مثلث، مربع، شش ضلعی - این ارقام تقریبا برای همه شناخته شده است. اما همه نمی دانند چند ضلعی منظم چیست. اما اینها همه همان اشکال هندسی هستند. چند ضلعی منتظم آن است که زاویه و اضلاع برابر داشته باشد. تعداد زیادی از این ارقام وجود دارد، اما همه آنها ویژگی های یکسانی دارند و فرمول های یکسانی برای آنها اعمال می شود.
ویژگی های چندضلعی های منظم
هر چند ضلعی منتظم، خواه یک مربع یا یک هشت ضلعی، می تواند در یک دایره محاط شود. این ویژگی اساسی اغلب هنگام ساخت یک شکل استفاده می شود. علاوه بر این، یک دایره نیز می تواند در یک چند ضلعی حک شود. در این صورت تعداد نقاط تماس برابر با تعداد اضلاع آن خواهد بود. مهم است که دایره ای که در یک چند ضلعی منتظم حک شده است دارای یک مرکز مشترک با آن باشد. این اشکال هندسی مشمول قضایای یکسانی هستند. هر طرفیک n-gon منتظم به شعاع R دایره محصور شده در اطراف آن مربوط می شود، بنابراین می توان آن را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد: a=2R ∙ sin180°. از طریق شعاع دایره، می توانید نه تنها اضلاع، بلکه محیط چند ضلعی را نیز بیابید.
چگونه تعداد اضلاع یک چند ضلعی منظم را پیدا کنیم
هر n-گون منظم از تعداد معینی قطعه مساوی تشکیل شده است که وقتی به هم متصل می شوند یک خط بسته را تشکیل می دهند. در این حالت تمام گوشه های شکل شکل گرفته دارای ارزش یکسانی هستند. چند ضلعی ها به ساده و پیچیده تقسیم می شوند. گروه اول شامل یک مثلث و یک مربع است. چند ضلعی های پیچیده اضلاع بیشتری دارند. آنها همچنین شامل چهره های ستاره ای شکل هستند. برای چند ضلعی های منتظم پیچیده، اضلاع با نوشتن آنها در یک دایره پیدا می شوند. بیایید یک دلیل بیاوریم. یک چندضلعی منتظم با تعداد دلخواه ضلع n رسم کنید. یک دایره دور آن را توصیف کنید. شعاع R را مشخص کنید. حال تصور کنید که مقداری n-gon داده شود. اگر نقاط زوایای آن روی یک دایره قرار داشته باشند و با یکدیگر برابر باشند، آنگاه اضلاع را می توان با فرمول پیدا کرد: a=2R ∙ sinα: 2.
پیدا کردن تعداد اضلاع یک مثلث منظم محاطی
یک مثلث متساوی الاضلاع یک چندضلعی منتظم است. همان فرمول هایی که برای مربع و n-gon برای آن اعمال می شود. اگر مثلثی دارای طول اضلاع یکسان باشد صحیح در نظر گرفته می شود. در این حالت، زاویه 60⁰ است. یک مثلث با طول ضلع مشخص a بسازید. دانستن میانه و ارتفاع آن،می توانید ارزش اضلاع آن را پیدا کنید. برای انجام این کار، از روش یافتن از طریق فرمول a \u003d x: cosα استفاده می کنیم که x میانه یا ارتفاع است. از آنجایی که تمام اضلاع مثلث با هم برابر هستند، a=b=c به دست می آید. سپس عبارت زیر صادق خواهد بود a=b=c=x: cosα. به طور مشابه، می توانید مقدار اضلاع را در یک مثلث متساوی الساقین پیدا کنید، اما x ارتفاع داده شده خواهد بود. در عین حال، باید به شدت بر اساس شکل پیش بینی شود. بنابراین، با دانستن ارتفاع x، ضلع a یک مثلث متساوی الساقین را با استفاده از فرمول a \u003d b \u003d x: cosα پیدا می کنیم. پس از یافتن مقدار a می توانید طول پایه c را محاسبه کنید. بیایید قضیه فیثاغورث را اعمال کنیم. ما به دنبال مقدار نیمی از پایه c خواهیم بود: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. سپس c=2xtanα. در اینجا یک راه ساده برای یافتن تعداد اضلاع هر چندضلعی وجود دارد.
محاسبه اضلاع مربع محاط شده در دایره
مثل هر چند ضلعی منتظم محاطی دیگر، یک مربع اضلاع و زوایای برابر دارد. همان فرمول هایی که برای مثلث در مورد آن اعمال می شود. می توانید اضلاع یک مربع را با استفاده از مقدار قطر محاسبه کنید. بیایید این روش را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. مشخص است که مورب زاویه را نصف می کند. در ابتدا مقدار آن 90 درجه بود. بدین ترتیب پس از تقسیم دو مثلث قائم الزاویه تشکیل می شود. زاویه پایه آنها 45 درجه خواهد بود. بر این اساس ، هر ضلع مربع برابر خواهد بود ، یعنی: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2 ، جایی که e مورب مربع یا پایه است مثلث قائم الزاویه ای که پس از تقسیم تشکیل می شود. این تنها راه نیستپیدا کردن اضلاع مربع بیایید این شکل را در یک دایره بنویسیم. با دانستن شعاع این دایره R، ضلع مربع را پیدا می کنیم. ما آن را به صورت زیر محاسبه می کنیم: a4=R√2. شعاع چند ضلعی های منظم با فرمول R=a: 2tg (360o: 2n) محاسبه می شود، که در آن a طول ضلع است.
چگونه محیط یک n-gon را محاسبه کنیم
محیط یک n-گون مجموع همه اضلاع آن است. محاسبه آن آسان است. برای انجام این کار، باید ارزش های همه طرف ها را بدانید. برای برخی از انواع چند ضلعی ها، فرمول های خاصی وجود دارد. آنها به شما امکان می دهند محیط را بسیار سریعتر پیدا کنید. مشخص است که هر چندضلعی منتظم اضلاع مساوی دارد. بنابراین برای محاسبه محیط آن کافی است حداقل یکی از آنها را بدانید. فرمول به تعداد اضلاع شکل بستگی دارد. به طور کلی، به نظر می رسد: P \u003d an، که در آن a مقدار ضلع است و n تعداد زوایا است. به عنوان مثال، برای پیدا کردن محیط یک هشت ضلعی منتظم با ضلع 3 سانتی متر، باید آن را در 8 ضرب کنید، یعنی P=3 ∙ 8=24 سانتی متر. برای شش ضلعی با ضلع 5 سانتی متر، ما محاسبه می کنیم. به صورت زیر: P=5 ∙ 6=30 سانتی متر و به همین ترتیب برای هر چند ضلعی.
یافتن محیط متوازی الاضلاع، مربع و لوزی
بسته به اینکه یک چند ضلعی منتظم چند ضلعی دارد، محیط آن محاسبه می شود. این کار را بسیار ساده تر می کند. در واقع، بر خلاف سایر چهره ها، در این مورد لازم نیست تمام اضلاع آن را جستجو کنید، فقط یک مورد کافی است. با همان اصل، محیط را در پیدا می کنیمچهارگوش، یعنی مربع و لوزی. علیرغم این واقعیت که این ارقام متفاوت هستند، فرمول آنها همان P=4a است، که در آن a طرف است. بیایید یک مثال بزنیم. اگر ضلع یک لوزی یا مربع 6 سانتی متر باشد، محیط را به صورت زیر می یابیم: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 سانتی متر. متوازی الاضلاع فقط اضلاع مخالف دارد. بنابراین، محیط آن با استفاده از روش دیگری پیدا می شود. بنابراین، باید طول a و عرض b شکل را بدانیم. سپس فرمول P=(a + c) ∙ 2 را اعمال می کنیم. متوازی الاضلاع که در آن تمام اضلاع و زوایای بین آنها برابر است، لوزی نامیده می شود.
یافتن محیط مثلث متساوی الاضلاع و قائم الزاویه
محیط مثلث متساوی الاضلاع منتظم را می توان با فرمول P=3a یافت که در آن a طول ضلع است. اگر ناشناخته باشد، می توان آن را از طریق میانه یافت. در مثلث قائم الزاویه فقط دو ضلع با هم برابرند. اساس را می توان از طریق قضیه فیثاغورث پیدا کرد. پس از مشخص شدن مقادیر هر سه ضلع، محیط را محاسبه می کنیم. می توان آن را با استفاده از فرمول P \u003d a + b + c پیدا کرد که در آن a و b اضلاع مساوی هستند و c پایه است. به یاد بیاورید که در یک مثلث متساوی الساقین a \u003d b \u003d a ، بنابراین a + b \u003d 2a و سپس P \u003d 2a + c. به عنوان مثال، ضلع مثلث متساوی الساقین 4 سانتی متر است، قاعده و محیط آن را پیدا کنید. ما مقدار هیپوتنوز را با استفاده از قضیه فیثاغورث c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 سانتی متر محاسبه می کنیم. اکنون محیط Р=2 ∙ 4 + 5، 65=13.65 سانتی متر را محاسبه می کنیم.
چگونه گوشه های یک چند ضلعی منظم را پیدا کنیم
چند ضلعی منتظمهر روز در زندگی ما رخ می دهد، به عنوان مثال، یک مربع، مثلث، هشت ضلعی معمولی. به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از ساختن این رقم وجود ندارد. اما این فقط در نگاه اول است. برای ساختن هر n-gon، باید مقدار زوایای آن را بدانید. اما چگونه آنها را پیدا می کنید؟ حتی دانشمندان دوران باستان سعی کردند چند ضلعی های منظم بسازند. آنها حدس زدند که آنها را در دایره ها قرار دهند. و سپس نقاط لازم روی آن مشخص شد که با خطوط مستقیم به هم متصل شدند. برای ارقام ساده، مشکل ساخت و ساز حل شده است. فرمول ها و قضایا به دست آمده است. به عنوان مثال، اقلیدس در اثر معروف خود "آغاز" به حل مسائل برای 3-، 4-، 5-، 6- و 15-gon مشغول بود. او راه هایی برای ساختن آنها و یافتن زاویه پیدا کرد. بیایید ببینیم چگونه این کار را برای 15 گون انجام دهیم. ابتدا باید مجموع زوایای داخلی آن را محاسبه کنید. استفاده از فرمول S=180⁰(n-2) ضروری است. بنابراین، یک 15 گون به ما داده می شود، به این معنی که عدد n 15 است. داده هایی را که می دانیم جایگزین فرمول می کنیم و S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ بدست می آوریم. ما مجموع تمام زوایای داخلی یک 15 ضلعی را پیدا کردیم. اکنون باید ارزش هر یک از آنها را بدست آوریم. در مجموع 15 زاویه وجود دارد، ما محاسبه 2340⁰ را انجام می دهیم: 15=156⁰. این به این معنی است که هر زاویه داخلی 156⁰ است، اکنون با استفاده از یک خط کش و یک قطب نما می توانید یک 15 گون معمولی بسازید. اما در مورد n-gon های پیچیده تر چطور؟ قرن هاست که دانشمندان برای حل این مشکل تلاش کرده اند. این تنها در قرن 18 توسط کارل فردریش گاوس یافت شد. او توانست یک 65537 گون بسازد. از آن زمان، مشکل رسماً حل شده است.
محاسبه زوایای n-gonsبه رادیان
البته راه های مختلفی برای یافتن گوشه های چندضلعی ها وجود دارد. اغلب آنها بر حسب درجه محاسبه می شوند. اما می توانید آنها را به رادیان نیز بیان کنید. چگونه انجامش بدهیم؟ لازم است به شرح زیر اقدام شود. ابتدا تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم را می یابیم، سپس 2 را از آن کم می کنیم، بنابراین مقدار n - 2 را به دست می آوریم. اکنون فقط باید محصول حاصل را بر تعداد زاویه های n-gon تقسیم کنیم. این محاسبات را با استفاده از مثال همان پانزده وجهی در نظر بگیرید. بنابراین، عدد n برابر با 15 است. فرمول S=p(n - 2) را اعمال کنید: n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. این، البته، تنها راه محاسبه زاویه بر حسب رادیان نیست. شما به سادگی می توانید اندازه زاویه را بر حسب درجه بر عدد 57، 3 تقسیم کنید. به هر حال، بسیاری از درجه ها معادل یک رادیان هستند.
مقدار زوایا را بر حسب درجه محاسبه کنید
علاوه بر درجه و رادیان، می توانید سعی کنید مقدار زوایای یک چند ضلعی منظم را بر حسب درجه پیدا کنید. این کار به روش زیر انجام می شود. 2 را از تعداد کل زوایا کم کنید، اختلاف حاصل را بر تعداد اضلاع یک چندضلعی منتظم تقسیم کنید. ما نتیجه یافت شده را در 200 ضرب می کنیم. به هر حال، چنین واحد اندازه گیری زاویه ها مانند تگرگ عملاً استفاده نمی شود.
محاسبه زوایای خارجی n-gons
برای هر چند ضلعی منتظم، به جز چند ضلعی داخلی، می توانید زاویه خارجی را نیز محاسبه کنید. مقدار آن مانند سایر ارقام یافت می شود. بنابراین، برای پیدا کردن زاویه بیرونی یک چند ضلعی منظم، شما نیاز داریدمعنی باطن را بداند علاوه بر این، می دانیم که مجموع این دو زاویه همیشه 180 درجه است. بنابراین، محاسبات را به صورت زیر انجام می دهیم: 180⁰ منهای مقدار زاویه داخلی. ما تفاوت را پیدا می کنیم. برابر با مقدار زاویه مجاور آن خواهد بود. به عنوان مثال، گوشه داخلی یک مربع 90 درجه است، بنابراین زاویه بیرونی 180⁰ - 90⁰=90⁰ خواهد بود. همانطور که می بینیم، پیدا کردن آن دشوار نیست. زاویه خارجی به ترتیب می تواند مقداری از +180⁰ تا -180⁰ داشته باشد.
