معادلات چهارگانه اغلب در تعدادی از مسائل در ریاضیات و فیزیک ظاهر می شوند، بنابراین هر دانش آموزی باید بتواند آنها را حل کند. این مقاله روشهای اصلی برای حل معادلات درجه دوم را شرح می‌دهد و نمونه‌هایی از کاربرد آنها را نیز ارائه می‌کند.
به چه معادله ای درجه دوم می گویند
ابتدا به سوال این پاراگراف پاسخ می دهیم تا بهتر بفهمیم مقاله در مورد چیست. بنابراین، معادله درجه دوم شکل کلی زیر را دارد: c + bx+ax2=0، که در آن a، b، c اعدادی هستند که به آنها ضریب می گویند. در اینجا a≠0 یک شرط اجباری است، در غیر این صورت معادله نشان داده شده به یک معادله خطی تبدیل می شود. ضرایب باقی مانده (b, c) می توانند مطلقاً هر مقداری از جمله صفر را بگیرند. بنابراین، عباراتی مانند ax2=0، جایی که b=0 و c=0، یا c+ax2=0، جایی که b=0، یا bx+ax2=0، که در آن c=0 نیز معادلات درجه دوم هستند که ناقص نامیده می شوند، زیرا ضریب خطی b در آنها صفر یا صفر است.یک عبارت c آزاد است، یا هر دو ناپدید می شوند.
معادله ای که در آن a=1 کاهش یافته می گویند، یعنی به شکل: x2 + с/a + (b/a)x=0 است.
راه حل یک معادله درجه دوم یافتن مقادیر x است که برابری آن را برآورده کند. به این مقادیر ریشه می گویند. از آنجایی که معادله مورد بررسی عبارتی از درجه دوم است، به این معنی است که حداکثر تعداد ریشه های آن نمی تواند از دو تجاوز کند.
چه روش هایی برای حل معادلات مربع وجود دارد
به طور کلی، 4 روش حل وجود دارد. اسامی آنها در زیر آمده است:
- فاکتورینگ.
- افزودن به مربع.
- استفاده از یک فرمول شناخته شده (از طریق تشخیص دهنده).
- روش حل هندسی است.
همانطور که از لیست بالا می بینید، سه روش اول جبری هستند، بنابراین بیشتر از روش آخر استفاده می شوند که شامل رسم یک تابع است.
راه دیگری برای حل معادلات مربع با استفاده از قضیه ویتا وجود دارد. می‌توان آن را در رتبه پنجم فهرست بالا قرار داد، اما این کار انجام نمی‌شود، زیرا قضیه ویتا نتیجه ساده روش سوم است.
در ادامه مقاله روش های حل نام برده شده را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد و همچنین مثال هایی از استفاده از آنها برای یافتن ریشه معادلات خاص ارائه خواهیم داد.
روش 1. فاکتورینگ
برای این روش در ریاضیات معادلات درجه دوم، یک روش زیبا وجود دارد.نام: فاکتورسازی ماهیت این روش به شرح زیر است: لازم است معادله درجه دوم را به صورت حاصل ضرب دو جمله (عبارت) ارائه کنیم که باید برابر با صفر باشد. پس از چنین نمایشی، می توانید از ویژگی محصول استفاده کنید، که تنها زمانی برابر صفر خواهد بود که یک یا چند (همه) از اعضای آن صفر باشند.
اکنون دنباله ای از اقدامات خاصی را که باید برای یافتن ریشه های معادله انجام دهید در نظر بگیرید:
- همه اعضا را به یک قسمت از عبارت (مثلاً به سمت چپ) منتقل کنید تا فقط 0 در قسمت دیگر آن (راست) باقی بماند.
- مجموع عبارات یک قسمت از معادله را به صورت حاصل ضرب دو معادله خطی نشان دهید.
- هر یک از عبارات خطی را صفر کنید و آنها را حل کنید.
همانطور که می بینید، الگوریتم فاکتورسازی بسیار ساده است، با این حال، اکثر دانش آموزان در اجرای نکته 2 مشکل دارند، بنابراین ما آن را با جزئیات بیشتر توضیح خواهیم داد.
برای حدس زدن اینکه 2 عبارت خطی، وقتی در یکدیگر ضرب شوند، معادله درجه دوم مورد نظر را به دست می دهند، باید دو قانون ساده را به خاطر بسپارید:
- ضرایب خطی دو عبارت خطی، وقتی در یکدیگر ضرب می شوند، باید اولین ضریب معادله درجه دوم را به دست آورند، یعنی عدد a.
- ترجمه های آزاد عبارات خطی، وقتی ضرب می شوند، باید عدد c معادله مورد نظر را به دست آورند.
بعد از اینکه همه اعداد فاکتورها انتخاب شدند باید ضرب شوند و اگر معادله مورد نظر را به دست آوردند به مرحله 3 بروید.الگوریتم بالا، در غیر این صورت باید ضرب کننده ها را تغییر دهید، اما باید این کار را انجام دهید تا قوانین بالا همیشه رعایت شوند.
نمونه ای از راه حل به روش فاکتورسازی
بیایید به وضوح نشان دهیم که چگونه الگوریتم حل یک معادله درجه دوم برای نوشتن و یافتن ریشه های مجهول است. اجازه دهید یک عبارت دلخواه داده شود، برای مثال، 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. بیایید با رعایت ترتیب نقاط 1 تا 3 که در پاراگراف قبلی مقاله آمده است، به حل آن برویم.
مورد 1. همه عبارت ها را به سمت چپ حرکت دهید و آنها را به ترتیب کلاسیک برای یک معادله درجه دوم مرتب کنید. ما برابری زیر را داریم: 2x+(-8)+x2=0.
مورد 2. آن را به حاصل ضرب معادلات خطی می شکنیم. از آنجایی که a=1 و c=-8، برای مثال، چنین محصولی (x-2)(x+4) را انتخاب می کنیم. قوانین مربوط به یافتن عوامل مورد انتظار مندرج در پاراگراف بالا را رعایت می کند. اگر پرانتزها را باز کنیم، به دست می آید: -8+2x+x2، یعنی دقیقاً همان عبارت سمت چپ معادله را به دست می آوریم. این بدان معنی است که ما ضریب ها را درست حدس زدیم و می توانیم به مرحله سوم الگوریتم برویم.
مورد 3. هر عامل را با صفر برابر کنید، می‌گیریم: x=-4 و x=2.
اگر در مورد نتیجه شک دارید، توصیه می شود با جایگزین کردن ریشه های یافت شده در معادله اصلی بررسی کنید. در این مورد، ما داریم: 22+22-8=0 و 2(-4)+(-4)2 -8=0. ریشه ها به درستی یافت شدند.
بنابراین با استفاده از روش فاکتورسازی دریافتیم که معادله داده شده دارای دو ریشه متفاوت است.دارای: 2 و -4.
روش 2. مکمل مربع کامل
در جبر معادلات مربع، همیشه نمی توان از روش ضرب کننده استفاده کرد، زیرا در مورد مقادیر کسری ضرایب معادله درجه دوم، در اجرای بند 2 الگوریتم مشکلاتی ایجاد می شود.
روش مربع کامل به نوبه خود جهانی است و می تواند برای معادلات درجه دوم از هر نوع اعمال شود. ماهیت آن انجام عملیات زیر است:
- عبارات معادله حاوی ضرایب a و b باید به یک قسمت از معادله و عبارت آزاد c به قسمت دیگر منتقل شوند.
- بعد باید اجزای تساوی (راست و چپ) را بر ضریب a تقسیم کرد، یعنی معادله را به شکل کاهش یافته (a=1) ارائه دهید.
- عبارات را با ضرایب a و b جمع کنید تا به عنوان مربع یک معادله خطی نشان دهید. از آنجایی که یک \u003d 1 است، پس ضریب خطی برابر با 1 خواهد بود، همانطور که برای مدت آزاد معادله خطی، باید برابر با نیمی از ضریب خطی معادله درجه دوم کاهش یافته باشد. پس از ترسیم مربع عبارت خطی، باید عدد مربوطه را به سمت راست تساوی، جایی که عبارت آزاد قرار دارد، اضافه کرد که با بزرگ کردن مربع به دست می‌آید.
- جذر را با علامت های "+" و "-" بگیرید و معادله خطی که قبلاً به دست آمده را حل کنید.
الگوریتم توصیف شده ممکن است در نگاه اول پیچیده تلقی شود، اما در عمل پیاده سازی آن آسان تر از روش فاکتورسازی است.
نمونه ای از راه حل با استفاده از مکمل مربع کامل
بیایید مثالی از یک معادله درجه دوم برای آموزش حل آن با روشی که در پاراگراف قبل توضیح داده شد، بیاوریم. اجازه دهید معادله درجه دوم -10 - 6x+5x2=0 داده شود. ما با الگوریتم توضیح داده شده در بالا شروع به حل آن می کنیم.
مورد 1. هنگام حل معادلات مربع از روش انتقال استفاده می کنیم، به دست می آوریم: - 6x+5x2=10.
نقطه 2. شکل کاهش یافته این معادله از تقسیم بر عدد 5 هر یک از اعضای آن به دست می آید (اگر هر دو قسمت در یک عدد تقسیم یا ضرب شوند، تساوی حفظ می شود). در نتیجه تبدیل ها، ما به دست می آوریم: x2 - 6/5x=2.
مورد 3. نیمی از ضریب - 6/5 است -6/10=-3/5، از این عدد برای تکمیل مربع استفاده کنید، به دست می آید: (-3/5+x) 2 . آن را گسترش می دهیم و عبارت آزاد حاصل باید از سمت چپ تساوی کم شود تا شکل اصلی معادله درجه دوم که معادل اضافه کردن آن به سمت راست است، برآورده شود. در نتیجه، دریافت می کنیم: (-3/5+x)2=59/25.
مورد 4. جذر را با علائم مثبت و منفی محاسبه کنید و ریشه ها را پیدا کنید: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. دو ریشه یافت شده دارای مقادیر زیر هستند: x1=(√59+3)/5 و x1=(3-√59)/5.
از آنجایی که محاسبات انجام شده مربوط به ریشه است، احتمال اشتباه زیاد است. بنابراین، توصیه می شود صحت ریشه های x2 و x1 را بررسی کنید. ما برای x1 دریافت می کنیم: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. اکنون تعویض کنیدx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
بنابراین، نشان دادیم که ریشه های یافت شده معادله درست هستند.
روش 3. استفاده از فرمول شناخته شده
این روش برای حل معادلات درجه دوم شاید ساده ترین باشد، زیرا شامل جایگزینی ضرایب به یک فرمول شناخته شده است. برای استفاده از آن، نیازی نیست به کامپایل الگوریتم های حل فکر کنید، کافی است تنها یک فرمول را به خاطر بسپارید. در تصویر بالا نشان داده شده است.
در این فرمول، عبارت رادیکال (b2-4ac) ممیز (D) نامیده می شود. از ارزش آن بستگی به ریشه های بدست آمده دارد. 3 مورد وجود دارد:
- D>0، سپس معادله ریشه دو معادل واقعی و متفاوت است.
- D=0، سپس یک ریشه را دریافت می کند، که می تواند از عبارت x=-b/(a2) محاسبه شود.
- D<0، سپس دو ریشه خیالی متفاوت دریافت می کنید که به صورت اعداد مختلط نشان داده می شوند. به عنوان مثال، عدد 3-5i مختلط است، در حالی که واحد خیالی i این ویژگی را برآورده می کند: i2=-1.
نمونه ای از راه حل با محاسبه تفکیک
بیایید یک مثال از یک معادله درجه دوم را برای تمرین با استفاده از فرمول بالا بیاوریم. ریشه های -3x2-6+3x+4x=0 را بیابید. ابتدا مقدار تفکیک کننده را محاسبه کنید، دریافت می کنیم: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
از آنجایی که D<0 به دست می آید، به این معنی است که ریشه های معادله در نظر گرفته شده اعداد مختلط هستند. بیایید آنها را با جایگزین کردن مقدار یافت شده D در فرمول ارائه شده در پاراگراف قبلی (در عکس بالا نیز نشان داده شده است) پیدا کنیم. دریافت می کنیم: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
روش 4. استفاده از نمودار تابع
به آن روش گرافیکی برای حل معادلات مربع نیز می گویند. باید گفت که قاعدتاً نه برای تحلیل کمی، بلکه برای تحلیل کیفی معادله مورد نظر استفاده می‌شود.
ماهیت روش ترسیم یک تابع درجه دوم y=f(x) است که یک سهمی است. سپس، لازم است مشخص شود که سهمی در چه نقاطی محور x (X) را قطع می کند، آنها ریشه های معادله مربوطه خواهند بود.
برای تشخیص اینکه آیا سهمی محور X را قطع می کند یا نه، کافی است موقعیت مینیمم (حداکثر) و جهت شاخه های آن را بدانیم (آنها می توانند افزایش یا کاهش پیدا کنند). دو ویژگی این منحنی وجود دارد که باید به خاطر بسپارید:
- اگر a>0 - سهمی های شاخه به سمت بالا هدایت شوند، برعکس، اگر a<0، پایین می آیند.
- حداقل (حداکثر) مختصات یک سهمی همیشه x=-b/(2a) است.
برای مثال، باید تعیین کنید که آیا معادله -4x+5x2+10=0 ریشه دارد یا خیر. سهمی مربوطه به سمت بالا هدایت خواهد شد، زیرا یک=5>0. حداکثر آن مختصاتی دارد: x=4/10=2/5، y=-42/5+5(2/5)2+10=9، 2. حداقل منحنی بالاتر از محور x قرار دارد (y=9, 2)، سپس برای هیچ یک از این منحنی ها را قطع نمی کند.مقادیر x یعنی معادله داده شده ریشه واقعی ندارد.
قضیه ویتا
همانطور که در بالا ذکر شد، این قضیه نتیجه روش شماره 3 است که مبتنی بر کاربرد یک فرمول با ممیز است. ماهیت قضیه Vieta این است که به شما امکان می دهد ضرایب معادله و ریشه های آن را به برابری متصل کنید. بیایید برابری های مربوطه را بدست آوریم.
بیایید از فرمول برای محاسبه ریشه ها از طریق ممیز استفاده کنیم. دو ریشه اضافه کنید، دریافت می کنیم: x1+x2=-b/a. حالا بیایید ریشه ها را در یکدیگر ضرب کنیم: x1x2، پس از یک سری ساده سازی، عدد c/a را به دست می آوریم.
بنابراین برای حل معادلات درجه دوم با قضیه ویتا می توان از دو برابری به دست آمده استفاده کرد. اگر هر سه ضریب یک معادله شناخته شده باشند، با حل سیستم مناسب این دو معادله می توان ریشه ها را پیدا کرد.
نمونه ای از استفاده از قضیه ویتا
اگر می دانید که به شکل x2+c=-bx است و ریشه های آن 3 و -4 است، باید یک معادله درجه دوم بنویسید.
از آنجایی که a=1 در معادله مورد بررسی، فرمول های Vieta به این صورت خواهد بود: x2+x1=-b و x2x1=ص. با جایگزینی مقادیر شناخته شده ریشه ها، به دست می آوریم: b=1 و c=-12. در نتیجه، معادله کاهش‌یافته درجه دوم بازیابی شده به این صورت خواهد بود: x2-12=-1x. می توانید مقدار ریشه ها را در آن جایگزین کنید و مطمئن شوید که برابری برقرار است.
کاربرد معکوس قضیه ویتا، یعنی محاسبه ریشه ها توسطشکل شناخته شده معادله، به اعداد صحیح کوچک a، b و c اجازه می دهد تا به سرعت (به طور شهودی) راه حل ها را پیدا کنند.
