آیا فراموش کرده اید که چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنید؟

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-09 16:32

چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم؟ مشخص است که نسخه خاصی از برابری صفر خواهد بود - به طور همزمان یا جداگانه. به عنوان مثال، c=o، v ≠ o یا برعکس. ما تقریباً تعریف یک معادله درجه دوم را به یاد آوردیم.

بررسی

مثلثی درجه دوم برابر با صفر است. اولین ضریب آن a ≠ o، b و c می تواند هر مقداری را بگیرد. مقدار متغیر x زمانی ریشه معادله خواهد بود که پس از جایگزینی، آن را به برابری عددی صحیح تبدیل کند. بگذارید روی ریشه های واقعی بمانیم، اگرچه اعداد مختلط نیز می توانند راه حل معادله باشند. مرسوم است که اگر هیچ یک از ضرایب برابر با o نباشد، معادله را کامل می نامند، اما ≠ o، ≠ o، c ≠ o.

مثالی را حل کنید. 2x²-9x-5=اوه، می‌یابیم

D=81+40=121،

D مثبت است، بنابراین ریشه‌ها وجود دارد، x1 _{=(9+√121):4=5 و دومی x}2 _{=(9-√121):4=-o، 5. بررسی کمک خواهد کرد مطمئن شوید که آنها درست هستند.}

در اینجا یک راه حل گام به گام برای معادله درجه دوم آمده است

از طریق ممیز، می توانید هر معادله ای را که در سمت چپ آن یک مثلث مربع شناخته شده با ≠ o وجود دارد، حل کنید. در مثال ما. 2x²-9x-5=0 (ax^2+in+s=o)

• ابتدا، با استفاده از فرمول شناخته شده در 2-4ac، متمایز D را پیدا کنید.
• بررسی مقدار D: ما بیشتر از صفر داریم، می تواند برابر با صفر یا کمتر باشد.

• می دانیم که اگر D › o معادله درجه دوم فقط 2 ریشه واقعی متفاوت داشته باشد، آنها را x₁ معمولا و x₂ نشان می دهند. ،

  به این صورت محاسبه شد:

  x₁=(-v+√D):(2a)، و دوم: x _{2=(-in-√D):(2a).}

• D=o - یک ریشه، یا، آنها می گویند، دو برابر:

  x₁ برابر با x_{2 و برابر -v:(2a).}

• در نهایت، D ‹ o به این معنی است که معادله ریشه واقعی ندارد.

بیایید در نظر بگیریم که معادلات ناقص درجه دوم چیست

1. ax²+in=o. عبارت آزاد، ضریب c در x⁰، در اینجا صفر است، در ≠ o.

   چگونه یک معادله درجه دوم ناقص از این نوع را حل کنیم؟ بیایید x را از پرانتز خارج کنیم. به یاد داشته باشید زمانی که حاصل ضرب دو عامل صفر است.

   x(ax+b)=o، این می تواند زمانی باشد که x=o یا زمانی که ax+b=o.

   حل معادله خطی دوم;

   x₂ =-b/a.

2. اکنون ضریب x o است و c برابر نیست (≠)o.

   x²+s=o. بیایید از سمت راست برابری حرکت کنیم، x² =-с را دریافت می کنیم. این معادله فقط زمانی ریشه واقعی دارد که -c یک عدد مثبت باشد (c ‹ o)،

   x₁ سپس برابر √(-c)، به ترتیب x _{2 باشد. ― -√(-s). در غیر این صورت، معادله اصلاً ریشه ندارد.}

3. آخرین گزینه: b=c=o، یعنی ah2=o. طبیعتاً چنین معادله ساده ای یک ریشه دارد، x=o.

موارد ویژه

نحوه حل یک معادله درجه دوم ناقص در نظر گرفته شد و اکنون هر نوع آن را می گیریم.

در معادله درجه دوم کامل، ضریب دوم x یک عدد زوج است.

بگذارید k=o، 5b. ما فرمول هایی برای محاسبه تفکیک کننده و ریشه داریم.

D/4=k²-ac، ریشه ها به این صورت محاسبه می شوند x_{1, 2=(-k±√(D/4))/a برای D › o.}x=-k/a برای D=o.

بدون ریشه برای D ‹ o.

معادلات درجه دوم کاهش یافته وجود دارد، وقتی ضریب x مجذور 1 است، معمولاً x² +px+ q=o نوشته می شود. همه فرمول‌های بالا برای آنها صدق می‌کند، اما محاسبات تا حدودی ساده‌تر هستند. +9، D=13. 2

=2-√13.

علاوه بر این، قضیه ویتا را می توان به راحتی برای موارد داده شده اعمال کرد. می گوید که مجموع ریشه های معادله -p است، ضریب دوم با منهای (به معنی علامت مقابل) است و حاصل ضرب همین ریشه ها برابر است با q، جمله آزاد. بررسی کنید که چگونهتعیین ریشه های این معادله به صورت شفاهی آسان خواهد بود. برای غیر کاهش یافته (برای همه ضرایب غیر صفر)، این قضیه به صورت زیر قابل اعمال است: 1_x2 _{برابر/a.}

مجموع جمله آزاد c و ضریب اول a برابر با ضریب b است. در این شرایط، معادله حداقل یک ریشه دارد (اثبات آن آسان است)، اولی لزوماً برابر با -1 است و دومی - c / a در صورت وجود. چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم، می توانید خودتان آن را بررسی کنید. به آسانی پای. ضرایب می توانند در برخی نسبت ها بین خودشان باشند

• x²+x=o, 7x^2-7=o.

• مجموع همه ضرایب o است.

  ریشه های چنین معادله ای 1 و c/a هستند. به عنوان مثال، 2x²-15x+13=o.

  x₁ =1، x_2=13/2.

چند راه دیگر برای حل معادلات مختلف درجه دوم وجود دارد. به عنوان مثال، در اینجا روشی برای استخراج مربع کامل از یک چند جمله ای داده شده است. چندین روش گرافیکی وجود دارد. وقتی اغلب با چنین نمونه هایی سر و کار دارید، یاد خواهید گرفت که مانند دانه روی آنها کلیک کنید، زیرا همه راه ها به طور خودکار به ذهن شما خطور می کند.