فرهنگ توضیحی اوژگوف بیان می کند که پنج ضلعی یک شکل هندسی است که با پنج خط مستقیم متقاطع که پنج زاویه داخلی را تشکیل می دهند و همچنین هر جسمی با شکل مشابه محدود شده است. اگر چند ضلعی معین اضلاع و زوایای یکسانی داشته باشد، به آن منتظم (پنج ضلعی) می گویند.
چه چیزی در مورد یک پنج ضلعی معمولی جالب است؟
به همین شکل بود که ساختمان معروف وزارت دفاع ایالات متحده ساخته شد. از چندوجهی منظم حجیم، فقط دوازده وجهی دارای وجوه پنج ضلعی است. و در طبیعت، کریستال ها کاملاً وجود ندارند، که چهره آنها شبیه یک پنج ضلعی منظم است. علاوه بر این، این شکل یک چند ضلعی با حداقل تعداد گوشه است که نمی توان از آن برای کاشی کاری یک منطقه استفاده کرد. فقط یک پنج ضلعی به اندازه اضلاع آن قطر دارد. موافقم، جالب است!
خواص و فرمول های اساسی
استفاده از فرمول های برایچند ضلعی منظم دلخواه، می توانید تمام پارامترهای لازم را که پنج ضلعی دارد تعیین کنید.
- زاویه مرکزی α=360 / n=360/5=72 درجه.
- زاویه داخلی β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. بر این اساس، مجموع زوایای داخلی 540 درجه است.
- نسبت مورب به ضلع (1+√5) /2 است، یعنی "بخش طلایی" (تقریباً 1، 618).
- طول ضلعی که یک پنج ضلعی معمولی دارد را می توان با استفاده از یکی از سه فرمول محاسبه کرد، بسته به اینکه کدام پارامتر از قبل شناخته شده باشد:
- اگر دایره ای دور آن محصور شده باشد و شعاع R آن مشخص باشد، a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- در صورتی که دایره ای با شعاع r در یک پنج ضلعی منتظم محاط شود، a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- اتفاق می افتد که به جای شعاع، مقدار قطر D مشخص می شود، سپس ضلع به صورت زیر تعیین می شود: a ≈ D/1, 618.
- مساحت یک پنج ضلعی منظم باز هم بسته به پارامتری که می دانیم تعیین می شود:
- اگر دایره محاطی یا محاطی وجود داشته باشد، یکی از دو فرمول استفاده می شود:
S=(nar)/2=2، 5ar یا S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
مساحت را نیز می توان تنها با دانستن طول ضلع تعیین کرد:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1، 7205 a2.
پنج ضلعی منظم: ساخت و ساز
این شکل هندسی را می توان به روش های مختلفی ساخت. به عنوان مثال، آن را در یک دایره با شعاع معین حک کنید، یا آن را بر اساس یک ضلع جانبی معین بسازید. توالی اعمال در عناصر اقلیدس در حدود 300 سال قبل از میلاد شرح داده شد. در هر صورت به قطب نما و خط کش نیاز داریم. روش ساخت را با استفاده از یک دایره مشخص در نظر بگیرید.
1. یک شعاع دلخواه را انتخاب کنید و یک دایره بکشید و مرکز آن را با O.
مشخص کنید.
2. در خط دایره، نقطه ای را انتخاب کنید که به عنوان یکی از رئوس پنج ضلعی ما عمل کند. بگذارید این نقطه A باشد. نقاط O و A را با یک خط مستقیم وصل کنید.
3. از نقطه O عمود بر خط OA خطی رسم کنید. محل تقاطع این خط با خط دایره را به عنوان نقطه B تعیین کنید.
4. در وسط فاصله بین نقاط O و B، نقطه C را بسازید.
5. اکنون دایره ای رسم کنید که مرکز آن در نقطه C باشد و از نقطه A عبور کند. محل تلاقی آن با خط OB (داخل اولین دایره خواهد بود) نقطه D خواهد بود.
6. دایره ای بسازید که از D می گذرد که مرکز آن در A باشد. محل تلاقی آن با دایره اصلی باید با نقاط E و F مشخص شود.
7. اکنون دایره ای بسازید که مرکز آن در E باشد. باید این کار را طوری انجام دهید که از A عبور کند. تقاطع دیگر دایره اصلی آن باید با نقطه G نشان داده شود.
8. در نهایت، یک دایره از طریق A به مرکز نقطه F بکشید. تقاطع دیگری از دایره اصلی را با نقطه H علامت گذاری کنید.
9. حالا چپفقط رئوس A، E، G، H، F را به هم وصل کنید. پنج ضلعی معمولی ما آماده خواهد بود!
