محاسبه حجم اشکال فضایی یکی از وظایف مهم استریومتری است. در این مقاله به موضوع تعیین حجم چنین چندوجهی به عنوان هرم می پردازیم و همچنین فرمول حجم هرم شش ضلعی منتظم را ارائه می کنیم.
هرم شش ضلعی
ابتدا، بیایید ببینیم رقم چیست، که در مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت.
بیایید یک شش ضلعی دلخواه داشته باشیم که اضلاع آن لزوماً با یکدیگر برابر نیستند. همچنین فرض کنید نقطه ای از فضا را انتخاب کرده ایم که در صفحه شش ضلعی نباشد. با اتصال تمام گوشه های دومی با نقطه انتخاب شده، یک هرم به دست می آید. دو هرم مختلف با پایه شش ضلعی در شکل زیر نشان داده شده است.
می توان دید که شکل علاوه بر شش ضلعی از شش مثلث تشکیل شده است که نقطه اتصال آنها را رأس می نامند. تفاوت اهرام تصویر شده در این است که ارتفاع h سمت راست آنها، پایه شش ضلعی را در مرکز هندسی آن قطع نمی کند و ارتفاع شکل سمت چپ کاهش می یابد.درست در آن مرکز به لطف این معیار، هرم سمت چپ را مستقیم و راست را مایل نامیدند.
از آنجایی که قاعده شکل سمت چپ در شکل توسط یک شش ضلعی با اضلاع و زوایای مساوی تشکیل شده است، به آن صحیح می گویند. در ادامه مقاله فقط در مورد این هرم صحبت خواهیم کرد.
حجم هرم شش ضلعی
برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول زیر معتبر است:
V=1/3hSo
در اینجا h طول ارتفاع شکل است، So مساحت قاعده آن است. بیایید از این عبارت برای تعیین حجم یک هرم شش ضلعی منتظم استفاده کنیم.
از آنجایی که شکل مورد نظر بر اساس یک شش ضلعی متساوی الاضلاع است، برای محاسبه مساحت آن، می توانید از عبارت کلی زیر برای n-gon استفاده کنید:
S=n/4a2ctg(pi/n)
در اینجا n یک عدد صحیح برابر با تعداد اضلاع (گوشه‌های) چند ضلعی است، a طول ضلع آن است، تابع کتانژانت با استفاده از جداول مناسب محاسبه می‌شود.
با استفاده از عبارت برای n=6، دریافت می کنیم:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
حالا باید این عبارت را با فرمول کلی برای حجم V جایگزین کنیم:
V6=S6h=√3/2ha2
بنابراین برای محاسبه حجم هرم مورد نظر باید دو پارامتر خطی آن را دانست: طول ضلع پایه و ارتفاع شکل.
نمونه ای از حل مسئله
بیایید نشان دهیم که چگونه عبارت به دست آمده برای V6 می تواند برای حل مسئله زیر استفاده شود.
معلوم است که حجم هرم شش ضلعی منتظم 100 سانتی متر است3. ضلع قاعده و ارتفاع شکل باید مشخص شود، در صورتی که مشخص شود که به تساوی زیر به یکدیگر مرتبط هستند:
a=2h
از آنجایی که فقط a و h در فرمول حجم گنجانده شده اند، هر یک از این پارامترها را می توان در آن جایگزین کرد، که بر حسب دیگری بیان می شود. به عنوان مثال، با جایگزین کردن a، دریافت می کنیم:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
برای یافتن مقدار ارتفاع یک شکل، باید ریشه درجه سوم را از حجم بگیرید که مطابق با بعد طول است. مقدار حجم V6 هرم را از بیان مسئله جایگزین می کنیم، ارتفاع را می گیریم:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3.0676 سانتی متر
از آنجایی که طرف پایه، مطابق با شرط مشکل، دو برابر مقدار یافت شده است، مقدار آن را دریافت می کنیم:
a=2h=23، 0676=6، 1352cm
حجم یک هرم شش ضلعی را می توان نه تنها از طریق ارتفاع شکل و مقدار ضلع قاعده آن پیدا کرد. کافی است دو پارامتر خطی مختلف هرم را برای محاسبه آن بدانید، مثلاً آپوتما و طول لبه کناری.
