هر دانش آموزی نام مخروط گرد را شنیده است و تصور می کند که این شکل سه بعدی چگونه است. این مقاله توسعه یک مخروط را تعریف می‌کند، فرمول‌هایی را ارائه می‌کند که ویژگی‌های آن را توصیف می‌کند، و نحوه ساخت آن را با استفاده از قطب‌نما، نقاله و راسته توضیح می‌دهد.
مخروط دایره ای در هندسه
بیایید یک تعریف هندسی از این شکل ارائه دهیم. مخروط گرد سطحی است که توسط قطعات خط مستقیم تشکیل شده است که تمام نقاط یک دایره معین را با یک نقطه در فضا به هم متصل می کند. این نقطه منفرد نباید متعلق به صفحه ای باشد که دایره در آن قرار دارد. اگر به جای دایره یک دایره بگیریم، این روش به یک مخروط نیز منتهی می شود.
دایره را قاعده شکل می نامند، محیط آن را مستقیم می گویند. قطعاتی که نقطه را به جهاز متصل می کنند ژنراتیکس یا مولد نامیده می شوند و نقطه ای که آنها را قطع می کنند رأس مخروط است.
مخروط گرد می تواند مستقیم و مایل باشد. هر دو شکل در شکل زیر نشان داده شده است.
تفاوت آنها در این است: اگر عمود از بالای مخروط دقیقاً به مرکز دایره بیفتد، مخروط مستقیم خواهد بود. برای او عمودی که ارتفاع شکل نامیده می شود بخشی از محور اوست. در مورد مخروط مایل، ارتفاع و محور یک زاویه تند تشکیل می دهند.
به دلیل سادگی و تقارن شکل، ویژگی های تنها یک مخروط راست با پایه گرد را بیشتر در نظر خواهیم گرفت.
دریافت شکل با استفاده از چرخش
قبل از بررسی توسعه سطح یک مخروط، مفید است بدانیم چگونه می توان این شکل فضایی را با استفاده از چرخش به دست آورد.
فرض کنید یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع a،b،c داریم. دو مورد اول آنها پاها هستند، c هیپوتانوس است. بیایید یک مثلث را روی پایه a قرار دهیم و شروع به چرخش آن به دور پایه b کنیم. سپس هپوتنوس c یک سطح مخروطی را توصیف می کند. این تکنیک مخروطی ساده در نمودار زیر نشان داده شده است.
بدیهی است که پای a شعاع قاعده شکل، پایه b ارتفاع آن و هیپوتانوس c مربوط به ژنراتیکس یک مخروط راست گرد است.
نمای توسعه مخروط
همانطور که ممکن است حدس بزنید، مخروط توسط دو نوع سطح تشکیل شده است. یکی از آنها یک دایره پایه صاف است. فرض کنید شعاع r دارد. سطح دوم جانبی است و مخروطی نامیده می شود. اجازه دهید مولد آن برابر با g باشد.
اگر یک مخروط کاغذی داریم، می توانیم قیچی را برداریم و پایه را از آن جدا کنیم. سپس، سطح مخروطی باید بریده شوددر امتداد هر ژنراتیکس و استقرار آن در هواپیما. به این ترتیب، ما توسعه سطح جانبی مخروط را به دست آوردیم. دو سطح، همراه با مخروط اصلی، در نمودار زیر نشان داده شده است.
دایره پایه در پایین سمت راست نشان داده شده است. سطح مخروطی باز شده در مرکز نشان داده شده است. به نظر می رسد که مربوط به بخش دایره ای است که شعاع آن برابر با طول ژنراتیکس g است.
جاروی زاویه و ناحیه
اکنون فرمول هایی را دریافت می کنیم که با استفاده از پارامترهای شناخته شده g و r به ما امکان می دهد مساحت و زاویه مخروط را محاسبه کنیم.
بدیهی است که قوس بخش دایره ای که در شکل بالا نشان داده شده است، طولی برابر با محیط قاعده دارد، یعنی:
l=2pir.
اگر کل دایره با شعاع g ساخته شده باشد، طول آن خواهد بود:
L=2pig.
از آنجایی که طول L با رادیان 2pi مطابقت دارد، پس زاویه ای که قوس l روی آن قرار دارد را می توان از نسبت مربوطه تعیین کرد:
L==>2pi;
l==> φ.
پس زاویه مجهول φ برابر خواهد بود با:
φ=2pil/L.
با جایگزینی عبارات برای طول های l و L، به فرمول زاویه توسعه سطح جانبی مخروط می رسیم:
φ=2pir/g.
زاویه φ در اینجا با رادیان بیان می شود.
برای تعیین مساحت Sb یک بخش دایره ای، از مقدار یافت شده φ استفاده خواهیم کرد. ما یک نسبت دیگر را فقط برای مناطق ایجاد می کنیم. ما داریم:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
از کجا Sb را بیان کنید و سپس مقدار زاویه φ را جایگزین کنید. ما دریافت می کنیم:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
برای مساحت سطح مخروطی، فرمول نسبتا فشرده ای به دست آورده ایم. مقدار Sb برابر است با حاصلضرب سه عامل: pi، شعاع شکل و ژنراتور آن.
سپس مساحت کل سطح شکل برابر است با مجموع Sb و So (دایره ای منطقه پایه). ما فرمول را دریافت می کنیم:
S=Sb+ So=pir(g + r).
ساختن جاروی مخروط روی کاغذ
برای انجام این کار به یک تکه کاغذ، یک مداد، یک نقاله، یک خط کش و یک قطب نما نیاز دارید.
ابتدا یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع 3 سانتی متر و 4 سانتی متر و 5 سانتی متر رسم می کنیم که چرخش آن به دور ساق 3 سانتی متر مخروط مورد نظر را به دست می دهد. شکل دارای r=3 cm، h=4 cm، g=5 cm است.
ساخت یک جارو با کشیدن یک دایره با شعاع r با قطب نما شروع می شود. طول آن برابر با 6پی سانتی متر خواهد بود حالا در کنار آن دایره دیگری را می کشیم اما با شعاع g. طول آن برابر با 10پی سانتی متر خواهد بود. اکنون باید یک بخش دایره ای را از یک دایره بزرگ جدا کنیم. زاویه φ آن برابر است با:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
حالا این زاویه را با نقاله روی دایره ای با شعاع g کنار می گذاریم و دو شعاع می کشیم که بخش دایره ای را محدود می کند.
پسبنابراین، ما یک توسعه از مخروط با پارامترهای مشخص شده شعاع، ارتفاع و ژنراتریس ساخته‌ایم.
نمونه ای از حل مسئله هندسی
با توجه به یک مخروط مستقیم. مشخص است که زاویه حرکت جانبی آن 120o است. در صورتی که ارتفاع h مخروط 10 سانتی متر باشد باید شعاع و ژنراتیکس این شکل را پیدا کرد.
اگر به یاد داشته باشیم که یک مخروط گرد شکل چرخش یک مثلث قائم الزاویه است، کار دشوار نیست. از این مثلث یک رابطه بدون ابهام بین ارتفاع، شعاع و ژنراتیکس به دست می آید. بیایید فرمول مربوطه را بنویسیم:
g2=h2+ r2.
دومین عبارتی که هنگام حل استفاده می شود فرمول زاویه φ است:
φ=2pir/g.
بنابراین، ما دو معادله داریم که به دو کمیت مجهول (r و g) مربوط می شود.
g را از فرمول دوم بیان کنید و نتیجه را با فرمول اول جایگزین کنید، دریافت می کنیم:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
زاویه φ=120o بر حسب رادیان 2pi/3 است. ما این مقدار را جایگزین می کنیم، فرمول نهایی r و g را می گیریم:
r=h /√8;
g=3h /√8.
باقی مانده است که مقدار ارتفاع را جایگزین کنید و پاسخ سؤال را دریافت کنید: r ≈ 3.54 سانتی متر، g ≈ 10.61 سانتی متر.
