مساحت سطح یک منشور مستقیم: فرمول ها و نمونه ای از یک مسئله

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

حجم و مساحت دو مشخصه مهم هر جسمی است که دارای ابعاد محدود در فضای سه بعدی است. در این مقاله، ما یک کلاس شناخته شده از چند وجهی - منشورها را در نظر می گیریم. به طور خاص، این سوال در مورد چگونگی پیدا کردن سطح یک منشور مستقیم آشکار خواهد شد.

منشور چیست؟

منشور هر چند وجهی است که توسط چندین متوازی الاضلاع و دو چندضلعی یکسان که در صفحات موازی قرار دارند محدود شده باشد. این چند ضلعی ها قاعده های شکل در نظر گرفته می شوند و متوازی الاضلاع آن اضلاع هستند. تعداد اضلاع (گوشه) پایه نام شکل را تعیین می کند. برای مثال، شکل زیر یک منشور پنج ضلعی را نشان می دهد.

فاصله بین پایه ها را ارتفاع شکل می گویند. اگر ارتفاع برابر با طول هر لبه جانبی باشد، چنین منشوری مستقیم خواهد بود. دومین ویژگی کافی برای منشور مستقیم این است که تمام اضلاع آن مستطیل یا مربع است. اگر، هر چنداگر یک ضلع متوازی الاضلاع کلی باشد، آنگاه شکل مایل خواهد بود. در زیر می توانید ببینید که چگونه منشورهای مستقیم و مایل از نظر بصری در مثال شکل های چهار گوش با هم تفاوت دارند.

مساحت سطح منشور مستقیم

اگر یک شکل هندسی دارای پایه n ضلعی باشد، از n+2 وجه تشکیل شده است که n تای آن مستطیل هستند. بیایید طول اضلاع پایه را به صورت _i نشان دهیم، جایی که i=1، 2، …، n، و ارتفاع شکل را که برابر با طول لبه جانبی، به عنوان h. برای تعیین مساحت (S) سطح همه وجوه، مساحت S_{o هر یک از پایه‌ها و همه ناحیه‌های اضلاع (مستطیل) را اضافه کنید. بنابراین، فرمول S را می توان به صورت زیر نوشت:}

S=2S_o+ S_b

جایی که S_{b مساحت سطح جانبی است.}

از آنجایی که پایه یک منشور مستقیم می تواند مطلقاً هر چندضلعی مسطح باشد، پس یک فرمول واحد برای محاسبه S_{oنمی توان ارائه داد، و برای تعیین این مقدار، به طور کلی در مورد، تجزیه و تحلیل هندسی باید انجام شود. به عنوان مثال، اگر پایه یک n-گون منظم با ضلع a باشد، مساحت آن با فرمول محاسبه می شود:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

در مورد مقدار S_{b، عبارت محاسبه آن را می توان ارائه داد. مساحت سطح جانبی منشور مستقیم برابر است با:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

یعنی مقدارS_{b به عنوان حاصل ضرب ارتفاع شکل و محیط قاعده آن محاسبه می شود.}

نمونه ای از حل مسئله

بیایید دانش کسب شده را برای حل مسئله هندسی زیر به کار ببریم. با توجه به منشوری که قاعده آن یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع در زاویه قائم 5 سانتی متر و 7 سانتی متر است ارتفاع شکل 10 سانتی متر است لازم است سطح یک منشور مثلثی قائمه را پیدا کنید.

ابتدا، بیایید هیپوتنوز مثلث را محاسبه کنیم. برابر خواهد بود با:

c=√(5²+ 7^{2)=8.6 سانتی متر}

حالا بیایید یک عملیات ریاضی مقدماتی دیگر انجام دهیم - محیط پایه را محاسبه کنیم. این خواهد بود:

P=5 + 7 + 8.6=20.6cm

مساحت سطح جانبی شکل حاصل ضرب مقدار P و ارتفاع h=10 سانتی متر است، یعنی S_b=206 سانتی متر ^2.

برای یافتن مساحت کل سطح، دو ناحیه پایه باید به مقدار یافت شده اضافه شود. از آنجایی که مساحت مثلث قائم الزاویه با نصف حاصلضرب پاها تعیین می شود، به دست می آوریم:

2S_o=257/2=35cm²

سپس دریافت می کنیم که سطح یک منشور مثلثی مستقیم 35 + 206=241 سانتی متر است2.