خواص و روشهای یافتن ریشه یک معادله درجه دوم

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

جهان به گونه ای چیده شده است که حل تعداد زیادی از مسائل به یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم خلاصه می شود. ریشه معادلات برای توصیف الگوهای مختلف مهم هستند. این را حتی نقشه برداران بابل باستان می دانستند. اخترشناسان و مهندسان نیز مجبور به حل چنین مشکلاتی شدند. در قرن ششم پس از میلاد، دانشمند هندی Aryabhata اصول اولیه را برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم توسعه داد. فرمول ها در قرن نوزدهم تکمیل شدند.

مفاهیم کلی

از شما دعوت می کنیم تا با قوانین اساسی برابری های درجه دوم آشنا شوید. به طور کلی، برابری را می توان به صورت زیر نوشت:

ax2 + bx + c=0, تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم می تواند برابر با یک یا دو باشد. تجزیه و تحلیل سریع را می توان با استفاده از مفهوم تمایز انجام داد:

D=b2 - 4ac

بسته به مقدار محاسبه شده، دریافت می کنیم:

• وقتی D > 0 دو ریشه متفاوت وجود دارد. فرمول کلی برای تعیین ریشه های یک معادله درجه دوم مانند (-b± √D) / (2a) است.
• D=0، در این مورد ریشه یک است و با مقدار x=-b / (2a) مطابقت دارد.
• D < 0، برای مقدار منفی ممیز، هیچ راه حلی برای معادله وجود ندارد.

نکته: اگر ممیز منفی باشد، معادله فقط در ناحیه اعداد حقیقی ریشه ندارد. اگر جبر به مفهوم ریشه های مختلط بسط داده شود، معادله یک راه حل دارد.

بیایید زنجیره ای از اقدامات را ارائه دهیم که فرمول یافتن ریشه ها را تأیید می کند.

از شکل کلی معادله به دست می آید:

ax2 + bx=-c

قسمت راست و چپ را در 4a ضرب می کنیم و b2 را جمع می کنیم،را به دست می آوریم

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

سمت چپ را به مربع چند جمله ای (2ax + b)² تبدیل کنید. جذر دو طرف معادله 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2 را استخراج می کنیم)، ضریب b را به سمت راست منتقل می کنیم، به دست می آید:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

از اینجا به شرح زیر است:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

آنچه باید نشان داده شود.

مورد ویژه

در برخی موارد، راه حل مشکل را می توان ساده کرد. بنابراین، برای ضریب زوج b فرمول ساده تری به دست می آوریم.

k=1/2b را نشان می دهیم، سپس فرمول شکل کلی ریشه های معادله درجه دوم به شکل: است.

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

وقتی D=0، x=-k / a را دریافت می کنیم

یک مورد خاص دیگر حل معادله با a=1 است.

برای شکل x² + bx + c=0 ریشه ها x=-k ± √(k^{2 - c خواهد بود) با تفکیک بزرگتر از 0.برای حالتی که D=0 باشد، ریشه با یک فرمول ساده تعیین می شود: x=-k.}

استفاده از نمودار

هر فردی بدون اینکه بداند دائماً با پدیده های فیزیکی، شیمیایی، بیولوژیکی و حتی اجتماعی مواجه است که به خوبی با یک تابع درجه دوم توصیف می شوند.

نکته: منحنی ساخته شده بر اساس یک تابع درجه دوم سهمی نامیده می شود.

در اینجا چند نمونه آورده شده است.

1. هنگام محاسبه مسیر پرتابه، از خاصیت حرکت در امتداد سهمی جسمی که با زاویه ای نسبت به افق شلیک می شود استفاده می شود.
2. ویژگی سهمی برای توزیع یکنواخت بار به طور گسترده در معماری استفاده می شود.

با درک اهمیت تابع سهمی، بیایید نحوه استفاده از نمودار را برای کشف ویژگی های آن با استفاده از مفاهیم "ممیز" و "ریشه های یک معادله درجه دوم" دریابیم.

بسته به مقدار ضرایب a و b، تنها شش گزینه برای موقعیت منحنی وجود دارد:

1. ممیز مثبت است، a و b علائم متفاوتی دارند. شاخه های سهمی به بالا نگاه می کنند، معادله درجه دوم دو راه حل دارد.
2. ممیز و ضریب b برابر با صفر است، ضریب a بزرگتر از صفر است. نمودار در ناحیه مثبت است، معادله 1 ریشه دارد.
3. ممیز و همه ضرایب مثبت هستند. معادله درجه دوم هیچ راه حلی ندارد.
4. ممیز و ضریب a منفی هستند، b بزرگتر از صفر است. شاخه های نمودار به سمت پایین هدایت می شوند، معادله دو ریشه دارد.
5. ممیز وضریب b برابر با صفر و ضریب a منفی است. سهمی به پایین نگاه می کند، معادله یک ریشه دارد.
6. مقادیر ممیز و همه ضرایب منفی هستند. هیچ راه حلی وجود ندارد، مقادیر تابع کاملاً در ناحیه منفی هستند.

نکته: گزینه a=0 در نظر گرفته نمی شود، زیرا در این حالت سهمی به یک خط مستقیم تبدیل می شود.

همه موارد بالا در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.

نمونه هایی از حل مسئله

شرط: با استفاده از خصوصیات کلی، یک معادله درجه دوم بسازید که ریشه های آن با یکدیگر برابر باشند.

راه حل:

براساس شرط مسئله x₁ =x₂، یا -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). ساده کردن نماد:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0، پرانتزها را باز کنید و عبارات مشابه را بیان کنید. معادله می شود 2√(b² - 4ac)=0. این عبارت زمانی درست است که b² - 4ac=0، بنابراین b ^{2=4ac، سپس مقدار b=2√(ac) در معادلهجایگزین می شود.}

ax² + 2√(ac)x + c=0، در شکل کاهش یافته x^{2 + 2√(c/a)x + c=0.}

پاسخ:

برای a مساوی 0 و هر c نیست، اگر b=2√(c / a) فقط یک راه حل وجود دارد.

معادلات چهارگانه با همه سادگیشان در محاسبات مهندسی اهمیت زیادی دارند. تقریباً هر فرآیند فیزیکی را می توان با استفاده از تقریبی توصیف کردتوابع قدرت مرتبه n. معادله درجه دوم اولین چنین تقریبی خواهد بود.