که 1 و a2 پاهای مثلث هستند.
اگر پایه یک n-گون با زوایای و اضلاع برابر باشد، فرمول زیر منصفانه خواهد بود:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
فرمول حجم
اگر مساحت پایه آن S
o و ارتفاع h مشخص باشد، تعیین حجم منشور از هر نوعی کار دشواری نیست. با ضرب این مقادیر با هم، حجم V شکل را بدست می آوریم، یعنی:
V=So × ساعت.
از آنجایی که پارامتر h یک منشور مستقیم برابر با طول لبه جانبی است، کل مشکل محاسبه حجم به محاسبه مساحت So برمی گردد. بالاتر از ماقبلاً چند کلمه گفته‌اید و چند فرمول برای تعیین So ارائه کرده‌اید. در اینجا فقط توجه می کنیم که در مورد یک پایه دلخواه، باید آن را به بخش های ساده (مثلث، مستطیل) تقسیم کنید، مساحت هر یک را محاسبه کنید، و سپس تمام مناطق را اضافه کنید تا S را به دست آورید. o.
